Материал: Sb96063

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

						x7			2x6 3x5 4x4 5x3 6x2 7x 8
																																																	dx
																					x2 1 4																												dx
																					x2 1 4
								x		15			7						x		5		16				x		3					1			x	2			17			x				7
								x			4			dx				4	x					3			x								2		x					4		x				6		.
											4							4						3											2							4						6
									2																			x
									2																												3
								x 1																								2					1
								x 1																								2
					Вычислим оставшийся интеграл:
	x				15																																						d x2 1
										1							2x							15 dx															1													15
					4					1							2x							15 dx															1													15
							dx													dx																																			arctg(x)
x2 1							dx					2				x2 1				dx				4						x2 1										2					x2 1								4		arctg(x)
		1		ln x2					1					15			arctg(x) c.
	2			ln x2					1				4				arctg(x) c.
	2												4
					Итоговый ответ:																	x7			2x6								3x5						4x4 5x3 6x2 7x 8																		dx
					Итоговый ответ:																																				x2 1 4																dx
																																									x2 1 4
																								7				x			5					16		x	3				1		x		2	17				x		7
			1	ln x2					1						15		arctg(x)
			1												15											4											3						2								4			6		c.
																																						x2 1																		c.
	2												4																									x2 1
	2												4																																	3

1.2.6. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим на примерах несколько основных приемов интегрирования тригонометрических функций.

1. Интегралы от функций вида sin m (x) cosn (x).

sin x

Пример 16. Вычислить cos2 x dx .

Если хотя бы одна из степеней нечетная, можно сделать замену y sin x или y cos x (заменяем ту функцию, которая входит в подынтегральное выражение в четной степени).

sin x		y cos x	dy	1		1
	dx				c		c.
cos2 x	dx		y 2		c		c.
cos2 x	dy sin x dx		y 2	y		cos x

Пример 17. Вычислить sin 2 x dx .

Если обе степени четные, предварительно нужно применить формулы понижения степени.

Формулы понижения степени: sin 2 x					1 cos(2x)	,	cos2 x				1 cos(2x)	.
Формулы понижения степени: sin 2 x					2	,	cos2 x				2	.
					2						2
sin 2 x dx	1 cos(2x)	dx	1	( 1dx cos(2x)dx)				x	1	sin(2x) c.
sin 2 x dx		dx		( 1dx cos(2x)dx)						sin(2x) c.
	2		2				2		4

Пример 18. Вычислить sin(5x) cos(x)dx .

Если подынтегральное выражение – произведение синусов или косинусов разных аргументов, то подынтегральное выражение можно упростить при по-

мощи формул тригонометрии:	sin x sin y	1	cos(x y) cos(x y) ,
		2

cos x cos y

cos(x y) cos(x y) , sin x cos y

sin( x y) sin( x y) .

sin(5x) cos(x)dx

sin(4x) sin(6x) dx

cos(4x)

cos(6x) c.

Пример 19. Вычислить

dx .

1 8 cos x

Если подынтегральная функция – рациональная функция от sin x, cos x , то соответствующий интеграл сводится к интегралу от рациональной функции

при помощи универсальной тригонометрической замены

y tg(

) . При этом

dy dx , а основные тригонометрические функции выражаются так:

2(1 y2 )

sin x

2 y

, cos x

1 y

1 y2

y tg(

)

1 y

cos x

dy .

9 7 y2

8cos x

1 y2

2(1 y2 )

Таким образом, исходный интеграл сведен к интегралу от дробно-рацио- нальной функции, техника вычисления таких интегралов подробно рассмотрена ранее.

									1
1				1					1				1					1						1				3 7 y

			9 7 y2			dy										dy						dy					ln			c =
2			9 7 y2					12 3						7 y				3		7 y				12 7				3	7 y
							x

1				3	7tg(				)

		ln					2			c.

12 7							x

				3	7tg(			)
				3	7tg(		2	)
																									x


												1						1			3		7 tg(			)
	Итоговый ответ:											1			dx			1	ln		3		7 tg(		2	)	c.
																									x

											1 8cos x						12 7
											1 8cos x						12 7
																					3		7 tg(			)
																					3		7 tg(		2	)

Разумеется, перечисленными приемами способы интегрирования тригонометрических функций не исчерпываются. Рассмотрены лишь наиболее распространенные.

2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1.Определение и свойства определенного интеграла

Пусть	функция	f (x)	определена на			отрезке	[a;b]	и
a x0 x1 ... xn b ,		тогда интегралом функции				f (x) на отрезке		[a;b]
		b		n 1
				n 1			ti [xi ; xi 1],
называется	число	f (x)dx lim i 0 f (ti ) xi ,				где	ti [xi ; xi 1],
		a	max	xi	0

xi xi 1 xi .

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b – верхним пределом интегрирования.

Обратите внимание, что результат вычисления неопределенного интеграла – функция, а результат вычисления определенного интеграла – число.

		Простейшие свойства определенного интеграла
	a
1.	f (x)dx 0 .
	a
	b	a
2.	f (x)dx f (x)dx .
	a	b
		b	c	b
3.	с (a;b) :		f (x)dx	f (x)dx f (x)dx (аддитивность по интервалу).
		a	a	c

b	b	b
4.	f (x) g(x) dx	f (x)dx g(x)dx (аддитивность по функции).
a	a	a
	b	b
5. c R : cf (x)dx c f (x)dx .
	a	a
Свойства 4, 5 в совокупности называются свойством линейности опреде-
ленного интеграла.
		Геометрическая		интерпретация
		(рис. 2.1). Геометрический смысл определен-
		ного интеграла (точнее, модуля определен-
		ного интеграла) – площадь фигуры, ограни-
			x a,
			x b,
		ченной кривыми	x b,
			y 0,
	Рис. 2.1.
	Рис. 2.1.	y f (x).

Этопозволяетточновычислятьплощадиплоскихфигурсосложноустроенными границами.

2.2.Методы вычисления определенного интеграла

2.2.1.Формула Ньютона–Лейбница

Пустьфункция f (x) определенаинепрерывнанаотрезке [a;b] , имеющая

первообразную F(x) , т. е.								F'(x) f (x) . В этом случае верна формула Нью-
		b									ba F (b) F (a) .
тона–Лейбница:			f (x)dx F (x)


		a
Выражение F(x)				b		мы будемназыватьдвойной подстановкой и понимать
Выражение F(x)				b		мы будемназыватьдвойной подстановкой и понимать
				a
				a
под ним	F(x)	b F(b) F(a) .
под ним	F(x)	b F(b) F(a) .
		a						3
		a

Пример 20. Вычислить x2dx .
								1
3					x	3				x		3	3	3	3		26
3						3						3	3	3	3
x2dx x2dx							c							3	1 9	1		8 2 .
x2dx x2dx							c							3	1 9	1	3	8 2 .
			3						3					3	3	3	3	3
1													1
1													1

Замечание. Среди первообразных функции f (x) можно выбрать любую.

Формула Ньютона–Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к нахождению первообразной, с последующей двойной подстановкой. Однако определенный интеграл часто удается вычислить даже в случае, когда соответствующий неопределенный взять в элементарных функциях невозможно (невозможно применить формулу Ньютона–Лейбница), используя другие методы, рассмотрение которых остается за рамками данного пособия.

2.2.2. Замена переменной в определенном интеграле

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] , а функции g(t), g'(t) непрерывны на отрезке [ p;q], где g( p) a, g(q) b, причем f (g(t)) определена и непрерывна на отрезке [ p; q], то можно произвести замену переменной:

b q

f (x)dx f (g(t))g'(t)dt.

a p

Замечание. В отличие от замены переменной в неопределенном интеграле, при использовании этого приема для определенного интеграла преобразованию подвергается не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования. В качестве альтернативы можно разбить решение на 2 этапа: сначала вычислить первообразную (используя неопределенный интеграл), а затем сделать двойную подстановку.

e ln x

Пример 21. Вычислить dx .

1 x

1-й способ: замена переменной в определенном интеграле.

			t ln x
e			1				1		2	1
e			1				1		2	1
	ln x	dx	dt	x	dx		t dt	t				1	.
		dx	dt	x	dx		t dt						.
	x					0		2			2
1	x	x 1 t ln 1				0	0			0	2
1		x 1 t ln 1					0			0
		x e t ln e 1

Обратите внимание, что при использовании замены переменной в определенном интеграле изменяются и пределы интегрирования, что позволяет получить результат, не возвращаясь к исходной переменной.

2-й способ: вычисление первообразной с последующей двойной подстановкой.

	ln x	dx	1	d (ln x) =	(ln x)2
Вычислим первообразную:						c .
	x		x		2

Источник: https://studfile.net/preview/16439017/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей