17)Ax = (3x1 −2x2 − x3, x3, x1 +2x2 +3x3 ) ;
18)Ax = (2x1 − x2 , 2x3 , 3x1 −4x2 +5x3 ) ;
19)Ax = (x2 +2x3, 3x1 + x3, 5x1 − x2 + x3 ) ;
20)Ax = (x1 −5x2 +4x3, x1 +2x2 +3x3, 4x2 ) .
ЗАДАЧА 7. В пространстве 3 заданы два линейных оператора A и B :
Ax = (x2 − x3, x1, x1 + x3 ) , Bx = (x2 , 2x3, x1) .
Найдите матрицу и явный вид следующего оператора:
1) |
2A −3B2 ; |
11) |
B −2A2 ; |
2) |
A +2AB ; |
12) |
3A2 + B ; |
3) |
AB −3A ; |
13) |
2B − A2 ; |
4) |
2B +3A2 ; |
14) |
A(B + A) ; |
5) |
A(2B − A) ; |
15) |
B2 −2A ; |
6) |
BA +2A; |
16) |
B−A+B2 ; |
7) |
A +3B2 ; |
17) |
B( A + B) ; |
8) |
B(2A − B) ; |
18) |
A+BA−B ; |
9) |
A(B +2A) ; |
19) |
3B +2A2 ; |
10) 2(AB +2A) ; |
20) |
2A −2B2 . |
|
ЗАДАЧА 8. Линейный оператор задан матрицей в базисе B : e1 , e2 , e3 . Найдите матрицу этого оператора в базисе B′: e1′, e2′, e3′ , если известны разложения векторов e1′, e2′, e3′ по базису B (см. задачу 3).
|
1 |
2 |
0 |
|
1) |
|
3 |
0 |
|
|
−1 |
|||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
−1 |
||
|
0 |
3 |
2 |
|
2) |
|
2 |
1 |
|
|
−1 |
|||
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
2 |
||
|
3 |
0 |
1 |
|
3) |
|
1 |
−1 |
|
|
0 |
|||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
−1 |
||
|
|
2 |
1 |
−1 |
4) |
|
−1 |
3 |
|
|
1 |
|||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
||
|
1 |
1 |
2 |
|
5) |
|
0 |
2 |
|
|
1 |
|||
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
0 |
||
|
2 |
−1 |
0 |
|
6) |
|
−1 |
0 |
|
|
1 |
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
−1 |
||
|
0 |
2 |
1 |
|
7) |
|
0 |
3 |
|
|
2 |
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
−1 |
||
|
1 |
0 |
1 |
||
8) |
|
0 |
−1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
2 |
1 |
0 |
||
9) |
|
3 |
0 |
4 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
0 |
2 |
3 |
|
10) |
|
4 |
1 |
|
|
0 |
|||
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
−2 |
||
0 1 2
11)4 0 1−1 −2 1
|
|
2 |
0 |
1 |
||
12) |
|
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
−1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
2 |
|||
13) |
|
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
0 |
|||
14) |
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
2 0 0
15) 1 −1 1−1 2 1
|
2 |
0 |
1 |
|
16) |
|
0 |
1 |
|
|
−1 |
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
−1 |
||
|
1 |
3 |
0 |
|
17) |
|
2 |
1 |
|
|
−1 |
|||
|
|
0 |
2 |
|
|
|
1 |
||
|
2 |
1 |
0 |
|
18) |
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|||
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
1 |
||
|
1 |
0 |
2 |
|
19) |
|
3 |
0 |
|
|
−1 |
|||
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
1 |
||
|
2 |
0 |
1 |
|
20) |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|||
|
|
0 |
2 |
|
|
|
−1 |
||
170 |
171 |
ЗАДАЧА 9. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе данной матрицей. Приводима ли данная матрица к диагональному виду? В случае положительного ответа укажите соответствующий базис и выпишите вид матрицы в этом базисе.
|
|
4 |
−2 |
−1 |
|
1) |
|
−1 |
3 |
|
|
|
−1 |
||||
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
7 |
−6 |
6 |
||
2) |
|
4 |
−1 |
4 |
|
|
|
||||
|
|
4 |
−2 |
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
1 |
−1 |
|
3) |
|
2 |
4 |
|
|
|
−1 |
||||
|
|
−2 |
1 |
|
|
|
|
6 |
|||
|
7 |
−6 |
6 |
||
4) |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
−2 |
−1 |
|
5) |
|
−1 |
5 |
|
|
|
−1 |
||||
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
4 |
||
|
3 |
−2 |
2 |
||
6) |
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|||
3 1 −1
7)2 2 −1−2 1 4
|
4 |
−3 |
3 |
|
||
8) |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
4 |
1 |
−1 |
|||
9) |
|
2 |
3 |
−2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
7 |
−4 |
4 |
||
10) |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
1 |
−1 |
||
11) |
|
2 |
5 |
|
||
|
−2 |
|||||
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
4 |
|||
2 0 −1
12)1 1 −1−1 0 2
9 −6 −6
13)−2 5 −2−2 2 −13
5 −4 4
2 1 2
2 0 314)
3 12 −4
15)−1 −3 1−1 −12 6
|
|
4 |
1 |
0 |
|
16) |
|
1 |
4 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
−1 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
2 |
|
3 |
17) |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
−2 −5 |
|||
|
5 |
−1 −1 |
|||
18) |
|
0 |
4 |
|
|
|
−1 |
||||
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
4 |
|||
|
5 |
−6 |
2 |
||
19) |
|
6 |
−7 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
6 |
−6 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
−1 |
0 |
|
20) |
|
−1 |
2 |
|
|
|
0 |
||||
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
1 |
|||
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
ЗАДАЧА 10. Применяя процесс ортогонализации, постройте ортонормированный базис подпространства, порож-
денного данными векторами пространства 4 :
1) |
(1, 2, 2, −1), (1,1, −5,3), (3, 2,8, −7); |
2) |
(1,0, 2,1), (2,1, 2,3), (0,1, −2,1); |
3)(1,1, −1, −2), (5,8, −2, −3), (3,9,3,8);
4)(1,1, −1, −2), (−2,1,5,11), (0,3,3,7);
5)(1,1,1,1), (−2,0,6,8), (3,3, −1, −1);
6) |
(1,3,0, 2), (3,7, −1, 2), (2, 4, −1,0); |
|
7) |
(1, −2, 2,3), (−1,0, −1,0), |
(5, −3, −7,1); |
8) |
(1, −2,3,10), (3, 2,1, −2), |
(5, 4,3, 2); |
9)(1,3,1, 2), (−2,1,1, 2), (2,1,0,1);
10)(1, 2,1,3), (4,1,1,1), (3,1,1,0);
11)(2,1,3, −1), (7, 4,3, −3), (5,7,7,8);
12)(6,7,7,8), (2,1,3, −1), (1,1, −6,0);
13)(1,3,3,5), (1,3, −5, −3), (1, −5,3, −3);
14) |
(1,0,1, −1), |
(6,0, 4, −5), (3, 2, −5, 4); |
||
15) |
(1, −3, 2,1), |
(−1,7, −3, −2), (2, −2,3,1); |
||
16) |
(1, −3, 4, −8), |
(2,1, −3,5), (3, −2,1, −3); |
||
17) |
(2, −2, −2, 2), |
(3, −1, −1,3), |
(2, −2,0, 4); |
|
18) |
(2,3, −4, −6), |
(1,8, −2, −16), (3,11, 4,7); |
||
19) |
(3, −3, −3, −9), (1,1, −1, −2), |
(−2,1,5,11); |
||
20) |
(1, −1,1, −1), |
|
(4, −2, 4, −2), |
(2,7, −2,5). |
172 |
173 |
5 |
ЗАДАЧА 11. Пусть подпространство |
L пространства |
|||
порождено данными векторами a , a , a . Найдите базис |
|||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
ортогонального дополнения L подпространства L . |
|||||
1) |
a1 |
= (1, −4, 2, 0,3), |
a2 = (2, −7, 4,1, 0), |
a3 = (1, −3, 2,1, −3); |
|
2) |
a1 |
= (1, −5,3, 4, 0), |
a2 = (2, −9, 2, 0,1), |
a3 = (1, −4, −1, −4,1); |
|
3) |
a1 |
= (1,1, 4, 0, 2), |
a2 = (3, 4,1,3, 0), |
a3 = (2,3, −3,3, −2); |
|
4) |
a1 |
= (1, −1, 4,3, 0), |
a2 = (3, −2,1, 0, 2), |
a3 = (2, −1, −3, −3, 2); |
|
5) |
a1 |
= (1, −3, 4, 0,3), |
a2 = (3, −8,1, 2, 0), |
a3 =(2, −5, −3, 2, −3); |
|
6) |
a1 |
= (1, −1,3, 4, 0), |
a2 = (4, −3,1, 0, 2), |
a3 =(3, −2, −2, −4, 2); |
|
7) |
a1 |
= (1, −2,3, 0, 4), |
a2 = (4, −7, 2, 4, 0), |
a3 = (3, −5, −1,1, −4); |
|
8) |
a1 |
= (1,1, −3, −4, 0), |
a2 = (4,5, −2, 0, −1), |
a3 = (3, 4,1, 4, −1); |
|
9) |
a1 |
= (1,3, −1, 0, −2), |
a2 = (2, 7, −4, −3, 0), |
a3 = (1, 4, −3, −3, 2); |
|
10) |
a1 = (1, −2, 2,3, 0), |
a2 = (2, −3,1, 0, 4), |
a3 = (3, −5,3,3, 4); |
||
11) |
a1 = (1, −2, 2, 0,3), |
a2 = (3, −5,1, 4, 0), |
a3 =(2, −3, −1, 4, −3); |
||
12) |
a1 = (1, −3,1, 2, 0), |
a2 = (2, −5, 4, 0,3), |
a3 = (1, −2,3, −2,3); |
||
13) |
a1 = (1, 4, −2, 0, −3), |
a2 = (2,9, −1, −4, 0), |
a3 = (1,5,1, −4,3); |
||
14) |
a1 = (1, −1,1, −2,1), |
a2 = (1,1, −2, −1, 2), |
a3 = (1, −3, 4, −3,0); |
||
15) |
a1 = (1, −2, −3,1, −1), a2 = (1,1,1, 2,1), |
a3 = (2, −1, −2,3,0); |
|||
16) |
a1 = (3, 2, −2, −1, 4), a2 = (7,5, −3, −2,1), |
a3 = (1,1,1,0, −7); |
|||
17) |
a1 = (1, 2,5, −2, −1), |
a2 = (1,1,1, −1, −1), |
a3 = (2,1, −2, −1, −2); |
||
18) |
a1 = (−1, 0,1, 2,1), |
a2 = (2, −3,1, −1, 4), |
a3 = (1,1, −2, −3, −3); |
||
19) |
a1 = (1, 2,1, 2,5), |
a2 = (2,3, 0,1, 6), |
a3 = (3,1, −7, −9, −5); |
||
20) |
a1 = (1, 0, −5, 4, −1), |
a2 = (1, 2,1,8,1), |
a3 = (1, −1, −8, 2, −2). |
||
ЗАДАЧА 12. Приведите квадратичную форму к каноническому виду. Выясните, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной. Найдите положительный и отрицательный индекс инерции.
1)3x12 +3x22 −2x1x2 +4x1x3 +4x2 x3 ;
2)x12 + x22 − x32 −4x1x3 +4x2 x3 ;
3)4x12 +5x22 +6x32 −4x1x2 +4x2 x3 ;
4)2x12 +9x22 +2x32 −4x1x2 +4x2x3 ;
5)6x12 +5x22 +7x32 −4x1x2 +4x1x3 ;
6)4x22 −3x32 −4x1x2 −4x1x3 +8x2 x3 ;
7)5x12 +13x22 +5x32 +4x1x2 +8x2 x3 ;
8)−2x12 +5x22 −2x32 +4x1x2 +4x2 x3 ;
9)5x12 +2x22 +2x32 −2x1x2 −4x2 x3 +2x1x3 ;
10)x12 −5x22 + x32 +4x1x2 +2x1x3 +4x2 x3 ;
11)x12 + x22 +5x32 −6x1x2 −2x1x3 +2x2 x3 ;
12)2x12 +2x22 +2x32 +8x1x2 +8x1x3 −8x2 x3 ;
13)−4x12 −4x22 +2x32 −4x1x2 +8x1x3 −8x2 x3 ;
14)4x12 +4x22 + x32 +2x1x2 −4x1x3 +4x2 x3 ;
15)−x12 − x22 −3x32 −2x1x2 −6x1x3 +6x2 x3 ;
16)x12 −7x22 + x32 −4x1x2 −2x1x3 −4x2 x3 ;
17)3x12 −7x22 +3x32 +8x1x2 −8x1x3 −8x2 x3 ;
18)−2x12 +2x22 −2x32 +4x1x2 −6x1x3 +4x2 x3 ;
19)−4x12 + x22 −4x32 +4x1x2 −4x1x3 +4x2 x3 ;
20)−3x12 +9x22 +3x32 +2x1x2 +8x1x3 +4x2 x3 .
174 |
175 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложение материала в данном пособии ориентируется на требования Государственного образовательного стандарта для специалистов в области информационной безопасности и содержит ряд специфических разделов из утвержденных программ по специальностям 090301 и 090303.
Данное пособие является составной частью комплекса учебно-методических пособий, изданных ранее авторами в Воронежском государственном техническом университете. Надеемся, что настоящее пособие будет способствовать качественному усвоению материала лекций, а также окажет помощь в самостоятельной работе студентов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Глухов М.М. Алгебра / М.М. Глухов, В.П. Елизаров, А.А. Нечаев. В 2 т. – М.: Гелиос АРВ, 2003.
2.Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия / М.М. Глухов. – М.: Гелиос АРВ, 2005.
3.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре / Д.К. Фаддеев. –
М.: Наука, 1984.
4.Бутузов В.Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие/ В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин.
–М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
5.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчёты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов – М.:
Лань, 2005.
6.Майорова С.П. Алгебра: учеб. пособие / С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. – Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009. Часть 4.
7.Майорова С.П. Практикум по алгебре / С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. – Воронеж: ВГТУ, 2006.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………..…… 3
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА …... 4
1.1. Определение линейного пространства, его простейшие свойства ……………………..…... 4
1.2.Базис и размерность линейного пространства …....12
1.3.Матрица перехода ………………………..…..….. 19
1.4.Преобразование координат вектора при изменении базиса …………………………….….. 22
1.5.Подпространства линейного пространства ……... 26
1.6.Сумма и пересечение подпространств.
Теорема Грассмана ……………………….......… 30
1.7.Прямая сумма подпространств …..…….…..….… 35
1.8.Изоморфизм линейных пространств …………….. 40
§2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ ………………………………..…..... 45
2.1.Понятие линейного оператора ………….…….… 45
2.2.Матрица линейного оператора …………..……… 48
2.3.Кольцо и линейное пространство операторов ... 51
2.4.Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах ………. 57
2.5.Собственные векторы и собственные
значения линейного оператора ………………….. 61
2.6.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду ………………………..… 66
2.7.Инвариантные подпространства линейных пространств ……………………………….......… 76
2.8.Аннулирующий и минимальный многочлены линейного оператора ………………………..…. 82
176 |
177 |
§ 3. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ |
5.3. Матричная запись квадратичной формы ...….. 144 |
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ……………..……….……..… 86 |
5.4. Изменение матрицы квадратичной формы |
3.1. Евклидово пространство. Основные свойства, |
при переходе к новому базису ……………….. 146 |
5.5. Канонический вид квадратичной формы ...…. 147 |
|
примеры ………….………………………………... 86 |
5.6. Закон инерции квадратичных форм …..…..…. 151 |
3.2. Унитарное пространство. Основные свойства, |
5.7. Знакоопределенные квадратичные формы ...... 153 |
примеры ………….………………………….…….. 91 |
5.8. Квадратичные формы в комплексном |
3.3. Геометрия евклидовых и унитарных пространств 92 |
пространстве ………………………………..…. 158 |
3.4. Основные равенства и неравенства |
|
в пространствах со скалярным произведением .... 96 |
ПРИЛОЖЕНИЕ. Задания к типовым расчетам ……....... 161 |
3.5. Ортонормированный базис. Процесс |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………….….. 176 |
ортогонализации Грама-Шмидта ………..….... 101 |
|
3.6. Матрица Грама системы векторов ………….... 111 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………… 176 |
3.7. Выражение скалярного произведения векторов |
|
через матрицу Грама …………………………... 114 |
|
3.8.Ортогональное дополнение к подпространству 117
3.9.Скалярное произведение в линейных пространствах над конечными полями …………………….…. 122
§4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ………... 125
4.1.Оператор, сопряженный данному ………….... 125
4.2.Самосопряженный оператор …………………. 132
4.3.Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора …….. 135
4.4.Ортогональный (унитарный) оператор …….... 137
§5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ……………….….... 141
5.1.Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве …………………….. 141
5.2.Выражение квадратичной формы в координатах. Матрица квадратичной формы ………………. 142
178 |
179 |