Материал: Sb96063

лучим, что duu ln u c . Возвращаясь к исходной переменной (u ln x ), по-

лучим окончательный ответ: ln | ln x | c . Полное решение записывается так:

Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе. Его производная сов-

падает с числителем: (x2 3x 7)' 2x 3. Значит, можно сделать замену переменной:

грируем степенную функцию согласно таблице интегралов). Возвращаясь к

6

исходной переменной, так как u x2 3x 7 , получаем окончательный ответ:

1

2(x2 3x 7) 2 c.

1.2.2. Внесение под знак дифференциала

Если подынтегральная функция имеет вид произведения f (g(t))g'(t) , то, помня об определении дифференциала функции d(g(x)) g'(x)dx , можно вне-

Подынтегральная функция имеет сложный аргумент 3x 7 . Внесем его под знак дифференциала: d(3x 7) (3x 7)'dx 3dx .

Таким образом, интеграл принял вид:

7

осталось воспользоваться таблицей интегралов, тогда решение имеет вид:

Итак, «замена переменной» и «внесение под знак дифференциала» – это две интерпретации одного и того же технического приема. Какой из этих двух вариантов использовать – вопрос исключительно удобства решающего.

1.2.3. Интегрирование по частям

Пусть u(x),v(x) – дифференцируемые функции. Тогда u dv uv v du .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Заметим, что применение формулы интегрирования по частям имеет смысл тогда, когдаv du проще, чем исходный.

Рассмотрим примеры типовых интегралов, берущихся с использованием формулы интегрирования по частям.

Пример 7. Вычислить (2x 3)exdx .

Подынтегральная функция – произведение показательной функции и многочлена. В этом случае целесообразно в качестве u(x) выбрать многочлен, а произведение показательной функции на dx – в качестве dv .

(2x 3)ex 2ex c .

Пример 8. Вычислить x sin(2x 1)dx.

Подынтегральная функция – произведение многочлена и одной из следующих функций: sin x , cos x , ln x , arcsin x , arctg x . В этом случае целесообразно в качестве u(x) выбрать многочлен, а произведение одной из перечисленных функций на dx – в качестве dv .

8

личный x 1x dx 1dx x c. Итоговый ответ ln( x)dx x ln( x) x c.

Пример 10. Вычислить 2x cos(7x)dx.

Подынтегральная функция – произведение показательной функции на sin x или cos x . В этом случае формулу интегрирования по частям приходится применить несколько раз.

Получившийся интеграл тоже берется при помощи формулы интегрирования по частям. При этом в качестве u(x) , v(x) нужно выбрать функции того же типа, что и на первом шаге.

9

Итак, по результатам двух шагов:

Получившийся интеграл отличается от исходного умножением на кон-

станту, в данном случае умножением на 49 . Перенесем слагаемое, содерln 2 2

жащее интеграл, в левую часть равенства:

Приведем подобные слагаемые в левой части равенства:

Остается выразить исходный интеграл и добавить в правую часть произвольную константу:

Такие интегралы, сводящиеся к самим себе, называются интегралами циклического типа.

1.2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной называется функция вида f (x) Pn (x) , где Pn (x)

Qm (x)

и Qm (x) — многочлены степеней m и n соответственно. Если m n , то рациональная дробь называется неправильной, если m n , то правильной.

Интегрирование дробно-рациональных функций основано на следующем утверждении: любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и простейших дробей четырех типов.

10