Материал: Sb97952

Для того чтобы получить траекторию движения заряженной частицы в электрическом поле, необходимо решить (4.5) относительно радиуса-вектора. Чтобы решить ОДУ второго порядка, воспользуемся функцией rkfixed. Функция rkfixed используется для поиска решения методом Рунге–Кутты четвертого порядка. Функция rkfixed имеет следующие аргументы:

rkfixed (k, t1, t2, npoints, D),

где k – вектор начальных значений; t1, t2 – граничные точки интервала, на котором ищется решение; npoints – число точек, в которых ищется приближенное решение; D – функция, возвращающая значение в виде вектора из npoints элементов, которые в случае ОДУ второго порядка представляют собой первые и вторые производные функции.

Зададим начальные условия для вектора k (задается в виде столбца): k (x0 ,vx , y0 ,vy ,z0 ,vz ) ,

где vx , vy , vz – это первые производные по соответствующим координатам.

Функция D(t, k) является вектором с шестью элементами (из которых три (k1, k3, k5) – это первые производные от координат, определенные ранее, а оставшиеся – вторые производные от координат, которые получаются исходя из второго закона Ньютона, записанного для магнитной силы):

21

При записи вектора D(t, k) необходимо следить за тем, чтобы неравенство v c не нарушалось ни в один момент рассматриваемого времени.

Вычисление решения в 4000 промежуточных точках на отрезке времени

[0, 0.00000001 с]: RK = rkfixed (r, 0, 0.000000001, 4000, Z).

Матрица, полученная в результате решения, содержит семь столбцов: первый содержит значения t, при которых ищется решение; второй – x(t); третий – x'(t); четвертый – y(t); пятый – y'(t); шестой – z(t); седьмой – z'(t).

Таблица 4.1

Результаты моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле

Согласно условию, частица движется вдоль оси 0x, магнитное поле направлено вдоль оси 0z. Поэтому z-я составляющая скорости будет равна нулю.

Траектория движения электрона представляет собой зависимость координаты x от y. Для этого построим график зависимости x f ( y) для всего временного интервала моделирования (рис. 4.1).

x,, м

0.09006

RK<1>

0.09

Рис.4.1

22

При этом для получения доступа к столбцу, задающему координаты, в массиве [RK] необходимо использовать треугольные скобки , в которые вписывается номер столбца (для x – 1, для y – 3).

4.5. Содержание отчета

1.Основные теоретические сведения по моделированию движения заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

2.Привести таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

3.Привести график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

4.Привести листинг кода программы, моделирующей движение заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

5.Сформулировать выводы по результатам моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

4.6.Вопросы для самоконтроля

1.По какой траектории в общем случае движется точечный электрический заряд в постоянном (не меняется с течением времени) однородном (одинаковом в любой точке геометрического пространства) магнитном поле?

2.Меняется ли кинетическая энергия (энергия движения) заряженной частицы, движущейся в постоянном и однородном магнитном поле?

5.МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ

ВЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Цель работы: ознакомление с методикой моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле.

5.1. Основные теоретические положения

На точечный заряд, помещенный в электромагнитное поле, действует

По второму закону Ньютона, если на тело действуют силы (действие системы сил на точечное тело всегда можно свести к действию одной силы – результирующей), то тело меняет свой импульс:

23

Импульс заряженной частицы в общем случае определяется по формуле p = γmv, (5.3)

где p – вектор импульса заряженной частицы; γ – релятивистский фактор (гамма-фактор, Лоренц-фактор); m – масса заряженной частицы; v – вектор скорости заряженной частицы.

Гамма-фактор для заряженной частицы определяется соотношением

где v скалярная проекция вектора скорости заряженной частицы на рассматриваемое направление движения; с скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

Для того чтобы получить уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле (5.5), можно подставить (5.1), (5.3), (5.4) в уравне-

ние (5.2):

фактора ( ).

Решив (5.5) относительно радиуса-вектора, получим траекторию движения заряженной частицы в электромагнитном поле.

В случае если скорость движения заряженной частицы много меньше скорости распространения электромагнитной волны в вакууме (v << c), то релятивистский фактор принимается равным единице (γ = 1). При этом необходимо следить за тем, чтобы неравенство v << c не нарушалось ни в один последующий момент рассматриваемого времени.

5.2.Указания к выполнению работы

1.Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) движение заряженной частицы в электромагнитном поле для заданных условий.

2.Получить таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле для заданных условий.

3.Построить график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

24

5.3. Пример типового задания

Электрон влетает в скрещенные электрическое и магнитное поля со скоростью v = –1 м/с. Индукция магнитного поля B = 7 Тл (поле направлено вдоль оси 0x), напряженность электрического поля E = 600 В/м (поле направлено вдоль оси 0y). Смоделировать движение электрона, если известно, что он движется вдоль оси 0x. Координаты электрона в начальный момент вре-

мени ( t0 ): x0 1.2 · 10–2 м; y0 –3 · 10–2 м; z0 –6 · 10–2 м.

5.4. Пример решения задания

Компоненты напряженности электрического поля:

Ex 0; E y 600 В/м; Ez 0.

Компоненты индукции магнитного поля:

Bx 0; By 0; Bz –3 Тл.

Компоненты скорости электрона: vx –1 м/с ; v y 0; vz 0.

Координаты электрона в начальный момент времени: x0 12 · 10–2 м; y0 –3 · 10–2 м; z0 –6 · 10–2 м.

1.Для решения ОДУ второго порядка воспользуемся функцией rkfixed. Данная функция используется для поиска решения методом Рунге–Кутты четвертого порядка.

2.Задается вектор начальных условий:

x0vxy0

k ,vyz0vz

где vx , vy ,vz первые производные по соответствующим координатам.

3. Функция D(t, k) является вектором с шестью элементами (из которых три (k1, k3, k5) – это первые производные от координат, определенные ранее, а оставшиеся – вторые производные от координат, которые получаются исходя из второго закона Ньютона, записанного для силы магнитной силы):

25