Курсовая работа (т): Акустика пузырьковой жидкости

3. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ РАВНОВЕСНОЙ ПО СКОРОСТЯМ ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СИСТЕМЫ

Вместо индексов (1) и (2), соответствующих первой и второй фазам для газожидкостной смеси будем использовать соответственно нижние индексы  и. Пусть фазовые переходы отсутствуют . Для дальнейшего обозначим , . Тогда из уравнения неразрывности следует (2.9), которое запишется как

или                                                     (3.1)

Выражения (1.4) для средней плотности имеет вид

                                                                           (3.2)

Будем полагать, что в процессе движения жидкость ведет себя как акустически сжимаемая среда, а поведение газа политропическое. Тогда можем записать

 и                                               (3.3)

Здесь  и  - значения плотности, соответствующие значениям давления  и ;  - величины скорости звука для жидкостной фазы, γ- показатель политропы. В частности, если поведение газа изотермическое, то γ=1, а если адиабатическое, то величина γ равна показателю адиабаты для данного газа.

В дальнейшем будем считать, что давление в фазах равны  и, кроме того, вместо  и  примем одно и тоже значение давления . Вместо  обычно будем использовать значение давления для некоторого исходного равновесного состояния. Подставляя значение , из (3.3) в (3.2) получим

                                                   (3.4)

Таким образом, получим уравнение состояния вида

В этом уравнении, величины , определяющие исходное состояние системы и свойства составляющих (газа и жидкости), входят как некоторые постоянные параметры. Что касается величины массового содержания газа , то для каждой лагранжевой частицы оно будет постоянным параметром. При эйлеровом описании, в общем случае массовое газосодержание  зависит как от времени, так и от пространственных координат  Однако, если для некоторого состояния оно (например, при  - однородно , то массовое газосодержание будет постоянным и по времени и по координате. В дальнейшем будем рассматривать именно такие ситуации. Тогда в (3.5) х также будет постоянный параметр. В этом случае при течении такой смеси величина плотности будет определяться значением давления и, следовательно, газожидкостная смесь в целом будет баротропной средой.

Определим скорость звука для такой среды.

Для этого продифференцируем левую и правую части уравнения (3.4) по давлению . Тогда будем иметь

,           (3.5)

Это уравнение можно записать как

                                   (3.6)

Формула (3.6) совместно с (3.4) дает зависимость величины скорости звука от текущего давления .

Как уже отмечено, если для исходного равновесного состояния газожидкостная смесь однородна, то в (3.6) имеет место , где - значение массового содержания газа для исходного состояния. В этом случае на основании (2.11) можем записать:

                                                              (3.7)

Подставляя это выражение для  вместо  в (3.4) и (3.6), получим уравнение состояния и формулу для скорости звука, в которых в качестве параметра, ответственного за состав смеси, фигурирует начальное объемное газосодержание . Определим скорость звука для исходного состояния. Подставляя в формулу (3.6) , получим

(3.8)

Отсюда при  и  соответственно получим выражение для скорости звука для «чистых» газа и жидкости

и                                                           (3.9)

Проанализируем формулу (3.8) для случая, когда массовое газосодержание мало . Из формулы (3.7), учитывая при этом, что в большинстве случаев имеет место , получим

                                                                             (3.10)

Отсюда видно, что это условие  выполняется для объемных содержаний газовой фазы, удовлетворяющих условию

                                                                            (3.11)

Для водовоздушной смеси при нормальных условиях, например, имеет место, поэтому неравенство (3.11) выполняется и при объемных содержаниях газа .

В этом случае, с учетом , из (3.8) получим следующую формулу для скорости звука

                                                   (3.12)

Из этой формулы следует, что вклад сжимаемости жидкости, определяемый вторым слагаемым в подкоренном выражении (3.12), растет с уменьшением объемного содержания газа .

Проанализируем эту формулу для пузырьковой жидкости (). Пренебрегая  по сравнению с единицей из (3.12) получим

                                                                      (3.13)

Отсюда получим, что сжимаемость жидкости в плане определения скорости звука скажется при

                                                                   (3.14)

Для водовоздушной смеси при нормальных условиях  имеем . Следовательно, сжимаемость жидкости проявляется лишь при очень низких объемных содержаниях газа.

Пренебрегая сжимаемостью жидкости (формально полагая в (3.12) ), для скорости звука получим формулу Мэллока

                                                                       (3.15)

Из этой формулы нетрудно видеть, что минимальная величина скорости звука достигается при . Для этой скорости из (3.15) следует

                                                                               (3.16)

Для водовоздушной смеси при нормальных условиях отсюда имеем .

4. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ОДНОТЕМПЕРАТУРНОЙ СМЕСИ

Адиабатическое поведение газовой фазы предполагает, что межфазный теплообмен несущественен. Можно рассмотреть другую ситуацию, когда за счет межфазного теплообмена температура составляющих смеси равны . Пусть  - некоторое характерное время релаксации температурной неравновесности, зависящей от масштабов дисперсности теплофизических характеристик составляющих двухфазной среды. Гипотеза температурной равновесности означает, что рассматриваются достаточно медленные процессы, для которых характерные времена процесса значительно выше времен температурной релаксации . Будем также рассматривать газожидкостную смесь. Причем, газ будем считать калорически совершенным, а жидкость несжимаемой. Поэтому, полагая, что удельномассовая внутренняя энергия аддитивна по составляющим, можем записать

                                                                      (4.1)

где  и  - удельные внутренние энергии для газовой и жидкостной фаз, которые в свою очередь могут быть представлены в виде

 и                                                                  (4.2)

здесь  и  - удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и жидкости.

При адиабатическом движении смеси в целом можем записать

                                                                              (4.3)

,                                                               (4.4)

где  - приведенная газовая постоянная.

Выражение для средней плотности (3.2) с учетом (4.4) запишется как

                                                                    (4.5)

Поскольку смесь полагается по температуре равновесной, уравнение (4.3) можно записать как

                                           (4.6)

                                                                      (4.7)

С учетом отсутствия фазовых переходов  и допущения о несжимаемости жидкости  из (4.4) и (4.5) следует

                                             (4.8)

После некоторых преобразований отсюда получим

межфазный эффект газовый скорость

,                                                    (4.9)

Пусть для исходного равновесного состояния имеет место  при . Тогда, интегрируя уравнение (4.7), будем иметь

                                                                      (4.10)

Здесь безразмерный параметр  представляет собой приведенный показатель адиабаты для смеси в целом. Поскольку  ( - теплоемкость газа, - показатель адиабаты газа), выражение для показателя адиабаты смеси в целом из (4.7) можно привести к виду

                                                                  (4.11)

Для большинства систем обычно . Поэтому для смесей, с малым газосодержанием имеет место . Тогда уравнение состояния (4.8) при  можно записать как