Документ: Poper_zgyn_plastyn, страницы 11-15 | База учебных материалов

Qy (x, y) та Qy (x + dx, y) ≈ Qy (x, y) + ∂∂Qy dy y

M y (x, y) та M y (x + dx, y) ≈ M y (x, y) + ∂M∂yy dy

H (x, y) та H (x + dx, y) ≈ H (x, y) + ∂∂Hy dy

Аналогічні співвідношення можна виписати для паралельних граней, що відстоять одна від одної на величину dy .

Будемо рахувати, що на пластинку діє поперечне рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q.

Для того, щоб елемент серединної площини пластинки знаходився у рівновазі, повинні задовольнятися шість рівнянь рівноваги. Складемо перше з них, проектуючи всі сили на вісь z. Слід відмітити, що всі зусилля треба множити на довжину грані, на якій вони діють.

∂Q

x

∂Qy

Qx

+

dx dy −Qx dy +

+

∂x

Qy

∂y

dy dx −Qy dx + qdx dy = 0

Звідки випливає:

∂Q

x

+

∂Qy

= −q

(25)

∂x

∂y

Рівняння моментів відносно осі у:

∂M

∂H

∂Q

dx

M

x

+

x

dx dy − M

x

dy + H +

dy dx

− Hdx − Q

x

+

x dx dy dx +Q

y

dx

−

∂x

∂y

∂x

2

∂Qy

dx

− qdx dy

= 0.

− Qy +

∂y

dx

2

Після скорочення та спрощення отримуємо:

∂M x +

∂H = Qx .

∂x

∂y

Аналогічно з рівняння моментів відносно осі х:

∂∂Hx + ∂M∂yy = Qy .

З двох останніх рівнянь виключимо поперечні сили, використовуючи співвідношення (25):

∂2 M	x + 2	∂2 H	+	∂2 M y	= −q .
∂x2		∂x∂y		∂y 2

Підставимо в це рівняння формули для моментів через прогини w (20), (21), (24): 11

∂

4

w

∂

4

w

∂

4

w

∂

4

w

∂

4

w

= −q .

− D

+ µ

+ 2(1

− µ)

+

+ µ

∂x

4

∂x

2

∂y

2

∂x

2

∂y

2

∂y

4

∂x

2

∂y

2

Після зведення подібних:

∂

4

w

∂

4

w

∂

4

w

4

+ 2

+

= q або

D

w − q = 0 ,

(26)

4

2

4

D

∂x

∂y

де 4 w = 2 2 w - двомірний оператор Лапласа.

Рівняння (26) називають основним рівнянням згину пластинки або рівнянням Софі Жермен. Після того, як функція прогинів w(x, y) буде знайдена як розв’язок цього рівняння, через прогини легко обчислити по отриманих раніше формулах зусилля та напруження в пластинці.

Для розв’язання цього рівняння та визначення сталих інтегрування потрібно знати умови на контурі пластинки. Кількість сталих інтегрування для диференціального рівняння четвертого порядку в частинних похідних дорівнює 8, отже для прямокутної пластинки на кожному краї контуру треба задати дві граничні умови.

6. Граничні умови.

Граничні умови задаються в залежності від характеру закріплень контуру пластинки.

Умови, при яких на контурі задаються переміщення (тобто прогини або кути повороту серединної площини), називаються геометричними.

Умови, при яких на контурі задаються зусилля (згинальні або крутні моменти та поперечні сили), називаються статичними.

Якщо одночасно задаються і переміщення, і зусилля, то умови називаються

змішаними.

О	А

x

b

С

a

В

Рис.4

y

12

Розглянемо прямокутну пластинку та визначимо граничні умови на контурі при різних типах закріплення її кінців (рис.4).

1). Розглянемо защемлений край ОА.

В защемленні відсутні прогини та неможливий кут повороту защемленого перерізу відносно осі Ох. Тому граничні умови можуть бути сформульовані так:

w(x,0) = 0

∂ (27)w (x,0) = 0

∂y

Отримані умови є геометричними.

2). Розглянемо шарнірно опертий край АВ.

На ньому дорівнюють нулю прогини та згинальний момент. Враховуючи зв’язок між згинальним моментом та прогином (20), можемо записати:

w(a, y) = 0
	∂2 w			∂2 w
	∂2 w			∂2 w
− D(			+ µ			) = 0
− D(	∂x	2	+ µ	∂y	2	) = 0
	∂x			∂y
Вздовж краю				х=а прогин w дорівнює нулю і не змінюється, отже			∂2 w	(a, y) = 0 та
Вздовж краю				х=а прогин w дорівнює нулю і не змінюється, отже			∂y2	(a, y) = 0 та
							∂y2

друга умова спрощується:

					w(a, y) = 0
							2	(28)
							2	(28)
						∂		w2 (a, y) = 0
						∂x
Аналогічну умову можна записати для другого шарнірно опертого краю ОС:
					w(0, y) = 0
							2	(29)
							2	(29)
						∂		w2 (0, y) = 0
						∂x
У випадку, коли до шарнірно опертого краю був би прикладений зовнішній
розподілений момент інтенсивності								mx , то треба було б замінити праву частину другої
умови (28) або (29):	∂2 w	= −	m	x
умови (28) або (29):	∂x2	= −	D
	∂x2		D

Отримані умови є змішаними. 3) Вільний край СВ.

Так як в цьому перерізі немає ніяких напружень, то треба прирівняти до нуля всі три зусилля, які можуть виникати у перерізі: поперечну силу, згинальний та крутний моменти. Отже кількість сформульованих граничних умов перевищує необхідну (три

13

замість двох). Наявність такого протиріччя пояснюється тим, що задача розв’язується в наближеній постановці. Задовольнити всім граничним умовам немає можливості.

Вказаного протиріччя позбуваються за допомогою штучного прийому об’єднання крутного моменту та поперечної сили в одну силу, статично їм еквівалентну.

Розглянемо крутний момент Н, розподілений вздовж грані СВ, яка паралельна осі х. На довжині dx діє крутний момент, рівний Н dx. Його можна зобразити у вигляді двох вертикальних протилежно спрямованих сил Н з плечем dx. Подібну заміну крутних моментів на вертикальні сили можна здійснити по всій довжині грані СВ. На межі кожної нескінченно малої ділянки dx , за виключенням кінцевих точок С та В, буде прикладено по

дві протилежно спрямовані сили, різниця між якими складає ∂∂Hx dx , тобто вздовж грані

буде діяти вертикальне розподілене навантаження інтенсивності ∂∂Hx . В точках С та В

виникнуть зосереджені сили НС та НВ. Отримане вертикальне навантаження можна об’єднати з поперечною силою Qy та рахувати, що на грані СВ діє приведена поперечна

сила інтенсивністю Qyприв = Qy + ∂∂Hx .

Аналогічно, вздовж граней пластинки, паралельних осі у діятиме приведена поперечна сила інтенсивності Qxприв = Qx + ∂∂Hy .

Для отримання граничної умови у кінцевому вигляді скористуємося виразами для крутного моменту через функцію прогинів (24):

∂H = −D(1 − µ) ∂3 w ∂x ∂x2 ∂y

∂H = −D(1 − µ) ∂3 w , ∂y ∂x∂y2

тоді для приведених поперечних сил:

Qxприв

Qyприв

∂

3

w

∂

3

w

+ (2 − µ)

3

2

= −D

∂x

∂x∂y

∂

3

w

∂

3

w

+ (2 − µ)

(30)

3

2

= −D

∂y

∂x

∂y

Треба мати на увазі, що граничні умови будуть виконуватись наближено, але на основі принципу Сен-Венана така заміна приведе лише до появи місцевих напружень поблизу краю пластинки, що розглядається.

Отже, на грані СВ умови на контурі пластинки можна записати у вигляді:

14

∂

2

w2

+ µ

∂

2

w2 = 0

∂y

∂x

(31)

∂3 w

∂

3 w

+ (2 −

µ)

= 0

∂y

3

∂x

2

∂y

Отримані умови є статичними.

7. Елементарні приклади згину пластинок.

Розглянемо декілька простих прикладів згину пластинки, які мають важливе значення для розуміння особливостей роботи пластин при згині.

7.1.Циліндричний згин пластини.

Циліндричним згином називається такий згин, при якому серединна площина пластинки переходить у циліндричну поверхню.

Уявимо пластинку, нескінченно довгу в напрямку осі у, завантажену сталим в напрямі цієї осі навантаженням (рис.5).

a

q=q(x) O

x

1

y

z

Рис.5

Вздовж осі х навантаження може змінюватися довільно q = q(x) . Всі смужки одиничної ширини, виділені з цієї пластинки, будуть згинатися однаково та в цілому пластинка буде зігнутою по циліндричній поверхні w = w(x) . Рівняння Софі Жермен запишеться у вигляді:

d 2 w	=	q	.	(32)
dx4		D

15

Материал: Poper_zgyn_plastyn

Смотрите также: