Материал: Sb97952
6.5. Содержание отчета
1.Основные теоретические сведения по моделированию движения заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.
2.Привести таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.
3.Привести график зависимости z f (x) для всего временного интер-
вала моделирования.
4.Привести листинг кода программы, моделирующей движение заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.
5.Сформулировать выводы по результатам моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.
6.6. Вопросы для самоконтроля
1.В чем состоит основное отличие задачи рассеяния движущихся зарядов друг на друге от задачи движения электрического заряда в переменном электромагнитном поле?
2.В чем состоит различие картины линий напряженности электрического поля точечного неподвижного заряда от картины линий напряженности электрического поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью?
7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ ЧАСТИЦЫ
Цель работы: ознакомление с методикой моделирования процесса случайного блуждания частицы.
7.1. Основные теоретические положения
Для моделирования механического движения частицы при действии на нее различных сил решается уравнение движения
F |
|
|
|
|
|
m |
aγ vγ . |
(7.1) |
получаемое из второго закона Ньютона:
31
F |
dp |
, |
(7.2) |
|
dt |
||||
|
|
|
||
где F – векторная сумма сил, действующая на частицу; |
– релятивистский |
|||
фактор (гамма-фактор, Лоренц-фактор); m – масса заряженной частицы; v – вектор скорости заряженной частицы; p – вектор импульса заряженной частицы.
Гамма-фактор для заряженной частицы определяется соотношением
|
1 |
, |
(7.3) |
1 (v2 / c2 ) |
где v – скалярная проекция вектора скорости заряженной частицы на рассматриваемое направление движения; с – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.
При попытке смоделировать реальное движение частицы возникают проблемы при описании всех факторов, влияющих на это движение. Для таких случаев часто используют подход, заключающийся в том, что некоторые величины (значения которых трудно или невозможно оценить) заменяют на величины, меняющиеся квазислучайно.
Классическим примером подобной задачи считается броуновское движение (движение макрочастицы в жидкости или газе под действием теплового движения частиц жидкости или газа). В этом случае учесть влияние всех столкновений почти невозможно, но смоделировать (на качественном уровне) ее движение вполне возможно. Для моделирования движения броуновской частицы в качестве простой математической модели часто используется модель случайных блужданий.
В рамках модели случайных блужданий частица на каждом расчетном шаге (итерации) смещается на случайное расстояние (в выбранном диапазоне) в случайном направлении. Математическое ожидание (среднее значение) положения частицы через N расчетных шагов оценивается по формуле
M [r] |
iN1ri |
, |
(7.4) |
|
N |
||||
|
|
|
||
где ri – модуль радиуса-вектора положения частицы через i |
шагов. |
|||
Для оценки дисперсии (среднего отклонения от математического ожи- |
||||
дания) применяется расчетное выражение |
|
|
||
D [r] M[r 2 ] M 2[r] . |
(7.5) |
|||
32
7.2.Указания к выполнению работы
1.Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) процесс случайных блужданий частицы для заданных условий.
2.Получить таблицу с результатами моделирования процесса случайных блужданий частицы для заданных условий.
3.Построить графики зависимостей M f (N) и D f (N) .
7.3. Пример типового задания
Смоделировать процесс случайных блужданий частицы. Начальные координаты частицы: x0 (N 13) мкм; y0 (6 N) мкм; z0 0. Максимальное смещение вдоль выбранной координаты d 1 (все геометрические раз-
меры выражаются в микрометрах). Число итераций n 103 N , где N – номер студента в списке группы.
7.4. Пример решения задания
1. Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) процесс случайных блужданий
частицы для заданных условий: |
|
|
|
N = 0.1…104 |
– число итераций; |
|
||
|
xN = rnd(0.5) – 3 – rnd(0.5) |
– задание компоненты x; |
|
yN = rnd(0.5) – 4 – rnd(0.5) |
– задание компоненты y; |
|
zN = rnd(0.5) – 3 – rnd(0.5) |
– задание компоненты z. |
|
|
|
В нашем случае: в компоненте х – 3, в компоненте y – 4, что является определением начального положения частицы, относительно которого она блуждает. Поскольку вдоль каждой из координат частица может двигаться в пределах 1 мкм в произвольном направлении (вдоль оси или в противоположную сторону), случайное блуждание представляется как разность двух функций rnd(0.5).
2. Получить таблицу с результатами моделирования процесса случайных блужданий частицы для заданных условий.
Для этого используем известный цикл по созданию таблицы:
33
for N 0,1…104
EN,0 xN E := EN,1 yN
EN,2 zN E
Цикл состоит из N итераций (в данном случае 10 000), в каждой из которых записывается значение каждого компонента в соответствующие столбцы табл. 7.1: x-компонента в столбец «0», y-компонента в столбец «1», z-компонента в столбец «2».
Таблица 7.1
Результаты моделирования процесса случайных блужданий частицы для заданных условий для первых 15 итераций
i |
x, мкм |
y, мкм |
|
z, мкм |
|
|
|
|
|
0 |
–3.09603 |
–3.66515 |
|
–0.2945 |
|
|
|
|
|
1 |
–2.88265 |
–4.1056 |
|
0.095644 |
|
|
|
|
|
2 |
–2.67565 |
–4.30092 |
|
–0.2406 |
|
|
|
|
|
3 |
–2.79675 |
–3.80119 |
|
–0.05095 |
|
|
|
|
|
4 |
–3.02795 |
–4.01582 |
|
–0.38055 |
|
|
|
|
|
5 |
–2.56529 |
–4.08112 |
|
0.021705 |
|
|
|
|
|
6 |
–3.26137 |
–4.14214 |
|
–0.24313 |
|
|
|
|
|
7 |
–2.78224 |
–3.67343 |
|
0.166459 |
|
|
|
|
|
8 |
–2.80314 |
–3.96387 |
|
–0.06667 |
|
|
|
|
|
9 |
–2.86828 |
–3.89063 |
|
–0.23123 |
|
|
|
|
|
10 |
–3.03997 |
–4.1072 |
|
0.06042 |
|
|
|
|
|
11 |
–2.96137 |
–3.77038 |
|
–0.14379 |
|
|
|
|
|
12 |
–2.95872 |
–3.93133 |
|
0.059064 |
|
|
|
|
|
13 |
–2.80735 |
–4.21593 |
|
0.207808 |
|
|
|
|
|
14 |
–3.28695 |
–3.91886 |
|
–0.28121 |
|
|
|
|
|
15 |
–3.15066 |
–4.13699 |
|
–0.03655 |
|
|
|
|
|
3. Построить графики зависимостей M f (N) и |
D f (N) . |
|||
Следующим шагом будет задание математического ожидания и дисперсии как функции от числа итераций:
34
|
|
|
N |
(xi ) |
2 |
( yi ) |
2 |
(xi ) |
2 |
|
|
|
||
|
|
M (N ) |
i1 |
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
2 |
|||||
|
(xi )2 (yi )2 (xi )2 |
|
|
(xi )2 (yi )2 (xi )2 |
||||||||||
M (N ) |
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с теоретическими сведениями радиус-вектор представлен через компоненты. В результате получаются графики зависимости математического ожидания M(N) и дисперсии D(N) от числа итераций N (рис. 7.1 и 7.2 соответственно).
MM(N)
5.1
5.1
5.0
4.9
4.9
2000 |
6000 |
8000 |
N N |
|
Рис. 7.1 |
|
|
D(N)
M(N)
0.04
0.04
0.02
0.02
0
2000 |
600000 |
NN |
Рис. 7.2
35