Материал: Scilab ЛабПрактикум и теория

4. Содержание отчета

1. В форме комментариев:

• Название лабораторной работы

• ФИО студента, номер группы

• № варианта

• Индивидуальное задание

2. Протокол вычислений (сессии) в Командном окне, снабженный необходимыми комментариями.

3. Контрольные вопросы по теме

1. Что такое аппроксимация функции, и в каких случаях она используется?

2. В чем отличие аппроксимации от интерполяции?

3. Какой метод аппроксимации реализован в функции datafit()?

4. Что служит результатом выполнения функции datafit()?

5. Назначение и формат функции interpln()?

6. Каким параметром определяется тип интерполяции в функции interpln()?

Тема 2.3. Технология интегрирования в среде Scilab

2.3.1.Вычисление неопределенных и определенных интегралов

2.3.2. Лабораторная работа

2.3.3. Контрольные вопросы по теме

2.3.1. Вычисление неопределенных и определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов первообразную функцию F(x)не всегда удается выразить аналитически, а кроме того иногда подынтегральная функция f(x) задана в виде таблицы (x_i и y_i, где i= 1, 2,…, n).Это приводит к необходимости использования численных методов интегрирования.

Существует ряд методов численного интегрирования. Во всех этих методах вычисление осуществляется по приближенным формулам, называемым квадратурами.

Суть получения формул численного интегрирования состоит в том, что на элементарных отрезках интегрирования подынтегральную функцию заменяют простейшим интерполяционным полиномом, который легко может быть проинтегрирован в аналитическом виде. Так, например, для получения формул прямоугольников, трапеций и Симпсона используют полиномы соответственно нулевой, первой и второй степени.

Формулы прямоугольников:

где: h–шаг интегрирования;

y_i – значение подынтегральной функции от аргумента x_i, k=0, 1, …,n;

n–число разбиений интервала интегрирования a, b.

Формула трапеций:

где:h– шаг интегрирования;

y₀ – значение подынтегральной функции при х = a;

y_n – значение подынтегральной функции при х = b;

Формула Симпсона:

Для вычисления интеграла по формуле трапеции в Scilab используется функция inttrap([x],y). Эта функция вычисляет площадь фигуры под графиком функции y(x), которая описана набором точек (x, y). Простейший пример использования функции inttrap() приведен на рис.2.3.1-1.

Рис.2.3.1-1. Вычисление интеграла по формуле трапеций

Параметр х является необязательным. Для формата функции inttrap(y) элементы вектора х могут принимать значения номеров вектораy.

Рассмотрим несколько примеров вычисления значений определенных интегралов методом трапеций (рис. 2.3.1-2). В последнем примере использован формат inttrap(y), то есть значения х заменены номерами элементов вектора y. В результате получено другое значение интеграла. Это показывает, что получена площадь совершенно другой фигуры.

Рис.2.3.1-2. Примеры вычисления определенных интегралов с использованием функции inttrap()

Для вычисления интеграла по формуле Симпсона в Scilab применяется функция integrate() имеющей формат

integrate(fun, x, a, b, [,er1 [,er2]])

где fun- функция, задающая подынтегральное выражение в символьном виде;

x- переменная интегрирования, так же задается в виде символа;

a, b- пределы интегрирования, действительные числа;

er1 и er2– переменные, задающие абсолютную или относительную точность вычислений (действительные числа).

При обращении к этой функции шаг интегрирования не задается, а используется параметр – требуемая точность вычисления интеграла (рис.2.3.1-3). Если погрешность вычисления интеграла отсутствует, то вычисление проводится с погрешностью, установленной по умолчанию.

.

Рис.2.3.1-3. Вычисление определенных интегралов с использованием функции integrate()

2.3.2. Лабораторная работа по теме

«Технология интегрирования в среде scilab»

1. Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного интегрирования.

2. Вычисление значения определенного интеграла с использованием функций.

3. Вычисление значения определенного интеграла с использованием функций Scilab inttrap() и integrate().

4. Формулы численного интегрирования: средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.

2. Общее задание

1. Изучите материал Темы 2.3 (п. 2.3.1.).

2. Выберите из табл. 2.3.2-1 вариант индивидуального задания.

3. Вычислите определенный интеграл с использованием функцииScilab, реализующей формулу трапеций, - inttrap(x, y), предварительно получив таблицу значений подынтегральной функции с шагом h, и задав значения аргумента и функции в виде векторов.

4. Вычислите значение определенного интеграла с использованием функции Scilab, реализующей формулу Симпсона, – integrate ('f',a,b), где f – имя функции, взятое в одинарные кавычки.

5. Предоставьте результаты работы преподавателю, ответьте на поставленные вопросы.

6. Оформите отчет по выполненной работе.

1. Варианты индивидуальных заданий

Таблица 2.3.2-1

2. С

4. Содержание отчета

1. В форме комментариев:

• Название лабораторной работы

• ФИО студента, номер группы

• № варианта

• Индивидуальное задание

2. Протокол вычислений (сессии) в Командном окне, снабженный необходимыми комментариями.

2.3.3. Контрольные вопросы по теме

1. Назначение функции inttrap(x,y)?

2. Что возвращает функция inttrap(x,y), если y(x) – матрица?

3. Можно ли использовать функцию inttrap(x,y), если узлы по оси х - не равноотстоящие?

4. Какая функция Scilab позволяет вычислить определенный интеграл с заданной точностью?

5. Способы задания подынтегральной функции при вычислении определенного интеграла с использованием функции integrate().

6. Как задать точность вычисления определенного интеграла?

Тема 2.4. Технология решения обыкновенных дифференциальных уравнений

2.4.1. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

2.4.2. Лабораторная работа

2.4.3. Контрольные вопросы по теме

2.4.1. Численное решение решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Представим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка в виде, разрешенном относительно производной ,и пусть – начальные условия его решения.

Тогда решением ОДУ является функция , которая будучи подставленной в исходное уравнение, обратит его в тождество, и одновременно будут выполняться начальные условия. Эта задача в математике называется задачей Коши.

Задача Коши при решении ОДУ n-го порядка формулируется аналогично, при этом начальными условиями должны быть: При решении Оду n-го порядка уравнение путем выполнения ряда обозначений представляется в виде системы дифференциальных уравнений:

Результатом решения ОДУ численными методами является таблица значенийy = (x) на некотором множестве значений аргументах. Поэтому при постановке задачи численного решения ОДУ наряду с начальными условиями x₀, y₀необходимо задать область решения – отрезок [a;b] и шаг изменения аргумента h (шаг интегрирования).