Материал: 5856

61

ошибки.

Действительно, В.А. Котельниковым было показано [1,6,7], что минимум полной вероятности ошибки достигается в том случае, когда система сигналов обладает следующими свойствами:

1)все сигналы обладают одинаковой энергией (длины всех векторов одинаковы);

2)расстояния d между всеми сигналами одинаковы и максимальны. Сигналы, удовлетворяющие этим условиям, называются симплексными. Для такой системы сигналов после ее нормировки все элементы на

главной диагонали матрицы Грама (1.47) равны единице, а все остальные элементы также принимают одно и то же значение . Найдем это значение.

Очевидно, что справедливо неравенство

На рис. 2.22 изображены симплексные системы векторов для М = 2 и М = 3. При М = 2 векторы соответствуют двум противоположным сигналам. Именно такие сигналы формируются при ФМ (рис. 2.18а). Таким образом, метод ФМ занимает особое место среди других методов модуляции в двоичных системах.

Рис. 2.22. Симплексные системы векторов для М=2 и М=3

Во-первых, если реализованы оговоренные выше условия, он должен обеспечить минимально-возможную вероятность ошибки при приеме двоичного сигнала.

Во-вторых, он широко используется при генерировании различных си-

62

стем сигналов при М > 2. Дело в том, что непосредственное генерирование симплексных сигналов при М >> 1 связано с определенными трудностями. Значительно проще реализовать это в два этапа: сначала генерируется последовательность, содержащая М – 1 двоичный символ (симплексный код), а затем эта последовательность подается на двоичный ФМ-модулятор. Сигналы (не обязательно симплексные), полученные таким образом, называются сиг-

нально-кодовыми конструкциями.

Из (2.47) видно, что при М >> 1 симплексная система сигналов мало отличается от ортогональной системы, для которой 0. Наконец, промежуточное положение занимает биортогональная система, в которой для каждого сигнала uk существует противоположный сигнал –uk, а все остальные сигналы ортогональны сигналу uk. Как будет показано в разд. 5, высокая энергетическая эффективность при использовании подобных систем сигналов может быть достигнута лишь при М >> 1.

Итак, для одного частного идеализированного случая мы решили задачу статистического синтеза всей системы передачи информации, и уже на этом примере увидели те трудности, которые придется преодолеть при практической реализации оптимальной СПИ.

Во-первых, это трудности при генерировании самих сигналов, но, как уже отмечалось, они частично преодолеваются путем использования сиг- нально-кодовых конструкций.

Во-вторых, каждый сигнал из системы, содержащей М = 2k таких сигналов, занимает довольно широкую полосу частот. Необходимая полоса была бы намного меньше, если бы то же сообщение передавалось обычным способом при помощи комбинации, состоящей из k двоичных символов.

В-третьих, провести обработку принимаемого сигнала в соответствии с выражением (2.44) можно при помощи корреляционного приемника. В итоге в пункте приема нужно иметь М параллельно работающих корреляционных приемников, каждый из которых настроен на прием своего сигнала. Эта процедура называется “прием сигнала в целом”.

В-четвертых, если условия работы СПИ начать приближать к реальным (неравновероятность сигналов на выходе источника информации; нестабильность параметров устройств, генерирующих и обрабатывающих сигналы; наличие мультипликативной помехи и т.п.), задача статистического синтеза всей СПИ становится неразрешимой.

Это еще раз подтверждает мысль, высказанную в разд. 2.1: сложную задачу по необходимости приходится разбивать на ряд более простых задач, то есть обработку сигналов и в процессе передачи, и в процессе приема проводить поэтапно, при этом нет полной уверенности в том, что на каждом этапе мы идем к конечной цели кратчайшим путем.

63

Вопросы для самоконтроля по главе 2

1.Опишите этапы аналого-цифрового преобразования непрерывного сигнала.

2.Опишите этапы цифро-аналогового преобразования.

3.Изобразите обобщенную модель системы передачи информации. Опишите функции кодера и декодера.

4.Приведите несколько примеров преобразователей сообщения в первичный сигнал.

5.Зачем нужна модуляция? Назовите виды аналоговой модуляции гармонической несущей.

6.Назовите способы манипуляции гармонической несущей. Чем обусловлен выбор того или иного способа?

7.Каковы недостатки многопозиционных методов манипуляции гармонической несущей?

8.Из каких соображений выбирается шаг квантования непрерывного сигнала: по напряжению?

9.Из каких соображений выбирается шаг квантования непрерывного сигнала:по времени?

10.Дайте определения терминов: сообщение, сигнал, помеха, канал связи, линия связи, многоканальная связь, многостанционный доступ, техническая скорость передачи.

11.Почему шаг квантования непрерывного сигнала по времени выбирается меньше того значения, которое следует из теоремы отсчетов?

12.Укажите стандартную частоту квантования во времени (отсчетов/с) телефонного сигнала.

13.Укажите количество разрядов в стандартном АЦП, применяемом при преобразовании телефонного сигнала.

14. Что удобнее применять на практике –коррелятор или согласованный фильтр?

64

3 КОДИРОВАНИЕ КАНАЛА.

3.1 Корректирующие коды

Наличие помех в линии передачи сигналов приводит к тому, что при демодуляции принимаемого сигнала с помехой демодулятор не всегда верно угадывает значение очередного m-ичного символа, т.е. вместо истинного значения xi выдает другое значение xk , взятое из алфавита x1, x2 ,..., xm . В таком

случае говорят, что в данном символе произошла ошибка. Ошибки возникают случайным образом, поэтому нет гарантии того, что в принятом сигнале они отсутствуют.

В таких условиях дальнейшая обработка (декодирование) цифрового сигнала с выхода демодулятора основана на анализе взаимосвязи между символами в последовательности. Если декодер приходит к выводу, что такая последовательность символов в принципе не могла быть передана, то такое решение называется обнаружением ошибок. На данном этапе декодер не пытается выяснить, какие именно символы приняты ошибочно и каковы их истинные значения, важно лишь установить факт, что в принятой последовательности хотя бы один символ содержит ошибку. Таким образом, этап обнаружения ошибок завершается выдачей решения в двоичной форме: “нет ошибок”, “есть хотя бы одна ошибка”. Если принято первое решение, декодирование очередной принятой последовательности на этом фактически завершается.

Если в системе передачи информации отсутствует обратный канал, то есть, нет возможности сообщить в пункт передачи о принятом решении, декодер после обнаружения ошибок предпринимает попытку восстановить переданное сообщение. Если ему удалось угадать положение ошибочных символов и их истинные значения, считают, что произошло исправление ошибок.

Очевидно, что угадывание далеко не всегда завершается успехом, поэтому не все возможные сочетания ошибок могут быть исправлены и даже обнаружены. В итоге иногда на выходе декодера всё-таки будут появляться последовательности символов, содержащие ошибки. Поэтому основной задачей теории помехоустойчивого кодирования является поиск таких последовательностей символов, при использовании которых процент ошибочных комбинаций на выходе декодера был бы как можно ниже.

Итак, корректирующим называется такой код, использование которого даёт возможность в процессе приёма цифрового сигнала обнаруживать в нём наличие ошибок и, возможно, даже исправлять некоторые из ошибочных символов.

Среди корректирующих кодов наибольшее распространение получили блочные двоичные коды, то есть передача двоичного сообщения производится блоками, причём каждый блок содержит n двоичных символов. Кодирова-

65

ние и декодирование каждого блока производится независимо от других блоков.

Напомним, что расстояние Хэмминга (1.43) dab между двумя кодовыми

комбинациями a и b численно равно количеству символов, в которых эти комбинации отличаются одна от другой. Например, пусть n=5, a=01101, b=00001, тогда dab 2 .

Вес комбинаций равен количеству единиц, содержащихся в ней. Например, W(a)=3, W(b)=1. Очевидно, что 0≤W≤n.

Расстояние Хэмминга удобно вычислять, пользуясь операцией сумми-

В дальнейшем суммирование двоичных кодовых комбинаций или их элементов предполагается проводить лишь по mod 2, даже если используется обычный знак суммирования.

Вектор ошибки e – это n-разрядная двоичная комбинация, в которой положение единиц указывает на положение ошибочных символов в принятой

Например, если n=6, x=011010, e=010100, то y=001110.

Кратность ошибки q – это количество ошибочных символов в принятой комбинации

причём 0≤q≤n.

Величина q случайна, в каналах с независимыми ошибками её математическое ожидание mq=pn, где p – вероятность появления ошибки в одном символе на выходе демодулятора (битовая вероятность ошибки). В реальных каналах связи отношение сигнал/помеха обычно настолько велико, что pn<<1. Это значит, что большинство комбинаций будут приняты без ошибок (q=0), изредка будут встречаться комбинации, содержащие где-то один ошибочный символ (q=1), ещё реже – комбинации с двукратными ошибками и т.д. То есть, принятая комбинация лежит недалеко от переданной.

Очевидно, что никакой код не способен обнаружить и исправить все возможные ошибки вплоть до q=n. Возможности любого кода ограничены, поэтому в первую очередь нужно направить усилия на борьбу с теми видами ошибок, которые встречаются наиболее часто, то есть с ошибками малых кратностей.