Документ: 5601, страницы 36-40 | База учебных материалов

Интервал. A	0,95	0,5 1 0,95 0,025. По таблице t-распределения Сть-
юдента t 0,025; 24	2,064 ,	2,064	9,85	4,15	, интервал: 15,5 4,15 .


		24

Ответ: С надёжностью 95% среднее число пропусков – от 11,35 до 19,65. Задача 5. Проверьте с уровнем значимости 0,01, не изменилась ли популяр-

ность ресторана, если ранее его посещали в среднем 75 клиентов в день при среднем отклонении 12 человек, а за прошедшее лето пришли 6 500. При каком числе посетителей за всё лето посещаемость ещё можно считать неизменной?

Решение. Из условия n 92 (дней летом), 12 известно, стандарт ‒ 75. а) простое расхождение со стандартом. Дисперсия известна.

Посетителей в день: x				6500				70,65 , 75			70,65	Z	75		70,65		92	3,477 .

					92										12
					92										12
Характер	различия			не			указан				0,01/ 2 0,005 ,				A	0,5 0,005 0,495,
t 0,495	Zкр 2,58 . Z					3,477			Zкр	2,58 .
Посещаемость изменилась, вероятность того, что это не так – не более 1%;

б) границы:		75	x	92			2,58		75	x	12 2,58		3,23	. Границы относительно

			12
											92
											92
стандарта при неизменной популярности:
		92	75	3,23; 75					3,23	92	71,77; 78,23			6 603; 7179 .

Ответ: посещаемость изменилась. Риск ошибки – 1%. Она неизменна при 6 603 - 7 179 посетителях за лето.

Примеры вариантов контрольной работы

Перед выполнением АКР желательно потренироваться в выполнении предложенных вариантов на время (1,5 часа), и при затруднениях или несовпадении ответов (стр. 39) обязательно обратиться к преподавателю.

Задание 1 – на одну из тем алгебры вероятностей, в том числе, возможно, на классическое определение вероятности.

Взадании 3 дополнительно постройте графики обеих функций и найдите вероятность попадания случайной величины в интервалы I1 и I 2 .

Взадании 4 постройте также полигон или гистограмму – по смыслу задачи.

Взадании 5 риск ошибки – это уровень значимости: вероятность принять гипотезу о различии средних, когда на самом деле различие несущественно.

Вариант А

36

1.На лекции в группе А готовы к занятию четверо из 8, в группе Б – трое из 12. Каковы шансы, взяв наугад журнал группы и спросив студента, обнаружить, что он готов? Как они изменятся, если журнал не брать? Почему?

2.При наборе текста оператор ошибается примерно в одном знаке из 200. Каков риск, что в тексте из 600 знаков будет не менее 3 ошибок?

3.Найдите параметр А, чтобы функция f x стала плотностью распределения

некоторой случайной величины. Восстановите функцию распределения и найдите математическое ожидание: f x A 5 x , x 1; 5 , I1 0; 3I2 3; 5 .

4. В таблице указано, сколько вкладов разной величины открыто в банке за день:

Размер, тыс. руб..	Менее 100	100 ‒ 200	200 ‒ 300	300 ‒ 400

Вкладов, шт.	4	12	16	8

Найдите с надёжностью 98% доверительный интервал для средней величины вклада, считая дисперсию неизвестной.

5. Повысилась ли урожайность на опытном участке размером 1 га, если ранее она составляла 200 ц/га при среднем отклонении 50 кг/ар, а после тестирования удобрений на опытном участке в 1 га собрано 210 ц? Риск закупки ненужных удобрений – не более 10%. Указание: наблюдение – каждая отдельная сотка (ар).

Вариант Б

1.Студент знает 4 вопроса из 15. Что вероятнее ‒ что он ответит хотя бы на 2 вопроса из 4, или что не ответит ни на один?

2.В парке ежедневно выходят на линию в среднем 9 автобусов из каждых 10. Каковы шансы, что сегодня на линии более 85 автобусов из 100 имеющихся?

3.Найдите плотность распределения по известной функции распределения и найдите математическое ожидание и дисперсию:

	0,	x	0,
F x	x		x2 /12, 0 x 3, I	1	1; 2 , I	2	1; 4 .
				1		2
	1,	x	3

4. Менеджер проверил, сколько тратили посетители кафе в течение дня:

Счёт, руб.	Менее 200	200 ‒ 400	400 ‒ 600	600 ‒ 800

Частота	6	12	18	14

Оцените с надёжностью 96% средний счёт одного посетителя за длительное время, если дисперсия совпадает с выборочной.

5. Не ошиблось ли руководство банка, ожидая среднюю величину вклада 120 тыс. руб., если средний вклад первых 25 клиентов составил 115 тыс. руб. при

37

среднем отклонении 20 тыс. руб.? Допустимый риск неверного суждения о несовпадении – 10%.

Дополнительные задачи

В задачах 1 – 6 составьте закон распределения случайной величины Х, найдите её числовые характеристики и функцию распределения, постройте её график.

1.Из 6 машин 2 требуют ремонта. Механик проверил 3 машины. Х – число машин, отправленных им в ремонт.

2.Студенты А, Б и В оценили свои шансы сдать экзамен в 20, 40 и 90% соответственно. Х - число сдавших экзамен.

3.Продавец кваса в жаркий день выручает 900 руб., в прохладный ‒ 300 руб., в обычный ‒ 700 руб.. Из каждых 5 дней в среднем 2 жарких и 1 прохладный. Х – дневная выручка.

4.В бригаде 3 рабочих, простаивающих примерно 1 час из каждых 5 независимо друг от друга. Х – число отдыхающих в случайно выбранный момент времени.

5.Студент знает 60% вопросов. Преподаватель задаёт не более 4 вопросов. Величина Х – число заданных вопросов, если студент уходит:

а) при первом же верном ответе, получив 3; б) при первом же неверном ответе, получив 2.

Изменением вероятности правильного ответа можно пренебречь.

6.Те же ситуации, что в задаче 5, но студент знает 6 вопросов из 10, и изменением вероятности правильного ответа пренебречь нельзя.

7.Число посетителей ресторана распределено нормально, в среднем составляет

100 человек за день и в среднем отклоняется (в смысле СКО DX ) от этого показателя на 15 человек. Найдите вероятность, что сегодня в ресторан зайдут

а) менее 80 посетителей; б) более 80; в) не менее 80.

8. Время работы телевизора распределено показательно, в среднем равно 5 годам. Сколько телевизоров работают более 8 лет? менее 8 лет? более 5 лет?

9. В отчёте размер вклада округляют до сотни в ближайшую сторону. Какова доля вкладов, занижаемых более чем на 20 руб.? завышаемых более, чем на 40 руб.? округляемых менее чем на 10 руб.?

10. Показания счётчика округляют до ближайших 10 кВт-ч в меньшую сторону. Какова доля платежей, где показания занижены более чем на 6 кВт-ч? Менее чем на 2 кВт-ч? Более чем на 11 кВт-ч? Завышены?

38

11. Время работы холодильников распределено показательно. Производитель определил гарантийный срок в 5 лет. Сколько холодильников нуждаются в гарантийном ремонте, если средний срок безотказной работы 4 года? 5 лет? 6 лет?

Ответы

Вариант А.

1) 0,375 и 0,35; если не брать журнал, возрастёт вероятность обратиться в сла-

бую группу Б;								2) 1			8,5e 3		0,575 ;		3)		A		1	, F x			1		1		5 x 2		на	1; 5 , 0
бую группу Б;								2) 1			8,5e 3		0,575 ;		3)		A	8		, F x			1	16			5 x 2		на	1; 5 , 0
																		8						16
при x	1 и 1 при x							5;			MX	2,333 ; 0,25; 0,75;						4)			220		35,42 тыс.					руб.;		5) да,
Z 2	Zкр		1,28 , удобрения увеличили урожай.
Вариант Б.
1)	P 0			22		, P 1				44	, P k	2	1	22	44		25	, вероятнее ответить хотя бы на 2

				91						91				91			91
				91						91				91			91
вопроса;					2)			P 86			k	100	0,91 ;			3)		f		x	1		2x	, x		0; 3		и 0 вне 0; 3 ,
вопроса;					2)			P 86			k	100	0,91 ;			3)		f		x		12		, x		0; 3		и 0 вне 0; 3 ,
																						12
MX	15	, DX				39	;	1	и 1;				4) 460		58 руб..						5)		Т			1,25		T	1,711, не
MX		, DX					;		и 1;				4) 460		58 руб..						5)		Т			1,25		T	1,711, не
	8				64			3																				кр
	8				64			3

ошиблось, отличие несущественно, вклады близки к ожидаемым.

Ответы к дополнительным задачам

(функция распределения F xдана в виде таблицы).

1)		MX	1,	DX 0,4;				0,64 ;

Х		0	1		2

Р		0,2	0,6		0,2


интервал				; 0			0;1		1; 2		2;

	F(x)			0			0,2		0,8		1

2)		MX	1,5; DX			0,49;		0,7 ;

Х		0		1		2		3

Р		0,048		0,476		0,404		0,072


интервал				; 0			0;1			1; 2		2; 3	3;

F(x)				0			0,048			0,524		0,928	1

													39

3) MX		700; DX					48 000;						220 ;

Х	300		700			900

Р	0,2		0,4			0,4

интервал					; 300						300; 700						700; 900			900;

F(x)					0								0,2				0,6			1

4) MX		0,6; DX					0,48;						0,7 ;

Х	0			1				2					3

Р	0,512			0,384			0,096					0,008


интервал					; 0				0;1				1; 2			2; 3		3;

F(x)					0			0,512					0,896			0,992			1

5 а)	MX			1,624; DX					0,81;				0,9 ;

Х	1		2		3				4

Р	0,6	0,24			0,096				0,064


интервал					;1				1; 2				2; 3		3; 4			4;

F(x)					0				0,6				0,84		0,936				1

5 б)	MX			2,176; DX					1,377;					1,17 ;

Х	1		2		3				4

Р	0,4	0,24			0,144				0,216


интервал					;1				1; 2				2; 3		3; 4			4;

F(x)					0				0,4				0,64		0,784				1

6 а)	MX			1,57; DX					0,644;				0,8;

Х	1		2			3			4

Р	0,6	0,267				0,1			0,033


интервал					;1				1; 2				2; 3			3; 4		4;

F(x)					0				0,6				0,867			0,967			1

6 б)	MX		2,1;		DX			1,3;					1,15;

Х	1		2				3			4
																		40
																		40

Материал: 5601

Смотрите также: