Документ: Sb96063, страницы 16-20 | База учебных материалов

dx	d (x 1)				1				c,

(x 1)2	(x 1)2						x 1
dx					dx							dx					1		dy
																y x
																	2
x2 x 1					1			1	3			1			3		2			3
x2 x 1			2		1			1	3			1		2	3				2	3
		x		2		x					(x		)			dy dx		y
		x		2	2	x		4		4	(x	2	)		4	dy dx		y		4

dy

34 ( 43 y2 1) .

Сведем интеграл к табличному:

										t		2			y
				dy																	2				dt				2
				dy										3							2				dt				2	arctg(t) c.


	3		4		2							2											3 t 2			1			3
	3		4		2							2											3 t 2			1			3
		(		y			1)		dt							dy
		(		y			1)		dt			3				dy
4 3												3
Осталось вернуться к исходной переменной:
2										2								2								2				2					1
		arctg(t) c									arctg(									y)		c						arctg				(x				)	c.
																																			2
3										3								3								3				3
3										3								3								3				3
Итак,								x												1				2					2				1
													dx													arctg					(x			) c.
						(x 1)(x3														1													2
																			x					3					3
										1)									x					3					3
Пример 14. Вычислить																					x 3						dx .

																	x2 2x 2 2
																	x2 2x 2 2

Знаменатель подынтегрального выражения – степень квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Кроме того, подынтегральное выражение – правильная дробь. Таким образом, под интегралом – простейшая дробь 4-го типа. Вычислим этот интеграл двумя способами: при помощи рекуррентной формулы и методом Остроградского.

1-й способ.

Напомним рекуррентную формулу:

dx

In ,

In

x

1

2n 3

In 1.

(x2 a2 )n

2a2 (n 1)(x2

a2 )n 1

a2

2n 2

Преобразуем интеграл

x 3

dx

1

2x 2 8

dx

1

2x 2

dx 4

dx

.

x2 2x 2 2

2

16

Вычислим интегралы-слагаемые по отдельности. Первое слагаемое – внесением под знак дифференциала:

1

2x 2

dx

1

d (x2 2x 2)

1

c.

2

x

2

2x

2

x

2

2(x2

2x 2)

2

2x 2

Преобразуем второе слагаемое:

dx

t x 1

dt

.

x

2

x

2x 1

2

x 1

2

t

2

2x 2

2

1

dt dx

2

1

2

После преобразования интеграл приобрел вид, необходимый для приме-

нения

рекуррентной

формулы

( a 1,

n 2). И

применяя ее,

получим

dt

t

1

dt

t

1

arctg(t) c

(последний

интеграл

2 t 2

t 2 1 2

2

t 2 1

2

табличный).

Возвращаясь

к

исходной

переменной,

получим

t

1

arctg(t) c

x 1

1

arctg(x 1)

c.

2 t 2 1

2 x 1 2

1

2

Итак,

x 3

dx

1

x 1

2

arctg(x 1)

c.

2

2(x

2

2x 2)

2

2x

2

x

2x

2

x

Упростив правую часть, получим итоговый ответ:

					2x		5
		x 3
		x 3		dx			2	2arctg(x 1) c.
x	2		2	dx	x2	2x 2		2arctg(x 1) c.
x		2x 2

2-й способ.

x3

x2 2x 2 2 dx.

В этой задаче нет множителей вида pi

(в обозначениях описания метода

Остроградского), а

q x2 2x 2,

s

2.

Тогда M N x2 2x 2 .

1

Применим основную формулу метода Остроградского:

x 3

dx

c1x c2

d1x d2

dx, где c1,c2 , d1, d2 – не-

2

x

2

x

2x 2

x 2x

определенные коэффициенты.

17

Продифференцируем обе части:
	x 3								c1x c2					d1x d2

																			.
	x2 2x 2 2																		.
	x2 2x 2 2						x2 2x 2							x2 2x 2
Вычислим производную:
	x 3						c		x2 2x 2				2x 2 c x c							2				d x d							2
							1				x2 2x 2 2						1			2					1						2		.
	x2 2x 2 2										x2 2x 2 2												x2 2x 2										.
Приведем выражение к общему знаменателю:																																x2			2x 2
	x 3						c		x2 2x 2				2x 2 c x c							2			d x d							2		x2			2x 2
							1										1			2					1					2							.
											x2 2x 2 2																	x2 2x 2 2
	x2 2x 2 2										x2 2x 2 2																	x2 2x 2 2
Домножив обе части равенства на x2																2x 2 2 , получим:
	x 3 c		x	2		2x 2					2x 2	c x c					d x d									x		2
	x 3 c		x			2x 2					2x 2	c x c					d x d					2				x				2x 2 .
1													1			2		1				2
Раскроем скобки и приведем подобные:
	x 3 d x3				d		2	2d c x2					2c		2	2d 2d					2	x					2c 2c							2	2d	2	.
		1					2			1	1				2			1			2								1					2		2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной в левой и правой частях, составим систему уравнений для неопределенных коэффициентов. Решая систему любым способом, найдем коэффициенты:

				d	0,									d1 0,
				1										c			2,
		d2 2d1 c1 0,														1	2,
									1,					d		2	2,
2c2 2d1 2d2									1,							2		5
	2c1 2c2 2d2 3,																	5	.
	2c1 2c2 2d2 3,														c2			2	.
																		2
Подставим найденные коэффициенты в исходное равенство:
			x 3								2x				5					2
			x 3								2x				2					2
							dx														dx.
	x2 2x 2 2						dx	x2 2x 2										x2 2x 2			dx.
Вычислим оставшийся интеграл:																				d x 1
			2			dx 2						dx					2			d x 1		2arctg (x 1) c.
		2				dx 2				x 1				2			2			2		2arctg (x 1) c.
	x	2	2x 2											2	1					2
	x		2x 2												1					x 1 1
																	5
Итак,					x 3						dx			2x 2						2arctg (x 1) c.
Итак,				x2 2x 2 2							dx		x2 2x 2							2arctg (x 1) c.
				x2 2x 2 2									x2 2x 2

18

Легко видеть, что применение метода Остроградского позволяет сильно упростить собственно интегрирование. При этом поиск неопределенных коэффициентов в разложении (т. е. фактически, решение линейной системы уравнений) присутствует во всех способах интегрирования дробно-рациональных функций.

Приведем еще один пример, демонстрирующий преимущества метода Остроградского.

Пример 15.

Вычислить x7 2x6 3x5 4x4 5x3 6x2 7x 8dx.

x2 1 4

При попытке вычислить данный интеграл при помощи рекуррентной формулы возникнет ряд технических сложностей.

Во-первых, при разложении в сумму простейших дробей придется решить систему порядка 8.

Во-вторых, рекуррентную формулу потребуется применить несколько раз (каждое ее применение понижает степень знаменателя как неприводимого многочлена на 1). После каждого такого применения нужно, вдобавок, приводить подобные. Заметим, что применять рекуррентную формулу приходится к каждому слагаемому последовательно, т. е. сначала – для 4-й степени знаменателя, затем для 3-й и т. д.

Вычислим данный интеграл при помощи метода Остроградского. Подынтегральное выражение – правильная дробь, знаменатель которой

уже разложен в произведение степеней неприводимых многочленов.

В наших обозначениях для метода Остроградского множителей вида pi

нет, множитель q

x2 1, t

4.

1

Применив основную формулу метода Остроградского, получим:

x7

2x6

3x5 4x4 5x3 6x2 7x 8

dx

x2 1 4

Ax B

dx

ax5

bx4 cx3 dx2 ex f

, где

A, B, a,b,c, d,e, f

– неопре-

2

3

x

1

x

2

1

деленные коэффициенты.

Продифференцировав обе части равенства, получим:

19

x7 2x6 3x5 4x4 5x3 6x2 7x 8

Ax B

x

2

1

x2 1

4

5

4

3

2

bx

cx

dx

ax

ex f

.

2

3

x

1

Вычислим производную:

x7 2x6 3x5 4x 4 5x3 6x 2 7x 8

Ax B

x

2

1

x 2 1

4

5ax 4 4bx3 3cx 2 2dx e x 2

1 3 6x x 2 1

ax5 bx 4 cx3 dx 2 ex f

x 2 1 6

.

Упростим правую часть:

x7

2x6 3x5 4x4 5x3 6x2 7x 8

x2 1 4

Ax B

5ax4 4bx3 3cx2 2dx e x2 1 6x ax5 bx4 cx3 dx2 ex f

.

x2 1

x

2

4

1

Домножим равенство на x2

1 4 . Раскрыв далее скобки и приведя подоб-

ные слагаемые

в

правой

части,

получим следующее равенство:

x7 2x6 3x5 4x4 5x3 6x2 7x 8

x7 A x6 B a x5 3A 2b x4 3B 5a 3c x3 3A 4b 4dx2 3B 3c 5e x A 2d 6 f B e .

Составим систему уравнений для коэффициентов и решим ее:

1 A,		A 1,

2 B a,
2 B a,		B 15 4 ,
		a 7			,
3 3A 2b,		a 7			,
3 3A 2b,			4
	3B 5a 3c,	b 0,
4	3B 5a 3c,	b 0,
			16	3 ,
5	3A 4b 4d ,	c		3 ,
	3B 3c 5e,	d 1 ,
6	3B 3c 5e,	e 17			2
7 A 2d 6 f ,					2
7 A 2d 6 f ,						,
				4
				4
	B e.			7			.
8	B e.	f		7		6	.
						6

Подставим полученные коэффициенты в исходное равенство:

20

Материал: Sb96063

Смотрите также: