Материал: Sb96063

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Теперь сделаем двойную подстановку:	(ln x)2	e	(ln e)2	(ln1)2	1	.

	2	1	2	2	2

При таком способе решения не приходится делать замену переменной в определенном интеграле (в частности, задумываться о том, как меняются пределы интегрирования). Но зато приходится выполнять замену переменной в неопределенном интеграле, в частности, после того, как первообразная найдена в терминах новой переменной, нужно не забыть вернуться к исходной, прежде чем делать двойную подстановку.

2.2.3. Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла аналогична соответствующей формуле для неопределенного интеграла:

b											b
u dv						uv	ba v du .


a											a
																				1
Пример 22. Вычислить x arctg(x)dx .
																				0
																																		1
1												u(x)					arctg(x) du																		dx
1												u(x)					arctg(x) du																		dx
x arctg(x)dx																																	1 x2			=
x arctg(x)dx																														x		2				=
0																					dv x dx									x
																					dv x dx										2
																															2
		x		2							1			1		1			x		2
				2							1					1					2
																								dx .

	2				arctg(x)									2					2
	2										0			2		0 x					1
																													x		2						1
																															2						1
Результаты двойной подстановки:																																	arctg(x)						.


																														2								4
1			2					1		2													1														0
																																					0
		x							x				1 1															1												1	1 .
		x				dx			x				1 1					dx							1			1				dx x arctg(x)
						dx												dx							1							dx x arctg(x)
	2 1												2 1																											0
																																								0
0 x								0			x												0				x2 1														4
Итоговый ответ:
1															1											3 4
															1											3 4
x arctg(x)dx																	1													.
x arctg(x)dx												4			2		1					4				8				.
0												4			2							4				8
0

2.3. Приложения определенного интеграла

2.3.1. Вычисление площадей

Площадь S	фигуры, ограниченной двумя	непрерывными кривыми
y f (x), y g(x)	g(x) f (x) и двумя прямыми	x a, x b (a b) , равна

S g(x) f (x) dx.

Пример 23.

Вычислить площадь фигуры, f (x) x2 4, g(x) 4x 7 (рис. 2.2).

Найдем точки пересечения заданных кривых, приравнивая их значения:

x2 4 4x 7 x2 4x 3 0

x 1,

x 3.

	На отрезке [1; 3] верно				g(x) f (x) , по-
этому искомая площадь:
	3	4x 7 (x2 4) dx
	S	4x 7 (x2 4) dx
	1
3			2x2			x	3	3
3							3	3
	(4x 3 x2 )dx			3x
	(4x 3 x2 )dx			3x
					3
1								1
1								1

18 9 9 2 3 13 113 .

ограниченной кривыми

Рис. 2.2

Пример 24.

x 3cos t,

Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом, y 5sin t.

Вычислим площадь S1 верхней половины эллипса и потом удвоим. В этом случае получается фигура, ограниченной двумя непрерывными кривыми – эллипсом и прямой y 0 .

Получена криволинейная трапеция, площадь которой равна y dx. Сде-

												a
лаем замену переменной: x 3cost ,									dx (3cost)' dt 3sint dt . Здесь x изме-
няется от –3 до 3, следовательно, t								изменяется от до 0.
		3			0						0
S 2S1 2			y dx 2 5sin t( 3sin t dt) 30 sin 2 t dt 30 sin 2 t dt
		3										0
1 2 cos 2t			t			sin 2t				30
1 2 cos 2t			t			sin 2t				30
30		dt 30									15 .
30	2	dt 30		2		4				2	15 .
0							0
0							0

Полученный ответ соответствует формуле, утверждающей, что площадь эллипса с полуосями a и b равна ab.

2.3.2. Вычисление длин дуг

Длина дуги отрезка гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой

y f (x),						b	1 f '(x) 2 dx .
y f (x),			x [a;b]: l				1 f '(x) 2 dx .
						a					Пример 25. Вычислить длину дуги


																3
																3
										кривой		f (x) x 2 , x [0;4] (рис. 2.3).
											Данная кривая является непрерывно
										дифференцируемой (гладкой) на отрезке
										[0; 4],		следовательно,									для			вычисления
										длины дуги можно применить формулу.
											Вычислим						сначала производную:
													3				1
										f '(x) (x			2 )' 3 x 2 .						Подставив резуль-
															2
										таты вычисления в формулу, получим ис-
										таты вычисления в формулу, получим ис-
																			4					3		1 2
										комую длину дуги: l														3		x 2
			Рис. 2.3							комую длину дуги: l												1		2		x 2	dx
			Рис. 2.3																1					2
																			1
4		9		4	4		9		9		8			9		3		4	8				23		3
																3		4							3
																	2								132
	1		x dx			1		x d (1		x)		1			x							10						.
	1	4	x dx	9		1	4	x d (1	4	x)	27	1		4	x							10			8			.
1		4		9	1		4		4		27			4						27					8
1					1													1
																		1

2.3.3. Вычисление объемов и площадей поверхности тел вращения

Пусть некоторое тело получено вращением криволинейной трапеции, ограниченной ветвью графика y f (x), при x [a;b], вокруг оси Ox . Объем

такого тела вращения вычисляется следующим образом: Vx f 2 (x)dx .

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением ветви графика y f (x), при x [a;b], вокруг оси Ox . Площадь поверх-

									b		1 ( f '(x))2 dx .
ности вращения вычисляется по формуле: Px 2 f (x)											1 ( f '(x))2 dx .
									a
Пример26. Вычислитьобъемтелавра-
щения и площадь поверхности вращения,
полученные вращением		отрезка			прямой
y x ,	x [0;2] вокруг оси Ox (рис. 2.4).
	2		x	3	2	8 .
	2			3	2
Объем тела Vx x2dx
Объем тела Vx x2dx
	0	3			0	3
	0				0
Для данной функции найдем производ-
ную:	f '(x) x' 1. Подставив результаты
вычисления в формулу, получим искомую
площадь поверхности вращения:
											Рис. 2.4
	2	2					x	2		2	2 x2	2
	2	2						2		2
Px 2 x 1 12 dx 2 2 x dx						2 2
Px 2 x 1 12 dx 2 2 x dx						2 2
	0	0				2				0		0
						2						0

2 (4 0) 4 2 .

Пример 27. Вычислить площадь параболоида вращения, полученного вращением вокруг оси Ox дуги параболы y2 8x , x [1;4].

На данном отрезке можно рассматривать функцию y f (x) 8x .

Найдем ее производную: f '(x) (	8x)'	8	x 12	2 .
		2
				x

Вычислим площадь данного параболоида вращения:

		4								2			4							4
								2		2						x	2


	Px 2									dx	4 2		x					dx 4 2				x 2 dx

					8x 1			x								x
		1						x					1			x				1
				3		4					3	4			3				3
						4

			(x 2)	2			8						8


4	2								2 (x 2)		2			2 (6			2 3		2 ) 8		6(2 2 1) .
4	2	3					3		2 (x 2)		2		3	2 (6			2 3		2 ) 8		6(2 2 1) .
		3					3					1	3
		2				1
		2

Определенный интеграл имеет многочисленные геометрические и физические приложения, часто используемых при решении инженерных задач. В пособии рассмотрены только простейшие геометрические приложения.

Раздел «Математического анализа», посвященный интегральному исчислению функции одной переменной, является фундаментальным для математической основы инженерного образования. Существует большое число учебной литературы, содержащей этот раздел. Но их содержание зачастую много шире, последовательность изложения не соответствует необходимой для соответствующих направлений обучения. Именно поэтому краткое изложение курса, терминологии, примеры, имеющиеся в учебном пособии, помогут студентам правильно ориентироваться и в изучаемом предмете, и в учебной литературе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: учеб. для вузов: в 3 т. Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988; пе-

реизд.: 2003, 2006.

2.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. М., 1986; переизд.: 2001, 2005, 2010, 2012.

3.Комплексные числа и многочлены: метод. указания к решению задач / сост.: М. Н. Абрамова, Е. А. Толкачева, А. И. Куприянов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007.

4.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т. М.: Физматлит, 1985; переизд.: 1996.

5.Сборник задач по математике для втузов: в 4 ч.: учеб. пособие для втузов: в 2 ч. / под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. 4-е изд. М.: Физматлит,

2003.

Источник: https://studfile.net/preview/16439017/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей