Материал: 5596

ОИ4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y

x2 и

графиком указанной функции. Сделайте чертёж:

1) а) y 1;

б) y 4 ;

в) y 9 ;

г) y 6 ;

2) а) y x ;

б) y 2x ;

в) y 3x ;

г) y

4x ;

3) а) y x 2 ;

б) y 2 x ;

в) y 2x 3;

г) y 4 3x ;

4) а) y 8 x 2 ;

б) y 2 x2 ;

в) y 12 2x2 ;

г) y 16 3x2 ;

5) а) y 2x 2

4 ;

б) y 3x2

8 ;

в) y 2x2

3 ;

г) y 3x2

6 .

ОИ5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделайте чертёж:

1) а) y x2

4, y 5 ;

б) y 6 x2 , y 2 ;

в) y 2x2

6, y 6 x2 ;

г) y 2x2

8, y 7 3x2 ;

2) а) y x2

2x, y 4x 8 ;

б) y x2

x, y 3x 3 ;

в) y x2

3, y 2x ;

г) y x2

4, y 2x 4 ;

3) а) y x2

6x, y 2x x2 ;

б) y x2

2x, y 4x x2 ;

в) y x2

5x, y x 2x2 ;

г) y 2x2

4x, y 2x x2 .

Пример 6.

Найдём площадь

фигуры, ограниченной

графиками функций

y 12 x2

и

y

2

x2

6 .

1

1-й шаг. Приравниваем: 12

x2

x2

6 ,

откуда

2x2

18 и

x2 9 .

Значит,

x

9 , и точки пересечения – это x1

3 и x2

3. Значения функций:

y

3

12

3 2

3 (можно найти и y

2

3

3 2

6

3 );

1

y

3

12

32

3 (также

y

2

3

32

6

3 ).

1

Совпадение y

3

y 3 вызвано чётностью обеих функций.

2-й шаг. Строим графики функций (рису-

нок 1).

Поскольку y1 0

12 и

y2 0

6 ,

на

участке

3; 3

график функции

y1

проходит

выше графика функции y2 .

-4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

Поэтому при составлении интеграла от

y1

отнимаем y2 , а не наоборот.

Рисунок 1

3-й шаг. Площадь фигуры

3

3

3

S

y y

2

dx

12 x2

x2

6 dx

18 2x2 dx .

1

3

3

3

4-й шаг. Вычисляем интеграл

3

2

3

2

2

.

18

2x

2

dx

18x

3

x

3

18 3

3

3

3

3

18 6

54

72 .

3

3

3

3

3

3

3

5-й шаг. Площадь фигуры равна 72 кв. ед. Результат правдоподобен – фигура

достаточно велика.

Ответ. Площадь фигуры – 72 кв.ед.

Пример 7. Найдём площадь фигуры, образованной линиями

y

x2

2x и

1

y2

x

4 .

1-й шаг. Из равенства

x2

2x

x

4 ,

или x2

3x

4

0,

находим

корни

x1

1 и x2

4 .

2-й шаг.

Ординаты точек пересечения

y2

1

1 4 3 и y2 4 4 4 8

(можно найти y1 , но y2 проще считать).

При вычислении площади эти числа не иг-

рают роли, но помогают построить графики.

Подставив

точки

из

интервала

1; 4

в

функции, видим, что прямая проходит над па-

-2

-1

0

1

2

3

4

5

раболой. Строим чертёж (рисунок 2).

Рисунок 2

4

4

4

S

y

2

y dx

x 4

x2

2x dx

3x 4 x2 dx .

1

1

1

1

4-й шаг. Вычисляем интеграл

4

2

3

2

4

4

1

3

4

3x

4

x

dx

x

4x

x

2

1

3

1

1

1

3

42

1 2

4 4

1

1

43

13

45

20

65

20

5

.

2

3

2

3

6

f t dt F

F a , где F

??

B

f t dt

lim f t dt

lim F B F a

lim F B F a .

B

B

B

a

a

Если предел lim F B

существует и конечен, интеграл сходится и равен некото-

B

Пример 1. Найдём

dx

. Перейдём к пределу:

1

x2

dx

lim B

dx

lim

1

B

lim

1

B

lim

1

1

1

1

0 1

1 .

2

1 x

B

1 x

2

B

x

1

B

x

1

B

B

1

Интеграл сходится и равен 1 (сходится к числу 1).

Пример 2. Чтобы найти

dx

, переходим к пределу:

2

x

dx

lim

B dx

lim ln x

B

lim ln B

ln 2

lim ln B

ln 2

ln

ln 2

.

2 x

B

2 x

B

2

B

B

Пример 3.

cos xdx

? Решение:

0

B

cos xdx lim

cos xdx

lim sin x

B

lim sin B sin0

lim sin B sin0 sin

0 .

B

B

0

B

B

0

0

dx

2 x

2

2 4

4

x

4

4

dx

x 3/ 2 dx

2x 1/ 2

2

2

2

0

2

2

,

9

3

9 x x

9

x

9

9

3

но дающее верный ответ: интеграл сходится к значению

2

.

3

НС1. Найдите значение или установите расходимость интегралов:

1) а)

dx

;

б)

dx

;

в)

dx

;

г)

dx

;

д)

dx

;

1

x

1

x3

4 x2

x

8

3 x

8

3 x5

2) а)

e x dx ;

б)

e 2 x dx ;

в)

ex dx ;

г)

e0,01x dx ;

д)

e 0,01x dx ;

1

0

1

1

2

1) а)

xe x dx ;

б)

xe 2 x dx ;

в)

xe2 x dx ;

г)

x sin 2xdx ;

д)

x cos xdx ;

1

0

1

0

1

2) а)

dx

;

б)

dx

;

в)

dx

;

г)

dx

;

д)

xdx

.

4

x 4

16 x x 9

1 x

x

4 x

x

1

x 3