Материал: 5601

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

Е.А. Мясников

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания к аудиторной контрольной работе

для студентов II (IV) курса заочной формы обучения всех направлений подготовки

Хабаровск 2014

1

УДК 519.2 ББК В

Х 12

Теория вероятности и математическая статистика : метод. указания к аудиторной контрольной работе для студентов II (IV) курса заочной формы обучения всех направлений подготовки / сост. Е. А. Мясников. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2014. – 44 с.

Содержание соответствует государственным образовательным стандартам дисциплины «Теория вероятности и математическая статистика» для бакалаврантов 2-го курса экономических вузов всех направлений подготовки. Учтены все разделы программы. Даны основные понятия, формулы и примеры решения задач. Для самостоятельного изучения.

Рецензент Е. Г. Агапова, к.ф.-м.н., доцент каф. прикладной математики ТОГУ

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний

Евгений Анатольевич Мясников

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания к аудиторной контрольной работе для студентов II (IV) курса заочной формы обучения всех направлений подготовки

Редактор Г.С. Одинцова

680042, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, РИЦ ХГАЭП

©Мясников Е.А., 2014

©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2014

2

Предисловие

Цель указаний – помочь студентам в подготовке к аудиторной контрольной работе (АКР) и к экзамену. При малом числе лекций и практических занятий преподаватель не может разобрать все темы и помочь в возникающих вопросах. Поэтому до сессии желательно самостоятельно получить представление о теории вероятности и попробовать решить стандартные задачи.

В конце указаний предложены примерные варианты АКР и образец оформления работы. Также хорошая практика – изучив решение примеров, взять условие и через некоторое время попытаться решить пример самостоятельно.

Разбиение на параграфы соответствует темам базового курса дисциплины, однако из математической статистики взяты лишь точечные и интервальные оценки параметров и проверка гипотезы о равенстве средних.

На усмотрение преподавателя могут быть включены задания по темам § 6 и 8. Необходимо учесть, что АКР предполагает лишь базовый уровень подготовки. Студенты, претендующие на отличную оценку, должны уметь работать с литературой, в том числе со сборниками задач.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

§1. Классическое определение вероятности

Втеории вероятности в каждой задаче работают с 3 основными понятиями:

‒испытание ‒ любое действие, результат которого заранее неизвестен;

‒событие ‒ некий факт, возможный при проведении испытания;

‒вероятность ‒ числовая оценка возможности события в испытании.

Пример 1. Двое наугад разделили сумму, не превосходящую 200 руб. ‒ это испытание. Отличие в полученных долях оказалось менее 50 руб. ‒ это событие. Оказывается, так происходит примерно в 7 случаях из 16 ‒ вероятность указанного события в данном испытании составляет 7/16.

События для краткости обозначают буквами А, Б, В и т. д. или же латинскими буквами, а вероятности событий – соответственно P A , P Б , P В .

Если в результате испытания возможны n исходов, ни один из них не предпочтительнее другого и никакие два не могут произойти одновременно, такие ис-

ходы называют элементарными.

3

Пример 2. Новый преподаватель хочет вызвать кого-то к доске. В группе 15 человек. Поскольку он никого не знает, выбор происходит случайным образом, и в результате испытания «вызван студент» возможны 15 элементарных исходов.

Пример 2А. Мы пытаемся найти в шкафу нужную книгу и не знаем, есть ли она там. Возможны 2 исхода ‒ «книга найдена» и «книга не найдена». Они неэлементарны ‒ информации слишком мало, чтобы что-то вычислять.

Определение. Если в результате испытания возможны n элементарных исходов, и в m из этих исходов наступает событие А, то классическая вероятность

Пример 3. В лаборатории проверили 8 компьютеров из 20 имеющихся. Какие именно, студент не знает. Каковы шансы, выбирая компьютер случайным обра-

окажется за проверенным компьютером.

Число элементарных исходов находят по формулам комбинаторики.

Число перестановок: n элементов можно расположить по порядку n! способами, где n! 12 n .

Пример 4. У 5 студентов существует 5! 12 34 5 120 способов организовать очередь для сдачи экзамена.

Число сочетаний: m элементов из n имеющихся можно выбрать (без учёта

чей (без учёта хозяина и гостя), поскольку каждый матч соответствует выбору 2 команд из 5 имеющихся.

Число размещений (без повторений): если при выборе m элементов из n

Пример 6. 6 туристов выбирают, кому искать дрова, кому собирать грибы,

Число размещений с повторениями: имеется n элементов, выбирают m из них, один и тот же элемент можно выбирать несколько раз, и порядок выбора играет роль. Тогда выбрать m элементов из n имеющихся можно nm способами.

Пример 7. Необходимо составить 4-значный шифр из цифр 1, 3 и 7. Очевидно, шифры «1377» и «1737» различны, т.е. порядок важен, и не обойтись без повторения цифр. Таких наборов, от «1111» до «7777», всего 34 81.

Часто встречается следующая

Задача. Среди N объектов имеется S объектов, обладающих неким интересующим нас свойством Х. Случайным образом отобрали M объектов. Какова вероятность, что в точности k из них будут обладать свойством Х.

Решение. Если обозначить событие А – «в точности k объектов среди n взя-

Пример 8. На занятии 10 студентов, из которых готовы 6. Вызвали 3 человек. Какова вероятность, что в точности 2 из них окажутся готовы к занятию?

Решение. По формуле классической вероятности P A mn , где

а) А ‒ интересующее нас событие «из 3 вызванных двое готовы»; б) n ‒ число способов, которыми можно вызвать 3 студентов из 10;

в) m ‒ число способов вызвать 2 готовых и при этом соответственно 1 неготового. Замечаем, что порядок вызова студентов не играет роли.

120

Ответ: вероятность составляет 0,5.

5