Документ: 5601, страницы 31-35 | База учебных материалов

§ 11. Проверка гипотезы о совпадении или различии средних

На практике часто приходится сравнивать среднее по выборке со стандартом. Так, если в некотором банке вклады стали в среднем превышать обычные значения, но разброс размеров вклада большой, а оформлено их немного, отличие может быть случайным. Если же вклады похожи и их много, налицо тенденция к увеличению размера вклада.

Пусть по результатам n наблюдений получено среднее значение x и надо сравнить его со стандартным средним a.

Перед проверкой указывается допустимый риск ошибки – число, близкое к 0 (обычно 0,01 или 0,05), обозначаемое α и называемое уровнем значимости.

При решении важно, известно ли отклонение (или дисперсия) случайной ве-

личины. Если отклонение σ известно, находим величину Z

x a

n

, если не-

известно – величину T

x a

n 1

, где s – выборочное отклонение.

s

Далее смотрим, что именно нас волнует: а) что среднее не равно стандарту;

б) что среднее меньше стандарта (или больше – в зависимости от ситуации). Во 1-м случае уровень значимости делим на 2: новое α равно половине старого.

Затем, если отклонение известно, по таблице интегральной функции Лапласа

ищем число Z кр , при котором Zкр 0,5	. Если отклонение неизвестно, по
таблице t-распределения Стьюдента для n	1 и определяем Tкр .

Когда наша величина превышает критическую, принимаем гипотезу о различии средних. Вероятность ошибки в этом случае (т.е. вероятность того, что различие средних на самом деле случайно и несущественно), как раз и составляет α (именно поэтому α должно быть мало).

Когда величина меньше критической, различие несущественно и вызвано случайными причинами. Мы считаем, что средние равны, однако вероятность ошибки в этом случае указать невозможно.

Пример 1. Средний балл в группе из 16 студентов составил 3,55. Средний балл по Академии составляет 3,8 при среднем отклонении 0,5. Можно ли с вероятностью ошибки не более 0,05 утверждать, что группа слабее остальных? А с вероятностью ошибки не более 0,01?

31

Решение. Из условия x 3,55 , n 16, 0,5 , стандарт равен 3,8. Проверяем, не стало ли среднее меньше стандарта. Значит, уменьшать уровень значимости вдвое не нужно.

а) для уровня значимости				0,05 находим		A 0,5	0,05	0,45 и по таблице
интегральной функции Лапласа видим, что 0,45						1,65 . Берём Zкр			1,65.

Строим величину Z	3,8	3,55	16		2 и сравниваем Z		2 Zкр	1,65 .

		0,5
		0,5
Наше значение Z	2	больше критического, и потому считаем,							что группа
слабее остальных. Риск, что обвинение ошибочно, не превышает 5% .
б) для уровня значимости				0,01, когда ошибочное обвинение крайне неже-
лательно, получаем	A	0,5 0,01			0,49 и по	таблице	0,49	2,32 , поэтому
Zкр 2,32 . Теперь уже Z		2	Zкр		2,32 , и можно считать группу обычной. Но

насколько это верно, указать уже невозможно.

Ответ: считать группу слабее остальных можно при допустимом риске ошибки 5%, но нельзя при допустимом риске ошибки в 1%.

Замечание. Если гипотеза о совпадении со стандартом принимается при ка- ком-либо уровне значимости, то она заведомо принимается при любом меньшем уровне значимости. И наоборот, если при каком-то уровне значимости получается расхождение со стандартом, оно же получится и при любом большем уровне. Подумайте самостоятельно, почему так происходит и в чём смысл этого.

Пример 2. Средний вклад в банке А равен 100 тыс. руб.. Проверка 20 случайно выбранных вкладов в банке Б показала среднее значение вклада 96 тыс.

руб. при выборочном отклонении s						12 тыс. руб.	Проверим с допустимым
риском ошибки 10% 2 гипотезы:
а) в банках А и Б разный уровень вкладов, дающий разные средние;
б) вклады в банке Б в среднем меньше, чем в А.
Решение. Из условия определяем x						96, s 12, n	20 и стандарт, равный 100.
Отклонение σ неизвестно, а риск ошибки – это уровень значимости										0,10 .

Находим T	100	96	20	1	1,453 .

		12
		12
а) для проверки простого различия в средних берём									0,05	и по таблице
а) для проверки простого различия в средних берём								2	0,05	и по таблице
								2

t-распределения Стьюдента для n 1 19 ищем t 0,05;19 1,729 .

32

б) для проверки различия в определённом направлении оставляем				0,10 и
снова при n 1 19 находим t	0,1;19	1,328 .
В 1-м случае значение T	1,453	меньше Tкр	1,729 , и гипотезу о разном
уровне вкладов принять нельзя. Во 2-м случае T			1,453 больше Tкр 1,328 , и при

риске ошибки не более 10% считаем, что средний вклад в банке Б меньше, чем в А.

Ответ: можно считать, что средний вклад в банке Б меньше, однако гипотезу о простом несовпадении средних, возможно, следует отвергнуть.

Замечание. Гипотеза о расхождении средних считается сильнее («смелее») гипотезы о превышении в указанную сторону, и оснований для её принятия должно быть больше. Нам хватило оснований только для осторожной гипотезы.

Пример 3. В примере 1 при уровне значимости 0,05 средний балл группы оказался меньше стандарта. Проверим гипотезу о простом отличии этого среднего балла ‒ неважно, в какую сторону от стандарта.

Отличия по сравнению с решением примера 1 следующие:

Уровень значимости теперь делим на 2:				0,025, тогда A 0,5 0,025 0,475 .
По таблице 0,475	1,96	Zкр	1,96.
Видим, что всё равно Z		2	Zкр 1,96	и формально группа отличается от
остальных, но фактически Z		Zкр , и выводы надо делать очень осторожно.

Образец решения аудиторной контрольной работы

Оформление решения у студентов всё чаще превращается в переписывание всех пояснений, замечаний и действий из примера в методических указаниях. Здесь показано, как оформить решение в условиях ограниченности во времени.

Задача 1. Среди 30 документов 4 неверно заполнены. Каковы шансы, что инспектор обнаружит не более одного из них, взяв наугад 3 документа?

Решение. А – «обнаружено 0 ошибочных документов»,

	Б – «обнаружен 1 ошибочный документ».
События несовместны, P А				Б P А	P Б .
P А	С40С263	, C 3	30!	28 29 30	14 29 10 взять 3 из 30 всего;
	3
		30	3!27!	1 2 3
	С30

33

C0	4!	1, C3		26!				24	25	26	4	25 26	, P А	1	4	25	26		0,64	;


4	4!0!		26	3!23!				1	2	3				14		29	10
	4!0!			3!23!				1	2	3				14		29	10
P Б	С41С262	, C1	4!		4		, C 2		26!		25	26	25 13 , P Б				4	25 13		0,32 .
P Б	3	, C1			4		, C 2						25 13 , P Б							0,32 .
	3	4	1!3!					26	2!24!		1	2				14		29	10
	С30		1!3!						2!24!		1	2				14		29	10
P А	P Б	0,64	0,32			0,96 .

Ответ: с вероятностью 0,96 обнаружится не более 1 ошибочного документа.

Задача 2. В среднем 1 из 5 заказов такси бывает в аэропорт. Какова вероятность, что из 200 поступивших сегодня заказов не более 50 окажутся в аэропорт?

Решение. СНИ, n				200	,		p	1	0,2	, np 200		0,2	40	10 , k – от 0 до 50.

								5

Интегральная формула Лапласа: P 0									k 50		x2	x1	,
q 1 0,2		0,8 , npq		200	0,2 0,8			32 ,			5,66 ;
										32
x1	0	40	7,07	, x2	50		40	1,77 ;			1,77	7,07		0,46 0,5 0,96 .

	5,66				5,66

Ответ: с вероятностью 0,96 из 200 заявок не более 50 будут в аэропорт.
Задача 3. Функция				f x		A x	1	‒ плотность распределения некоторой слу-
чайной величины на интервале							1; 4	. Восстановите параметр А и функцию рас-

пределения. Найдите числовые характеристики и вероятности попадания СВ в

интервалы				1; 2		и		3; 5 .
				4						4
Решение.				A x				1 dx		A x	1 dx		1 ,	A		?
				1						1
4	x	1 dx		x2		x	4		42	4		12	1	8		4			1	1		9	, тогда	A	9	1		A		2		.
							4

1				2			1		2		2							2				2			2				9
				2					2		2							2				2			2				9
						2
Плотность			f	x		2		x 1 .		F x	? При x					1 F x				0 , при x 4				F x			1.
Плотность			f	x	9			x 1 .		F x	? При x					1 F x				0 , при x 4				F x			1.
					9
Если 1		x	4 , F x					x 2	x	1 dx		2 x	1 2		x		x	1 2			x		x 1 2	1	1 2			x	1 2		.
								x 2				2 x	1 2		x		x	1 2			x		x 1 2	1	1 2			x	1 2

								1 9			9		2		1			9			1		9		9		9
			0,	x	1,			1 9							1						1
			0,	x	1,
	F x		x	1 2 / 9,				1	x	4,
			1,	x	4.

Характеристики:

34

MX	4 x	2	x 1 dx	2 4	x2 x dx	2		x3		x2	4
											4


		9		9 1		9	3		2
	1	9		9 1		9	3		2		1
											1

			2			43		13			42			12						2		21			8		1			3 ;
			9			3			3			2			2					9		21			8		2			3 ;
			9			3			3			2			2					9							2
M X	2	4		x	2 2			x 1 dx			2			4	x		3	x	2	dx			2 x4						x3			4
																																4

		1					9						9	1									9			4			3			1
		1					9						9	1									9			4			3
			2			44			14			43		13						2		255
			2			44			14			43		13						2		255			21			9,5 .
			9			4			4			3			3					9		4			21			9,5 .
			9			4			4			3			3					9		4
DX 9,5		32			0,5 , отклонение																	0,7 .
DX 9,5		32			0,5 , отклонение															0,5		0,7 .
Вероятности:
а) P 1 x 2 F 2 F 1 ,
1 1 F 1 0 ,											2 1; 4								F 2					1	2 1			2 1					,	P		1					0	1	;
1 1 F 1 0 ,											2 1; 4								F 2					9	2 1						9		,	P			9				0	9	;
																								9							9						9					9
б) P 3 x 5 F 5 F 3 ,
3 1; 4				F 3				1		3 1 2				4		, 5 4 F 5 1												, P 1							4			5		.
3 1; 4				F 3						3 1 2						, 5 4 F 5 1												, P 1												.
								9						9																				9		9
Ответ:		A			2		, MX			3, DX						0,5,					0,7 , вероятности														1	и			5		соответственно.
Ответ:		A			9		, MX			3, DX						0,5,					0,7 , вероятности													9		и			9		соответственно.
					9																													9					9

Задача 4. Староста группы собрал сведения о числе пропущенных занятий:

Пропусков	0 ‒ 8	8 ‒ 16	16 ‒ 24	24 ‒ 32	32 –	40

Студентов	6	9	5	3	2

Найдите с надёжностью 95% доверительный интервал для среднего числа занятий, пропускаемых студентами Академии. Дисперсия неизвестна.

Решение.					6	9	5	3		2	25 , середины интервалов:

										Х		4		12		20		28	36

										N		6		9		5		3	2

x	1		4	6		12	9		20	5	28	3	36		2		388	15,5 .
x	25		4	6		12	9		20	5	28	3	36		2	25		15,5 .
	25															25
___		1																833 6
x2		1	42		6	122		9	202		5	282	3		362	2		833 6	333,44 .
x2	25		42		6	122		9	202		5	282	3		362	2		25	333,44 .
	25																	25
							15,5 2											s2		25
Дисперсия 333,44										93,2 , исправленная										25	93,2 97,1	,	s	97,1 9,85 .
Дисперсия 333,44										93,2 , исправленная									24		93,2 97,1	,	s	97,1 9,85 .
																			24

35

Материал: 5601

Смотрите также: