Материал: LS-Sb90324
Оставляем первые 3 участка от опоры (рис. 4.2, в), а остальные представляем
в виде сосредоточенной силы |
|
|
|
|
||||
отброшенных грузовых участков,: которая равна сумме произведений на |
||||||||
и момента 2: |
|
= + ! ! + + ; |
|
|
|
|||
|
! |
: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 = 2 |
+ ! ! 5 + 26 |
+ + 78 |
9 + 2;. |
|
|
|
|
|
|
= + ! ! + " " + # # + $ $ + % % |
+ & &; |
|
|
||
Для данной схемы |
|
9 |
|
|
||||
2 = |
+ ! ! 5 |
+ !6 + + & |
& 5 + ! + " + # + $ + % + |
& |
6. |
|||
Если |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
площадь поперечного сечения элемента конструкции на первом |
|||||||
грузовом участке велика по сравнению с площадью поперечного сечения на
остальных участках, первый участок можно опустить и тогда сила |
|
||||||
заменяется силой , а момент |
– моментом |
(рис. 4.2, г). |
|
||||
Для расчета напряжений' |
необходимо2 |
найти2'значения и построить эпюры |
|||||
внутренних сил <= и 2>. |
|
|
|
|
|
|
|
Максимальное напряжение на каждом грузовом участке определяется по |
|||||||
формуле |
|
2> |
|
|
|
|
|
|
|σ+|,-. = ?> |
|
@,-., |
|
|
|
|
где ?> – осевой момент инерции сечения, @,-. – максимальное |
значение |
||||||
координаты в данном сечении, т. е. максимальный радиус данного сечения. |
||||
Условие@прочности запишется в виде |
|
|
|
|
Для хрупких материалов |
|σ+|,-. ≤, дляσ .пластичных – |
. |
|
|
Если максимальное расчетноеσ = σвнапряжение⁄ |
меньше |
допустимогоσ = σт⁄ |
, то |
|
конструкция выдержит заданную нагрузку.
В конструкции могут быть элементы, которые имеют только крепление и с остальными частями не соприкасаются. Такие элементы рассчитываются отдельно и вводятся в расчетную схему в местах их крепления в виде самостоятельных сил и моментов (рис. 4.3 и 4.4).
В схеме изолятора (рис. 4.3) есть внутренний стержень, который
закреплен у основания. При выделении грузовых участков и расчете сил
16
этот стержень не учитывают. Можно обозначить его 10-м элементом и представить отдельной силой A, которая вводится на границе второго и третьего участков (рис. 4.3, б): A = ρ & & &,
где ρ & – плотность материала стержня; & – площадь поперечного сечения стержня; & – длина стержня.
а
б
в |
) и напряжений |σ+|,-. и |
Рис. 4.3 |
|
Дальше проводится расчет нормальной силы |
|
определяется прочность. |
|
17 |
|
В расчете при ускорении, направленном по нормали к оси конструкции,
внутренний стержень представляется отдельной силой |
A и моментом 2A в |
|||
месте крепления (рис. 4.4, в): |
|
|
||
A = ρ & & &, 2 A = ρ & & |
& |
. |
||
& |
2 |
|||
а
б
в
Рис. 4.4
18
Рассчитываются внутренние силы <=, 2> и максимальные напряжения на каждом грузовом участке, а затем определяется прочность.
4.3. Расчет жесткости конструкции
Расчет жесткости стержня – это оценка его упругой податливости под действием приложенных нагрузок и (или) подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут выходить за установленные нормами пределы.
Для количественной оценки жесткости изделия необходимо знать перемещения, которые совершают элементы конструкции под влиянием различных внешних воздействий.
Выражения, характеризующие перемещения стержня при изгибе и кручении, получают, интегрируя дифференциальные зависимости Коши с учетом закона Гука и условий сплошности. Искривленную при изгибе ось стержня называют изогнутой, перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси стержня, – прогибомθ стержня в данном сечении, наибольший прогиб – стрелой прогиба. Угол , на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальномуDE@
положению, носит название угла поворота сечения. Прогиб в плоскости считают@ положительным, если его направление совпадает с направлением оси . Угол поворота считают положительным при повороте сечения против часовой стрелки.
Для расчета перемещений воспользуемся теоремой Кастильяно, которая базируется на общем выражении для потенциальной энергии нагруженногоFD
стержня. Выделим из стержня элементарный участок длиной . В общем случае нагружения в поперечных), < ,сечениях< , 2 , 2 ,стержня2 возникают 6
составляющих внутренних сил: > = + > =. По отношению к элементарному участку рассмотрим эти внутренние силы как внешние. Определим работу, совершаемую этими силами при деформировании элемента. Она равна потенциальной энергии, накопленной в элементарном участке стержня. Допустим, что левое сечение элемента неподвижно. Точка приведения сил в правом сечении перемещается. При этом совершается работа. Полная потенциальная энергия элемента стержня может
19
рассматриваться как сумма независимых работ каждого из шести силовых
факторовFП =: FПH)I + FПJ<>K + FПH<=I + FПH 2+I + FПJ 2>K + FПH 2=I.
При кручении элементарного участка стержня длиной FD согласно равенству Lφ 2
LD = N?+O
угол закручивания |
|
|
|
2+FD |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Δφ = |
N?O , |
|
|
|
|
|
|
|||
где ?O – полярный момент инерции; |
N – |
модуль упругости при сдвиге. |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2+'FD |
|
|
||||
Потенциальная энергия деформации кручения |
|
|
||||||||||
|
FПH |
2+I = |
2 2+Δφ = |
|
2N?O . |
FD в соответствии с |
||||||
При изгибе в плоскости элементарного отрезка |
||||||||||||
равенством |
L'R= |
|
|
2> |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
LD' |
= − ?> |
|
|
2>'FD |
|
|
||||
|
|
2>FD |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
угол поворота и потенциальная энергия деформации изгиба |
|
|||||||||||
|
ΔΘ = |
?> ; FПJ2>K = |
2 ?> |
. |
|
|
||||||
Если |
изгиб происходит в |
плоскости |
|
|
, то соответствующее |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2='FD |
|
|
|
|
|
|
выражение для потенциальной энергии принимаетDEUвид |
|
|
||||||||||
где ?>, ?= – |
|
FПH 2=I |
= |
2 ?= |
|
, |
|
|
|
|
||
осевые моменты инерции; |
|
– |
модуль нормальной упругости. |
|||||||||
По закону Гука удлинение элемента стержня длиной FD |
равно |
|||||||||||
участка)FD⁄H I. Потенциальная энергия при растяжении-сжатии элементарного |
||||||||||||
|
|
FПH)I |
= 1 )'FD. |
|
|
|||||||
Слагаемые FПJ<>K и FПH<=I |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
представляют потенциальную энергию |
||||||||
сдвига. При сдвиге для элемента стержня, учитывая закон Гука и формулу Журавского для касательных напряжений, можно записать:
20