Материал: 5601

Пример 9. В коробке 5 яблок и 6 апельсинов. Ребёнку предложили взять 4 фрукта на выбор. Каковы шансы, что он выберет 1 яблоко и 3 апельсина?

легко понять по смыслу – сколько яблок, столько и способов взять одно из них.

указанном составе: на каждый из 5 способов взять 1 яблоко есть 20 не зависящих от этого способов взять 3 апельсина.

Итак, взять фрукты в указанном составе можно 100 различными способами, а просто взять 4 фрукта из имеющейся коробки ‒ 330 способами. Поэтому вероят-

Пример 10. В отделе работают 4 менеджера, 3 инженера, 2 бухгалтера. По

способов выбрать 3 человек из 9. Числитель m зависит от конкретного вопроса:

из 3 и 1 бухгалтера из 2. Числа перемножаем, поскольку на каждый способ выбрать менеджера есть несколько способов выбрать инженера, и т. д.;

д) m5 С43 С33 С23 4 1 0 5 способов, где 0 ‒ число способов выбрать 3

бухгалтеров из 2 работающих (очевидно, это невозможно, а при попытке вычис-

6

ления появится величина 1 !, не имеющая смысла. Числа складываем, поскольку можем выбрать или менеджеров, или инженеров, или бухгалтеров. Подробнее, в каких случаях числа умножают, а в каких складывают, объяснено в §

2.

Теперь находим сами вероятности:

§ 2. Алгебра вероятностей

Определение. События А и Б называются несовместными, если наступление одного ведёт к невозможности (в том же испытании) другого.

Пример 1. Пусть событие А означает, что студент получил на экзамене оценку «отлично», а событие «Б» ‒ что он же получил оценку «хорошо». События А и Б несовместны: получить 2 оценки за один и тот же экзамен невозможно.

Пример 1А. Если событие А означает, что студент сдал математику, а событие Б – что в другой день он сдал историю, то эти события совместны.

Определение. Сумма событий А и Б – это событие (обозначаемое А Б ), при котором наступает или А, или Б, или оба события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и Б равна сумме вероятностей каждого из них: P А Б P А P Б .

Пример 2. Около 20% времени на АЗС нет машин, около 30% – находится только одна машина. Какова доля времени, когда на АЗС не более 1 машины?

Решение. Если событие А – «На АЗС нет машин» и событие Б – «на АЗС 1 машина», то по условию P А 0,2 и P Б 0,3, и нас интересует событие А Б . Очевидно, А и Б несовместны, поэтому P А Б Р А Р Б 0,2 0,3 0,5.

Ответ: 50% всего времени на АЗС находится не более 1 машины.

Определение. События А и Б независимы, если наступление одного никак не влияет на возможность наступления другого.

7

Так, в примере 1А события А и Б не только совместны, но и независимы (ничто не мешает удачно сдать историю, если не сдана математика). Если же преподаватель вопреки правилам начнёт смотреть, как студент сдал предыдущий экзамен, и учитывать это, события станут зависимы.

Определение. Произведение событий А и Б ‒ это событие (обозначаемое АБ или АБ ), при котором происходят оба события: и А, и Б.

Впримере 1 произведение АБ означает, что студент сдал экзамен на отлично

ипри этом на хорошо (что невозможно, поэтому Р АБ 0 ). В примере 1А – что

студент сдал и математику, и историю, что вполне возможно.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: Р АБ Р АР Б .

Пример 3. Около 70% студентов сдают математику (вовремя), около 80% ‒ историю. Каковы шансы для отдельно взятого студента вовремя сдать и математику, и историю?

Решение. Пусть А означает, что студент сдал математику, Б – что он же сдал историю. По условию Р А 0,7 и Р Б 0,8. Тогда Р АБ 0,70,8 0,56 .

Ответ: 0,56, т.е. примерно 56% студентов вовремя сдают обе дисциплины.

События зависимы, если наступление одного меняет вероятность другого.

Теорема. Если событие Б зависит от события А, то вероятность их произведения Р АБ Р А РА Б , где РА Б ‒ вероятность события Б при условии, что событие А произошло.

Пример 4. Среди 60 телевизоров есть 4 неисправных. Каковы шансы, проверив 2 телевизора, обнаружить 2 неисправных?

Решение. Можно найти С42 / С602 , но быстрее сделать так: пусть А означает,

что 1-й проверенный телевизор оказался неисправен, а Б – что после этого 2-й телевизор также оказался неисправен. По формуле классической вероятности

Проверенный неисправный телевизор удаляется, и телевизоров остаётся 59,

из которых неисправных уже не 4, а 3. Но тогда РА Б 593 , где индекс А указы-

8

вает, что 1-й телевизор оказался неисправен. По формуле вероятности произве-

Ответ: вероятность составляет 1/ 295 , или около 0,339%.

Для трёх и более событий действуют те же правила:

а) вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей каж-

дого из них: Р А Б В Р А Р Б Р В ;

б) вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них: Р АБ В Р АР БР В ;

в) вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий при условии, что все, от которых оно зависит, произошли (см. пример 6).

Вероятность суммы нескольких совместных событий (она же – вероятность хотя бы одного события) удобно находить по формуле

Р А Б В 1 Р А Р Б Р В ,

где Р А 1 Р А‒ вероятность того, что А не наступило, и т.д.

Во многих задачах интересующее нас событие распадается на сумму несовместных событий, каждое из которых, в свою очередь – произведение ещё более мелких событий (возможно, зависимых).

Пример 5. Три друга собираются в поход и оценивают свои возможности (шансы, что удастся пойти) в 80, 70 и 60%. Что вероятнее: что в поход пойдут все или в точности двое (неважно кто)?

Решение. Обозначим события «1-й пошёл», «2-й пошёл» и «3-й пошёл» соответственно как А, В и С. По условию задачи P A 0,8, P B 0,7, P C 0,6 .

Событие «все три друга отправились в поход» ‒ это произведение событий А, В и С. Поскольку нет указаний, что возможности каждого как-то зависят от остальных, считаем события А, В, С независимыми. Тогда

P AB C P AP BP C 0,80,70,6 0,336 .

Событие «в точности двое отправились в поход» (обозначим его буквой Е)

поэтому P E 0,224 0,144 0,084 0,452 . Итак, с вероятностью 0,336 в поход пойдут все, а с вероятностью 0,452 пойдут двое и кто-то останется дома.

Ответ: более вероятно, что пойдут двое, а не все.

Пример 6. Из 9 кандидатов на вакантную должность подходят четверо. Каковы шансы, что подходящий человек будет определён с 1-й попытки? со 2-й? с 3-й попытки? Не позже, чем с 3-й попытки?

Решение. По смыслу неподходящий кандидат уходит, и шансы закрыть вакансию при проверке следующего меняются (повышаются).

Вероятность, что при просмотре кандидатов в случайном порядке первый же из них нас устроит (обозначим такое событие буквой А) ‒ это доля подходящих

Событие Б ‒ «кандидат подошёл со 2-й попытки» будет произведением 2 событий: Б Б1 Б2 , где Б1 ‒ 1-й кандидат нас не устроил (иначе проверять 2-го незачем); Б2 ‒ 2-й кандидат нам подошёл.

остаются 8 кандидатов, и среди них 4 подходящих. Значит, РБ1 Б2 84 . По фор-

муле вероятности произведения зависимых событий

Событие В ‒ «только 3-й кандидат нас устроил». Оно превращается в произведение 3 событий: В1 ‒ 1-й кандидат не устроил; В2 ‒ 2-й кандидат не устроил;

В3 ‒ 3-й кандидат подошёл. Поскольку состав всё время менялся,

РВ1 95 ‒ из 9 человек не подходили 5;

начале конкурса. По формуле вероятности произведения зависимых событий

Вероятность, что вакансия закроется не позже, чем с 3-й попытки, можно найти 2 способами:

10