Материал: 5596

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 2. По основному правилу табличного интегрирования

cos 4x

5 dx

sin 4x

C , поскольку

cos xdx

sin x

C ;

tg 6x

C , потому что

tg x

C ;

cos2 6x

cos2 x

C , так как

C ;

x dx

C (здесь

ex dx

C );

ln e

3x 4 1/ 2 dx

1/ 2 1

3x 4

3x 4 C ;

1/ 2

9 5x 7

4 dx

5x 7 4 / 9 dx

5x 7 4 / 9 1

5x 7 13/ 9

C .

4 / 9

Однако

cos x2

3 dx таким способом не найти: аргумент x2

3 нелинеен от-

носительно х (этот интеграл не выражается в элементарных функциях).

Часто встречается ошибка: интеграл

находят как

7x2

C .

7x2

Правильное решение – свести к интегралу 9 из таблицы:

5 / 7

C .

5 7x2

7 x2

5 / 7

7 2 5 / 7

5 / 7

Продифференцировав и упростив, получим именно

, в то время как

7x2

ln 5 7x2

5 7x2

14x

5 7x

7 5 7x2

7 5 7x

5 7x2

и отличие как раз связано с x2 .

Другая ошибка – наоборот,

найти как arcsin

применив равен-

ство x

. На самом деле

arcsin

. Правильное ре-

шение:

C .

2 dx

ТИ1.

А) Найдите производную;

Б) найдите дифференциал функции;

В) восстановите функцию;

Г) найдите интеграл:

x 2

d x 2

2xdx

d ?

2xdx

d x7

x6dx d ?

x6dx ?

x 5

d x 5

x 6dx d ?

x 6dx ?

ln x

d ln x

d ?

7 t 4

d ?

sin x

d sin x

cos xdx

d ?

cos xdx

sin 6x

d sin 6x

cos6xdx

d ?

cos6xdx

cos x

d cos x

sin xdx

d ?

sin xdx

cos

sin

d ?

sin

cos

d 6t

6t dt d ?

6t dt ?

62t

d 62t

62t dt d ?

62t dt ?

tg z

d tg z

d ?

cos2

tg8z

d tg8z

d ?

cos2 8z

arcsin x

d arcsin x

d ?

arcsin 4x

d arcsin 4x

d ?

16x2

arctg x

d arctg x

d ?

arctg 3x

d arctg3x

d ?

9x2

Пример 3. Задание ТИ1 удобно решать так:
1)	x 4				4x3 и,					как следствие,									d x4				4x3dx . Тогда 4x3dx										d x4				и соответ-
ственно x3dx						1		d x4 . Также									x3dx			1	x4		C ;
ственно x3dx					4			d x4 . Также									x3dx		4		x4		C ;
					4														4
					5						5		2													2						2
	3	x5																	d 3		x5			5									5	x		dx	d 3 x5 , и
2)	3					x 3						x		3	, потому									5	x	3 dx . Наоборот,							5		3
2)						x 3						x		3	, потому										x	3 dx . Наоборот,									3
									3														3									3
	2																									2		5
					1		d 3			x5					3	d 3	x5											3	x
тогда x 3 dx					1		d 3			x5					3	d 3	x5	. Кроме того,									x 3 dx	3	x	3	C ;
					5 / 3								5															5
3)	sin 6x					6 cos6x ,							d sin6x					6 cos6xdx . Тогда 6 cos6xdx														d sin6x , и потому
cos6xdx			1	d sin 6x					. Значит,								cos6xdx					1	sin 6x				C .
cos6xdx		6		d sin 6x					. Значит,								cos6xdx				6		sin 6x				C .
		6																			6

ТИ2. Найдите неопределённые интегралы от дробных функций, разложив дробь на две дроби, упростив и сведя всё к интегралам от степенных функций:

1) f1 x

;

f2 x

;

f3 x

;

f4 x

;

2) g x

x x2

x x

;

3) h x

2x2

3x3

;

h x

2x4

;

h x

4x4

;

h x

2x5

3x2

7x4

Пример 4. С учётом арифметических свойств неопределённого интеграла,

а)

x1dx x

2dx

x1 1

x 2 1

x2 1

C ;

1 1

2 1

2 x

б)

2x6

3x3

2x6

3x3

x2dx

x 1dx

C .

7x4

3 7

ТИ3. Таким же образом, как в задании ТИ2, найдите неопределённые интегралы от дробно-иррациональных функций

x5 5 x2

p x

;

3 x

4 x

;

x x

;

3 x

7 x3

u x

;

3 x

4 x

;

x x3

3) v x

2 x 3 x3

; v

53 x

; v

4 x7

37 x3

; v

7 x5

4x2

3x x3

53 x

63 x4

Пример 5. Разложим дробь на сумму или разность функций, тогда

					x5					3		x2								x5						3		x2							5	4					2						4					17				2
	а)									3																3
																																		x 2			5 dx						x 3					5 dx			x10 dx				x 15 dx
														dx									dx							dx

			5						x4									5 x4								5		x4
			5						x4									5 x4								5		x4
			17							1					2	1								27				13
																																							27								13
					x10									x 15										x 10				x15							10				27		15						13			C ;

																				C											C							x 10								x15

					17					1			2			1								27				13							27						13
					17								2											27				13							27						13

			10									15												10				15
			10									15												10				15
																																												3	13							5	13
			4 x3								87 x5											4 x3								87 x5										4				3	13					8		5	13
	б)
															dx											dx									dx							x 2 4 dx										x 7 4 dx
																																							3											3
						3x4 x9															3x4 x9								3x4 x9
						3x4 x9															3x4 x9								3x4 x9
																										6						43
										14								71																													3						43
					4					14					8			71							4 x 8				8 x 28												32						3		224				43	C .

								x 8				dx					x		28 dx																	C									x 4							x 28

					3										3										3		6		3				43								18								129
					3										3										3		6		3				43								18								129

																											8						28
Здесь	13		9				1;					6				14		1;						43				71				1;			224						8								28	. Также				32			16	.

		4		4									8				8								28			28							129						3								43					18		9
		4		4									8				8								28			28							129						3								43					18		9

ТИ4. Проинтегрируйте сумму или разность функций при помощи двух таб-

личных интегралов:

sin x

ex ;

2x 0,5x ;

;

cos2 x

sin2 x

cos3 x

;

cos2 x

sin2 x

;

cos x

ex	cos x;	f3	x	2 sin x	3ex ;
0,4x	3 x ;	g3	x	1/ 2x	1/ 5x ;

h	x	cos2 x	1		;		h	x
		cos2 x
2							3
g2	x	2 sin3 x		sin x		;	g3 x
		sin3 x
f2	x	cos2 x	sin2 x			;	f3	x
		sin2 x

		f4		x	2 sin x		3cos x ;
		g	4	x	2 3x		3 2x ;
			4
	sin2 x				2	;
		3sin2			x	;
		3sin2			x
		2 cos2 x 3sin 2x						;
								;
					cos x
3cos2 x					5sin2 x		.
				2 cos2 x			.
				2 cos2 x

Указание к п. 4 и 5: учтите, что sin2

cos2

1 и sin2x 2sin x cos x , и све-

дите всё к одной функции – к sin x или cos x .

Пример 6. Легко убедиться, что

а)

2 cos x

6x dx

2 cos xdx

6x dx

2 sin x

C ;

ln 6

б)

4 sin2 x

3cos2 x

4 1

cos2 x

3cos2 x

7 cos2 x

2 cos2 x

cos2 x

2 tg x 3,5 dx

2 tg x

3,5x

C .

cos2 x 2

cos2 x

При интегрировании дробно-рациональных функций следует помнить, что

C ;

arctg

C ;

C ,

x 4 2 2

x 9 3

и т.п., что нетрудно проверить, взяв производную. На самом деле

C ;

C ,

arctg

что тоже проверяется дифференцированием. Также см. Замечание на стр. 6.

ТИ5. Найдите интегралы от функций

1)	f1	x	1						;									f2		x		1										;							f3	x						1						;										f4		x						1							;

				x2				1																x2				4																	x2	9																						x2		0,25
2)	g1	x	1							;							g2			x		1									;								g3	x		1									;						g4						x							1						;

				x2				1															x2					4																x2		9																					x2			0,25
3)	h1	x	1								;						h2			x		1								;									h3	x						1								;					h4					x			1							;

				x2				7															x2					3																x2		0,3																					x2			0,2
4)	p1	x					1					;						p2		x		1										;							p3		x					1									; p4									x						1					.

				x2				7																x2				3																	x2	0,3																						x2		0,2
	Пример 7. Согласно таблице интегралов,
							1													1													x
		а)					1										dx			1				arctg									x						C	;			б)									1								dx							1			ln			x					0,7					C .
		а)				x2		0,7									dx							arctg															C	;			б)							x2						0,7				dx										ln													C .
						x2		0,7												0,7												0,7																		x2						0,7							2 0,7										x					0,7
	ТИ6. Проинтегрируйте, избавившись от коэффициента перед квадратом:
1)	f1 x						1							;					f2 x									1								;					f3 x											1								;						f4 x										1						;

				2x			2	8																		3x		2																				4x				2																					5x			2
				2x				8																		3x						48																4x								36																	5x					45
2)	g1 x						1								;				g2 x									1										;			g3 x											1									;					g4 x										1				;

				2x2				8																			3x2					48																	4x2							36																5x2						45
3) h1 x							1						;						h2 x									1							;						h3 x											1						;							h4 x											1			;

			3x2					9																	3x2							10															4x2									32															5x2							17
4)	p1 x						1									;			p2 x									1									;				p3 x											1										;				p4 x										1					.

				3x2				9																			3x2					10																		4x2						32																	5x2					17
	Пример 8. Вынесем коэффициент за скобку, а затем за знак интеграла:
		а)					dx														dx											1							dx			1										dx											1		1				arctg							x			C				;

						2x2		7											2 x2			3,5										2							x2	3,5		2								x2						3,5							2

																																																																	3,5					3,5
		б)					dx													dx									1										dx				1			1							ln				x							3,5				C .
					2x2			7										2 x2				3,5						2						x2					3,5			2 2
																																														3,5											x						3,5
																																														3,5											x						3,5

Источник: https://studfile.net/preview/16711256/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27