Документ: 5596, страницы 51-55 | База учебных материалов

ИД3. Проинтегрируйте дробь

P x

, где числитель

P x

указан, раз-

a 2

x

x b

ложив её на сумму

A1

A2

B

при заданных значениях a, b:

x a

x a 2 x

b

1)

1

;

x a 2 x b

а) a = 0, b = 1; д) a = 1, b = –1; и) a = 1, b = 3;

б) a = 0, b = –1; е) a = –1, b = 1; к) a = 3, b = –1;

в) a = 1, b = 0; ж) a = 0, b = –2; л) a = 3, b = –4;

г) a = –1, b = 0; з) a = 2, b = 0; м) a = 4, b = –5;

2)

x

при тех же значениях a, b, что в задании 1;

x

a 2

x

b

3)

x2

при тех же значениях a, b, что в заданиях 1 и 2.

x

a 2

x

b

P x

ИД4.

Проинтегрируйте дроби

, разложив на сумму дробей

x2

a x b

Ax

B

C

при разных числителях

P x

и одних и тех же значениях a, b:

x2

a

x

b

1)

1

;

x2

a

x

b

а) a = 1, b = 0; д) a = 1, b = –2; и) a = 2, b = 2;

б) a = 1, b = 1; е) a = 2, b = 0; к) a = 2, b = –2;

в) a = 1, b = –1; ж) a = 2, b = 1; л) a = 4, b = 3;

г) a = 1, b = 2; з) a = 2, b = –1; м) a = 4, b = –3.

2)		x			при тех же значениях a, b, что в задании 1;

	x2	a	x	b
3)		x2			при тех же значениях a, b, что в заданиях 1 и 2.
3)	x2	a	x	b	при тех же значениях a, b, что в заданиях 1 и 2.

ИД5. (*) Проинтегрируйте дроби, разложив их на элементарные. Если необходимо, предварительно получите целую часть и правильную дробь:

1) а)

1

;

б)

x

;

в)

2x 3

;

г)

x2

3x 1

;

д)

x3

;

x4

16

x4

16

2) а)

1

;

б)

x

;

в)

3x 2

;

г)

x2

3

;

д)

x4

3

;

x3

8

x3

8

x3

8

x3

8

x3

8

3) а)

1

;

б)

1

;

в)

x2 9

;

г)

x 4

;

д)

1

.

x4

x3

x 9 3 x

x2

25 x 5

x 2

9 x 3

x6

64

51

Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов

Если дробь сложна, содержит несколько квадратичных или кратных скобок, метод вычёркивания неэффективен и приходится применять общий метод.

Пример 7. Проинтегрируем дробь

2x2

12x

15

. Она раскладывается так:

x

1 2 x2

4

2x2 12x

15

A

B

Cx

D

.

x 1 2 x2

4

x 1

x 1 2

x2

4

Приведём к общему знаменателю:

2x2 12x 15 A x 1 x2

4 B x2

4 Cx D x 1

2

.

x 1 2 x2 4

x 1 2

x2

4

Для совпадения дробей нужно, чтобы числители совпадали. Раскроем скобки:

2x2 12x 15 A x3 x2 4x 4 B x2 4 Cx Dx2 2x 1 ;

2x

2

12x 15 A x3	x2	4x 4 B x2	4 Cx 3 Dx 2 2Cx 2 Cx 2Dx D ;
12x 15 Ax3	Ax2	4Ax 4A Bx2	4B Cx3 Dx2 2Cx2 Cx 2Dx D .

Соберём справа вместе слагаемые «с одинаковой степенью»:

Ax 3

Cx3

Ax 2

Bx 2

Dx 2

2Cx 2

4 Ax

Cx

2Dx

4 A

4B

D ,

и вынесем степени за скобки:

2x2

12x 15 x3 A C x2

A B D 2C x 4 A C 2D

4 A 4B D .

Как известно из алгебры, два полинома совпадают

A

C

0

при любом значении переменной, если равны их коэф-

A

B

2C

D 2

фициенты при одинаковых степенях. Поэтому получается

4 A

C

2D

12

следующая система уравнений:

4 A

4B D

15

Решая систему любым способом, находим, что A

2, B

1, C 2, D

3 . Значит,

2x2

12x 15

2

1

2x

3

.

x 1 2 x2

4

x 1 x 1 2

x2

4 x2

4

Поэтому

2x2

12x 15

dx

2

dx

x

1

2

dx

2

xdx

3

dx

.

x 1 2 x2

4

x 1

x2

4

x2

4

Сами по себе интегралы хорошо известны и неоднократно найдены в пособии.

Ответ:

2x2

12x

15

1

ln x2 4

3

arctg

x

C .

dx 2 ln

x 1

1 2 x2

x

4

x 1

2

Основные трудности общего метода – раскрытие скобок и решение системы уравнений. Решение немного упростится, если всё-таки найти методом вычёркивания, что B 1 .

52

§ 8. Определённый интеграл

Формула Ньютона – Лейбница

b

f x dx F b F a , где F x f x

a

позволяет свести вычисление определённого интеграла к поиску первообразной F xи подстановке в неё пределов интегрирования.

Для поиска первообразной можно применять любые свойства и методы – разбивать интеграл на сумму интегралов, интегрировать по частям и т.п. Однако при замене переменных следует либо пересчитывать пределы интегрирования,

либо возвращаться к начальной переменной.

Если первообразная выглядит как сумма слагаемых, т.е.

F x F1 x F2 x ,

надёжнее подставлять пределы интегрирования отдельно в каждое из них:

F x

b

F x

b

F x

b

F b F a

,

a

1

a

2

a

1

2

чем полностью в сумму:

F x

b

F x F x

b

F b F b

F a F a

,

a

1

2

a

1

2

1

2

особенно если возникает много отрицательных или дробных составляющих.

ОИ1. Найдите определённые интегралы

	1												1										2
а)	3x2			6x 2 dx ;							б)			4x3			3x2			2x dx ;	в)			x3 x 1 dx ;
	1												1										2
	2												0										1
г)	x3		3x 5 dx ;								д)			x2			5x3		2 dx ;		е)		6x3		3x 2 dx ;
	0												1										2
	4												3										2
ж)	x2		6x 3 dx ;								з)			6x x4					6x2 dx ;		и)			8 x3	2x4 dx .
	3												2										2
Пример 1 (с применением арифметических свойств интеграла):
	2										2		2						2		2			2	2
		5x2				8x	6 dx				5x2dx					8xdx				6dx 5	x2dx		8	xdx	6	dx
	1										1		1						1		1			1	1
		5			x3	2	8	x2		2	6x	2		5	23				1 3	4 22	1 2			6 2	1
						2				2


				3		1	2			1		1	3
												1

			5															5								21.
			5	8			1		4 4		1		6 2			1		5	9	4 3	6 3	15		12	18
		3		8			1		4 4		1		6 2			1	3		9	4 3	6 3	15		12	18
		3															3

53

ОИ2. Найдите определённые интегралы

1

dx

3

dx

0

dx

3

dx

2

dx

1) а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

x

2

1

x 2

1

x2

4

x2

9

3x2

12

0

3

2

0

2

2) а)

4

dx

;

б)

3 dx

;

в)

1

dx

;

г)

2 dx

;

д)

4

dx

;

1

x

2

1 x

3

0

2

x

1 5x

6

2

0,5x

3

/ 3

/ 2

/ 3

/ 4

3) а)

sin xdx ; б)

sin 2xdx ;

в)

cos3xdx ;

г)

sin 4xdx ;

/ 6

/ 9

/ 4

3

dx

0

dx

4

dx

4

dx

4) а)

; б)

;

в)

;

г)

;

1

2x 3

1 3x 4

1

5 x

0

9 2x

0

1

0

2

5) а)

3x 1 4 dx ;

б) 4x 2 3 dx ;

в)

5x 1 7 dx ;

г)

1

0

0,2

1

Пример 2 (вынесение множителя):

д) cos4xdx ;

		/ 4
	8		dx
д)			dx	;


	2		5 0,5x
			5 0,5x

2x	3 8 dx .

2 dx	2		dx	1 2		dx			1	1	arctg	x	2		1	arctg	2		arctg		2
2 dx	2		dx	1 2		dx			1	1		x	2		1		2				2

2 2x2 8		2 2 x2 4			2 2 x2 4				2	2		2	2		4		2				2
2 2x2 8		2 2 x2 4			2 2 x2 4				2	2		2	2		4		2				2
		1	arctg1	arctg		1		1						1						.
	4		arctg1	arctg		1	4		4	4				4	4	4		8		.
	4						4		4	4				4	4	4		8

Пример 3 (применение основного правила табличного интегрирования):

3

2

				3					1		1		3		1		3
													3


	dx						1	13 4x		2				13 4x	2			1			3
							1														3
				13	4x		2 dx												13	4x

								1						2				2
13		4x							1		4										2
13		4x		2
																	2

								2					2




			1								1				5	1		0,618 .
			1	13	4	3	13	4	2		1	1		5	5	1

			2								2				2
			2								2				2

ОИ3. Найдите определённые интегралы

	2		dx					3	dx						4		dx
1) а)			dx		;		б)		dx			;		в)			dx			;

	0		x2	4					x2	9					0		2x2	32
			x2	4				3	x2	9							2x2	32
								3
	4		dx					6	dx					10			dx
г)			dx		;		д)		dx		;			е)			dx		;

	3		x2	4				4	x2	9					6	2x2		50
	3							4							6
	3			dx						5				dx						4		dx
2) а)				dx		;			б)					dx	;			в)				dx	;

	2	x2		4x 5						2			x2	4x 13						1	2x2	4x 20
	2									2										1

54

5

dx

6

dx

9

dx

г)

;

д)

;

е)

.

4

x2

4x 3

5

x2

4x

7

3x2

12x 15

Пример 4. Вынесем коэффициент и сведём интеграл к табличному:

3		dx	3		dx	1 3			dx	1

1	3x2	6x 51	1	3 x2	2x 17 3		1	x2	2x 17 3
1			1				1

3 dx

1 x 1 2 16

1	1	arctg	x	1	3		1	arctg	4	arctg	0	1	arctg1 arctg 0	1		0		.
1	1		x	1	3		1		4		0	1		1

3	4			4		1	12		4		4	12		12	4		48
						1

Пример 5. Здесь сразу получается полный квадрат:

5	dx		5	dx	1	ln	x	4	4

	x2 8x	12		x 4 2
3			3		4 2 4		x	4	4

5

1	ln	x	6
	ln
4 x			2

3

5

3

1	ln	5	6	ln	3	6		1	ln	1	ln 3	1	ln	1	1	ln	1	0,549 .
4		5	2		3	2	4			3		4		3 3	4		9

	Вычисление площади плоской фигуры
Если фигура на плоскости ограничена графиками функций						y	f x , y	g x
и вертикальными линиями x		a и x b , причём	f x	g x во всех точках от-
				b
резка a, b , то площадь фигуры совпадает с интегралом				f	x	g x	dx .
				a
Здесь	f x g x указано	для определённости, если			же	на	a, b	всегда
		b
f x g x	, то площадь совпадает с интегралом		g x	f x	dx .

a

Можно считать, что всегда от уравнения «верхней кривой » отнимают уравнение «нижней кривой».

Если отрезок a, bне указан, подразумевается, что графики образуют фигуру, пересекаясь в 2 точках. Тогда точки надо найти из уравнения f x g x .

Во всех остальных случаях (пересечение менее или более чем в 2 точках, разное соотношение между функциями и т.п.) задача о площади поставлена некорректно. Без дополнительных условий её решить невозможно.

55

Материал: 5596

Смотрите также: