Материал: 595

13

5 ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТКАЗОВ

5.1 БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

где X – дискретная случайная величина; Pm – вероятность появления случайной величины; m = 0, 1, …, n; – возможные значения случайной величины; n – количество независимых опытов; p – вероятность появления ожидаемого события в каждом независимом опыте; 0< p <1; q = 1 – p.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение в соответствии с классическим определением имеют вид

При использовании производящих функций формулы (1.2) и (1.3) можно представить в более простой записи

Если вероятность появления ожидаемого события в каждом независимом опыте различна, то

З а д а ч а 1 . Из лесного массива отправлено n = 5 лесовозов на лесопильные рамы. Каждый лесовоз может не доехать до места назначения с вероятностью p = 0.3 независимо от дру-

14

гих лесовозов. Значением случайной величины Х здесь является

m– число недоехавших лесовозов. Найти:

1)вероятность того, что до места назначения доедет не менее

k = 2 лесовозов;

2)mx – наиболее вероятное число недоехавших лесовозов;

3)дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

Ре ш е н и е . Число недоехавших автомобилей распределено по биномиальному закону. По формуле (1.1) строим табл.1.1.

Таблица 1.1 – вероятности для различного количества не доехавших лесовозов

1) Вероятность того, что до места назначения доедет не менее двух лесовозов соответствует условию – до места назначения не доедет не более трех лесовозов. Используя данные табл. 1.1, запишем:

P{X ≤ 3}= P0 + P1 + P2 + P3 =

=0.168 + 0.360 + 0.309 + 0.133 = 0.970.

2)Наиболее вероятное число не доехавших лесовозов соответствует математическому ожиданию случайной величины Х

mx = n p = 5 0.3 = 1.5 ,

т.е. наиболее вероятно: до места назначения не доедет от 1 до 2-х лесовозов.

3) Dx = n p q = 5 0.3 0.7 = 1.05 σx = Dx = 1.05 = 1.03 О т в е т : P{X ≤ 3}= 0.970 , mx = 1.5 , Dx = 1.05 .

15

5.2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

где X – дискретная случайная величина; Pm – вероятность появления случайной величины; m = 0, 1, 2,… – возможные значения случайной величины; а – параметр распределения Пуассона.

Используя производящие функции можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины с

З а д а ч а 2 . На станцию технического обслуживания поступают автомобили с интенсивностью λ = 0.8 авт./час. Найти вероятность того, что за время τ=2 часа:

1)не поступит ни одного автомобиля;

2)поступит ровно m1 автомобилей, m1=1;

3)поступит хотя бы m2 автомобилей, m2=1.

Ре ш е н и е . Интенсивность потока поступления автомобилей величина постоянная, поэтому воспользуемся формулой (2.3) для определения параметра распределения Пуассона, т.е.

1) Для события, что не поступит ни одного автомобиля соответствует значение m = 0 , и, используя формулу (2.1) и (2.5), получим вероятность этого события

P0 = 1.60 e−1.6 = 0.202 . 0!

16

2) Для события, что поступит ровно один автомобиль, вероятность определится следующим образом

m = 1, P1 = 1.16!1 e−1.6 = 0.323.

3) P{X ≥ 1}= 1− P{X = 0}= 1− P0 = 1− 0.202 = 0.798 .

О т в е т : P0 = 0.202 , P1 = 0.323, P{X ≥ 1}= 0.798 .

З а д а ч а 3 . На автозаправочную станцию с 0 ч до 6 ч 40мин прибывают автомобили с интенсивностью потока, линейно зависящего от времени, т.е.

Поток прибытия автомобилей является пуассоновским нестационарным процессом. На основе статистических данных с учетом того, что 6 ч 40 мин = 400 мин, дана интенсивность потока в начале и конце контролируемого временного интервала, т.е.

Найти вероятность P того, что за интервал времени от t1 = 195 мин (3 ч 15 мин) до t2 = 205 мин (3 ч 25 мин) поступит не менее

n=3 автомобилей.

Р е ш е н и е . Найдем значение коэффициентов В и С, входящих в формулу (2.6) из следующей системы уравнений

откуда В = 1/2000, С = 0.2. Воспользовавшись формулой (2.2), определим среднее число прибывших автомобилей в заданном интервале времени [195 мин, 205 мин]