Контрольные вопросы и задания к п. 5.1-5.8
1. Составьте матрицу квадратичной формы
f(x1, x2 , x3 ) = 6x1x2 −(x2 )2 +4x1x2 − x2 x3 .
2.Запишите квадратичную форму в виде
n
∑ aij xi x j , i, j=1
если дана ее матрица
0 |
2 |
8 |
|
|
|
2 |
−1 |
3 |
|
A = |
. |
|||
|
8 |
3 |
2 |
|
|
|
|||
3. Запишите в матричном виде X T AX квадратичную форму из задания 1.
4.Как преобразуется матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису?
5.Что такое канонический вид квадратичной формы?
6.Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.
7.Приведите квадратичную форму
f(x1, x2 , x3 ) = 3(x2 )2 +3(x3 )2 +4x1x2 +4x1x3 −2x2 x3
кканоническому виду. Найдите соответствующий канонический базис.
8.Сформулируйте определение положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы.
9.Сформулируйте критерии знакоопределенности квадратичных форм.
10.Приведите примеры положительно и отрицательно определенных квадратичных форм. Приведите пример знакопеременной квадратичной формы.
Приложение ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ЗАДАЧА 1. Выясните, является ли вещественным линейным пространством данное множество:
1)множество всех векторов трехмерного пространства, лежащих на одной из осей;
2)множество всех векторов плоскости, лежащих на одной из осей;
3)множество всех векторов плоскости, являющихся линейными комбинациями данных векторов x и y ;
4)множество всех многочленов третьей степени, принадле-
жащих кольцу [x] ;
5) множество матриц |
0 |
a |
; a,b, c |
|
; |
|
|
|
|||
|
b |
c |
|
|
|
6) |
множество элементов из |
n , для которых сумма и произ- |
||||||
|
ведение |
на |
число |
определены |
следующим |
образом: |
||
|
x + y = (x1 + y1, x2 + y2 ,..., xn + yn ) и λx = (λx1, x2 ,..., xn ) , где |
|||||||
|
x, y |
n , |
λ |
; |
|
|
|
|
7) |
множество элементов из |
n , для которых сумма и произ- |
||||||
|
ведение |
на |
число |
определены |
следующим |
образом: |
||
|
x + y = (x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn ) |
и λx = (λx1, λx2 ,..., λxn ) , где |
||||||
|
x, y |
n , |
λ |
; |
|
|
|
|
8) множество всех диагональных матриц над порядка n ;
160 |
161 |
9) множество матриц |
a |
b |
; a, b |
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
−b |
a |
|
|
|
10) множество всех положительных действительных чисел, где сумма и произведение на число определены следующим образом: a +b = ab и λa = aλ (a,b ; a,b > 0) ;
11)множество всех векторов плоскости, концы которых лежат во второй четверти;
12)множество векторов трехмерного пространства, являющихся линейными комбинациями двух данных векторов
xи y ;
13)множество всех многочленов четной степени с коэффи-
циентами из |
поля |
3 ; |
14) множество |
всех |
n − мерных векторов x = (x1, x2 ,..., xn ) , |
xi , удовлетворяющих условию x1 + x2 +... + xn = 0 ;
15)множество векторов n − мерного пространства, у которых совпадают первая и последняя координаты;
16)множество векторов n − мерного пространства, у которых координаты с четными номерами равны нулю;
17)множество векторов n − мерного пространства с коорди-
натами (α, β,α, β,...) , α, β ;
18)множество векторов n − мерного пространства, у которых последние две координаты совпадают;
19)множество всех n − мерных векторов x = (x1, x2 ,..., xn ) , удовлетворяющих условию x1xn =1;
20)множество всех n − мерных векторов x = (x1, x2 ,..., xn ) , удовлетворяющих условию x1 = x2 =... = xn .
ЗАДАЧА 2. Выясните, образуют ли векторы e1 ,e2 ,e3 базис в пространстве 3 :
1) |
e1 = (1, 4, 6), |
e2 = (1, −1,1), e3 = (1,1,3); |
||||
2) |
e1 = (2, −3,1), |
e2 = (3, −1,5), |
e3 = (1, −4,3); |
|||
3) |
e1 = (5, 4,3), |
e2 = (3,3, 2), e3 = (8,1,3); |
||||
4) |
e1 = (1,1,1), |
e2 = (0,1,1), e3 = (1, 4,3); |
||||
5) |
e1 = (1, −1, 2), |
e2 = (−1,1, −1), |
e3 = (2, −1,1); |
|||
6) |
e1 |
= (1, 2,3), |
e2 = (4,5, 6), |
e3 = (7,8,9); |
||
7) |
e1 |
= (1,1,1), |
e2 = (1, 2,3), |
e3 = (1,3,6); |
||
8) |
e1 = (3, 4, −5), |
e2 = (8, 7, −2), |
e3 = (2, −1,8); |
|||
9) |
e1 |
= (3, 2, −4), |
e2 = (4,1, −2), |
e3 = (5, 2, −3); |
||
10)e1 = (7,3, −5), e2 = (2, −1,8), e3 = (1, −4,1);
11)e1 = (5, −6,1), e2 = (3, −5, −2), e3 = (2, −1,3);
12) |
e1 = (7,1, −3), |
e2 = (2, 2, −4), |
e3 = (3, −3,5); |
|||
13) |
e1 = (1, 2,3), |
e2 = (6,5,9), e3 = (7,8,9); |
||||
14) |
e1 = (2,1, 0), |
e2 = (−5, 0,3), |
e3 = (3, 4,3); |
|||
15) |
e1 = (2, 0, 2), |
|
e2 = (1, −1, 0), |
e3 = (0, −1, −2); |
||
16) |
e1 = (−2,1,5), |
e2 = (4, −3, 0), |
e3 = (0, −1,10); |
|||
17) |
e1 |
= (3, −1,5), |
e2 = (1, 4, 6), |
e3 = (3,3, 2); |
||
18) |
e1 |
= (1,3, 6), |
e2 = (1, −1, 2), |
e3 = (2, −1,8); |
||
19) |
e1 |
= (2,1, −4), |
e2 = (5, 2, −3), |
e3 = (1, −1,0); |
||
20) |
e1 |
= (−1,1,1), |
|
e2 = (3, 2, −4), |
e3 = (4,1, −2). |
|
162 |
163 |
ЗАДАЧА 3. Найдите координаты вектора x в базисе B′: e1′, e2′, e3′ , если он задан в базисе B : e1 , e2 , e3 .
1) e1′ = 5e1 +2e2 +4e3 , e2′ =8e1 +3e2 +7e3 , e3′ = 4e1 +e2 +4e3 , |
|||||
x = (9,3, 7) ; |
|
|
|
|
|
′ |
= −7e1 −2e2 |
+9e3 , |
′ |
′ |
+e2 −2e3 , |
2) e1 |
e2 |
=3e1 +e2 −4e3, e3 = 2e1 |
|||
x =(6,5, −3) ; |
|
|
|
|
|
′ |
= −2e1 +2e2 |
+3e3 , |
′ |
′ |
−2e2 −2e3 , |
3) e1 |
e2 |
=−6e1 +3e2 +7e3 , e3 = e1 |
|||
x = (4, −9,8) ; |
|
|
|
|
|
4) e1′ = 3e1 +4e2 −5e3 , e2′ = 2e1 +e2 −2e3 , |
e3′ |
= 3e1 +5e2 −6e3 , |
x =(6,4,−7); |
|
|
5) e1′ = e1 +2e2 −e3 , e2′ = e1 +3e2 −2e3 , |
e3′ |
= 2e1 −3e2 +4e3 , |
x = (8,6,1) ; |
|
|
6) e1′ = −7e1 −4e2 +e3 , e2′ =12e1 +8e2 −3e3 , e3′ = 5e1 +3e2 −e3 ,
x = (6, 2,1) ; |
|
7) e1′ = 5e1 +2e2 +2e3 , e2′ = e1 −e2 +e3 , |
e3′ = 3e1 +2e2 +e3 , |
x = (9,10,1) ; |
|
8) e1′ = 7e1 −5e2 −3e3 , e2′ = −4e1 +3e2 +2e3 , e3′ = 3e1 −2e2 −2e3 , x = (11, −8, −1) ;
9) e1′ = −2e1 +5e2 −11e3 , e2′ =3e1 −7e2 +16e3 , e3′ = −e1 +3e2 −7e3 ,
|
x = (4, −5,10) ; |
|
|
|
10) |
e1′ = 3e1 −e2 + 2e3 , e2′ |
=8e1 −4e2 +5e3 , |
e3′ |
= −5e1 +2e2 −3e3 , |
|
x = (10,6, −5) ; |
|
|
|
11) |
e1′ =8e1 −4e2 +3e3 , e2′ |
= e1 −e2 +e3 , |
e3′ |
= 5e1 −2e2 +e3 , |
|
x = (−8,1, 2) ; |
|
|
|
12) |
e1′ =e1 +7e2 −9e3 , |
e2′ |
= e1 +6e2 −8e3 , |
e3′ |
= −e1 −5e2 +6e3 , |
|
|
x = (2,8, −7) ; |
|
|
|
|
|
13) |
e1′ = −3e1 +4e2 +2e3 , |
e2′ = −e1 +e2 +e3 , |
e3′ |
= 7e1 −8e2 −5e3 , |
||
|
x = (−4,6,3) ; |
|
|
|
|
|
14) |
e1′ =6e1 −2e2 +9e3 , |
e2′ |
= −4e1 +e2 −5e3 , |
e3′ |
= 5e1 −2e2 +8e3 , |
|
|
x = (−10, 2, −9) ; |
|
|
|
|
|
15) |
e1′ =5e1 −6e2 +4e3 , e2′ |
= −6e1 +8e2 −5e3 , |
e3′ = −2e1 +e2 −e3 , |
|||
|
x = (7, −9,5) ; |
|
|
|
|
|
16) |
e1′ =8e1 −3e2 +e3 , |
e2′ |
= −5e1 +e2 −e3 , |
e3′ |
= 7e1 −2e2 +e3 , |
|
|
x = (10, −3,1) ; |
|
|
|
|
|
17) |
e1′ = 2e1 +4e2 +e3 , |
e2′ |
= 5e1 +9e2 +3e3 , |
e3′ |
= 2e1 +3e2 +2e3 , |
|
x= (6,9,5) ;
18)e1′ = 2e1 −6e2 −5e3 , e2′ = −3e1 +8e2 +7e3 , e3′ = −e1 +5e2 +4e3 ,
x= (−2,11,9) ;
19) e1′ = 4e1 +4e2 −3e3 , e2′ = 5e1 +7e2 −4e3 , e3′ = e1 + 2e2 −e3 ,
x= (8, 7, −6) ;
20)e1′ = 3e1 +5e2 +4e3 , e2′ = 2e1 +7e2 +4e3 , e3′ = e1 +6e2 +3e3 ,
x= (2,9,5) .
ЗАДАЧА 4. Выясните, является ли подпространством соответствующего линейного пространства данная совокупность векторов:
1) множество матриц вида a |
b |
|
, где a,b , в про- |
−b |
a |
|
|
странстве квадратных матриц второго порядка;
164 |
165 |
2) |
множество матриц вида 1 |
a |
, где a,b |
, в простран- |
|
a |
b |
|
|
|
стве квадратных матриц второго порядка; |
|
||
3) |
множество матриц вида 0 |
a |
, где a,b |
, в простран- |
|
b |
a |
|
|
|
стве квадратных матриц второго порядка; |
|
||
4) |
векторы пространства n , у которых координаты с чет- |
|||
|
ными номерами равны между собой; |
|
||
5)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в начале координат;
6)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат на данной прямой;
7)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых не лежат на данной прямой;
8) векторы пространства |
n вида (0, x , 0, x , x ,..., x ) ; |
||
|
2 |
4 5 |
n |
9)векторы плоскости, выходящие из начала координат, концы которых лежат в третьей четверти;
10)векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов u1, u2 , ... , uk ;
11) |
векторы пространства |
n вида (α, β,α, β,...) ; |
12) |
векторы пространства |
n , у которых совпадают первая и |
|
последняя координаты; |
|
13) |
векторы пространства |
n , у которых координаты с не- |
четными номерами равны нулю;
14)невырожденные матрицы в пространстве квадратных матриц порядка n ;
15)вырожденные матрицы в пространстве квадратных матриц порядка n ;
16) множество многочленов вида a1x +a0 в пространстве P[x](3) многочленов не выше третьей степени;
17)множество многочленов вида b0 x4 +b1x2 +b2 в пространстве P[x](5) многочленов не выше пятой степени;
18)множество всех симметричных матриц порядка n с действительными элементами;
19)векторы плоскости, параллельные данной прямой;
20)векторы плоскости, ортогональные данной прямой.
|
|
ЗАДАЧА 5. Найдите размерность и базис суммы и пе- |
|||
ресечения подпространств A и B , |
порожденных данными |
||||
наборами векторов ai и bi соответственно: |
|||||
1) |
a1 |
= (1,1,1,1), |
a2 = (1, −1,1, −1), |
a3 |
= (1,3,1,3); |
|
b1 |
= (1, 2, 0, 2), |
b2 = (1, 2,1, 2), |
b3 = (3,1,3,1); |
|
2) |
a1 |
= (2, −1, 0, −2), |
a2 = (3, −2,1, 0), |
a3 |
= (1, −1,1, −1); |
|
b1 |
= (3, −1, −1, 0), |
b2 = (0, −1, 2,3), |
b3 = (5, −2, −1,0); |
|
3) |
a1 |
= (1, 2, −1, −2), |
a2 = (−1, 0,1, −1), |
a3 |
= (3,1,1,1); |
|
b1 |
= (−1, 2, −7, −3), |
b2 = (2,5, −6, −5), |
b3 = (3,3,1, −2); |
|
4) |
a1 |
= (1, −1,3, 7), |
a2 = (2, −1, 0, −1), |
a3 |
= (−3, 2, −3, −6); |
|
b1 |
= (1, −1, −1, −1), |
b2 = (1, 2,1, 0), |
b3 = (−1, 4,3, 2); |
|
5) |
a1 |
= (1, 2,1, 0), |
a2 = (−1,1,1,1), |
a3 |
= (1,5, 2,1); |
|
b1 |
= (2, −1, 0, −1), |
b2 = (1, −1,3, 7), |
b3 = (5, −3,3,5); |
|
6) |
a1 |
= (1, 2, −1, −2), |
a2 = (3,1,1,1), |
a3 |
= (−1,0,1, −1); |
|
b1 |
= (2,5, −6, −5), |
b2 = (−1, 2, −7, −3), b3 |
= (3,3,1, −2); |
|
7) |
a1 |
= (1,1,1,1), |
a2 = (−1, −2, 0,1), |
a3 |
= (0, −1,1, 2); |
|
b1 |
= (−1, −1,1, −1), |
b2 = (2, 2, 0,1), |
b3 = (1,1, −1, 2); |
|
166 |
167 |
8)a1 = (1, 2, 0,1), b1 = (1, 0,1, 0),
9)a1 = (3,1,3,1), b1 = (1,1,1,1),
10)a1 = (1,1, 0, 0), b1 = (1, 2,1, 2),
11)a1 = (1, −1, −1,1), b1 = (1,1,1,1),
12)a1 = (5, 2, −3,1), b1 = (1,1,1,1),
13)a1 = (1, 2, −1,1), b1 = (1, 2, −4, 0),
14)a1 = (2,1, −3, 2), b1 = (1, 0,1, 0),
15)a1 = (1,1,1,1),
b1 = (1, 2,3, 4),
16)a1 = (1,1,1, 0), b1 = (1,1,5, 2),
17)a1 = (0,3, 0,3), b1 = (1,1,1, 2),
18)a1 = (5, −1,15, 4), b1 = (1,1,1,3),
19)a1 = (1, 2,1,3),
b1 = (1, 4, −1,5), 20) a1 = (1,1,1,1),
b1 = (1,1, 2, 2),
a2 = (1,1,1, 0), b2 = (1,3, 0,1), a2 = (1, −1,1, −1), b2 = (1, 2,1, 2), a2 = (0,1,1, 0), b2 = (0, 2,1,1), a2 = (2, −2, 0, 0), b2 = (1,1, −1, −1), a2 = (4,1, −2,3), b2 = (1, 0,1, 0), a2 = (2,1, 0, −1), b2 = (1,1,1,1),
a2 = (4, 2, −6, 2), b2 = (0,1, 0,1), a2 = (2,1,1, 0), b2 = (0,1, 2,3),
a2 = (1, −1, −1, −1), b2 = (1, −1, 0, −1), a2 = (1,1,1,1),
b2 = (1, 0,1,1),
a2 = (2,5, −6, −5), b2 = (2,1, −2, −1), a2 = (−1,8, −6,5), b2 = (3, −2, 6,3), a2 = (1,1,1,3),
b2 = (1,1,1, 2),
a3 = (3,7,1, 2); b3 = (0, −3,1, −1); a3 = (1, 2,0, 2); b3 = (1,3,1,3); a3 = (0,0,1,1); b3 = (1,0,1,0); a3 = (3, −1,1,1); b3 = (1, −1,1, −1); a3 = (1,1, −1, −2); b3 = (1, 2,1, 2); a3 = (3,3, 2,1); b3 = (3, −1,1,1); a3 = (6,3, −9,3); b3 = (1,1,1,1);
a3 = (1,0,0, −1); b3 = (3,1,1, −1); a3 = (2, 2,0, −1); b3 = (2,0,5,1); a3 = (4, 2,3,5); b3 = (0,1,0,1);
a3 = (−1, 2, −7, −3); b3 = (1,0, −1,1);
a3 = (0,10, −5,8); b3 = (4, 2,5,8); a3 = (1, 2,1,3);
b3 = (3,3,3,3).
ЗАДАЧА 6. Докажите, что данное преобразование A вектора x = (x1, x2 , x3 ) является линейным, найдите его мат-
рицу в каноническом базисе пространства 3 . Существует
ли обратное преобразование A−1 ? В случае положительного ответа укажите его явный вид.
1)Ax = (5x1 −4x2 −3x3, 2x1 − x2 + x3, x2 +2x3 ) ;
2)Ax = (6x1 −5x2 −4x3, 3x1 −2x2 , x3 ) ;
3)Ax = (4x1 −3x2 −2x3, x1, x1 +2x2 ) ;
4)Ax = (3x1 +2x2 + x3, x1, 2x1 −3x2 ) ;
5)Ax = (x1, x2 −3x3, 4x1 −5x2 +6x3 ) ;
6)Ax = (2x1 + x2 , x2 −2x3, 3x1 −4x2 +5x3 ) ;
7)Ax = (x1, x1 +2x2 +3x3, 4x1 +5x2 +6x3 ) ;
8)Ax = (3x1 −2x2 − x3, x2 , x1 +2x2 +3x3 ) ;
9)Ax = (2x1 − x2 , x3, x1 +2x2 +3x3 ) ;
10)Ax = (x3, 2x1 +3x2 +4x3, 5x1 +6x2 +7x3 ) ;
11)Ax = (2x1, 5x1 − x2 −2x3, x2 +4x3 ) ;
12)Ax = (5x1 −4x2 −3x3, 2x1 − x2 , x3 ) ;
13)Ax = (4x1 −3x2 −2x3, x1, x2 +2x3 ) ;
14) Ax = (3x1 +2x3 + x2 , − x2 , x1 −2x2 −5x3 ) ;
15)Ax = (2x1 + x2 , x3, 2x1 −3x2 −4x3 ) ;
16)Ax = (x1, x2 +2x3, 3x1 +4x2 +5x3 ) ;
168 |
169 |