Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

УДК 512.8

Майорова С.П. Алгебра: курс лекций: учеб. пособие / С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. Ч. 4. 180 с.

В учебном пособии содержится изложение теоретического материала по разделам: линейные пространства и их линейные преобразования, пространства со скалярным произведением, квадратичные формы курсов «Алгебра» и «Алгебра и геометрия». Приведены контрольные вопросы по всем темам и задания к типовым расчетам. Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 090301 «Компьютерная безопасность» и 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем», дисциплинам «Алгебра» и «Алгебра и геометрия».

Пособие предназначено для студентов второго курса радиотехнического факультета очной формы обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word и содержится в файле Алгебра-4.pdf.

Библиогр.: 7 назв.

Рецензенты: кафедра программного обеспечения и администрирования информационных систем Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф.

М.А. Артемов); д-р физ.-мат. наук, проф. М.И. Каменский

©Майорова С.П., Завгородний М.Г., 2011

©Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011

ВВЕДЕНИЕ

Развитие компьютерных и информационных технологий требует все большего внимания к вопросам информационной безопасности. Активно развиваются криптографические методы защиты информации, которые, в свою очередь, опираются на ряд алгебраических структур. Широко используются все разделы алгебры при изучении общетехнических

испециальных дисциплин, определяемых Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 090301 «Компьютерная безопасность» и 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем». Поэтому алгебра является одной из базовых дисциплин для указанных специальностей.

Данное пособие является составной частью комплекса учебных пособий по курсу «Алгебра» для студентов специальностей 090301 и 090303 радиотехнического факультета Воронежского государственного технического университета. В основу пособия положен теоретический материал по нескольким разделам курса: линейные пространства и их линейные преобразования, пространства со скалярным произведением, квадратичные формы, который излагается на лекциях, а также предлагается студентам для самостоятельного изучения. Большинство рассматриваемых в пособии понятий

ирезультатов иллюстрируется примерами. По всем темам приведены контрольные вопросы и задания на закрепление изложенного материала. В приложении приведены задания к типовым расчетам.

Данное пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки (специальности) 090301 «Компьютерная безопасность» и 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем» и предназначено для студентов второго курса.

§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА

В аналитической геометрии изучались векторы на плоскости и в пространстве. В частности, определялись операции сложения векторов и умножения векторов на действительные числа. Аналогичные операции со сходными свойствами можно определить и на других объектах, например на многочленах и матрицах. В связи с этим возникает естественная потребность выделить и изучить в общем виде определенный класс алгебраических структур, называемых линейными пространствами. Различные конкретные линейные пространства широко используются в приложениях, в частности при переработке, хранении, передаче и защите информации.

1.1.Определение линейного пространства, его простейшие свойства

Пусть L - это множество элементов произвольной природы; P - некоторое числовое поле, его элементы будем называть скалярами.

Определение. Множество L называется линейным пространством над полем P , если для любых элементов x, y L определена сумма x + y L ; для любого элемента

x L и любого скаляра α P определено произведение αx L ; и введенные операции сложения и умножения удовлетворяют следующим восьми аксиомам:

1) x + y = y + x x, y L ;

2) (x + y) + z = x +( y + z) x, y, z L ;

3) существует элемент θ L такой, что x +θ = x x L;

4) для любого x L существует противоположный элемент −x L такой, что x +(−x) =θ ;

7) (α +β)x =αx + βx x L и α, β P ; 8) α(x + y) =αx +α y x, y L и α P .

Отметим, что свойства 1 - 4 описывают свойства операции сложения и означают, что алгебраическая структура (L, +) является абелевой группой. Свойства 5 - 6 описывают

свойства операции умножения элементов множества L на скаляры. Свойства 7 - 8 описывают связь введенных операций сложения и умножения между собой.

Элементы любого линейного пространства мы будем называть векторами. По этой причине линейные пространства часто называют векторными.

В приложениях линейной алгебры чаще всего рассматриваются линейные пространства над полем комплексных чисел или полем действительных чисел. Если P = , то L будем называть вещественным линейным пространством; если же P = , то L называют комплексным линейным пространством. В теории информации полезными оказываются линейные пространства над конечными полями, особенно над полем Галуа GF(2) , состоящим из двух элементов 0 и 1,

которое изоморфно полю 2 вычетов по модулю 2.

Рассморим простейшие свойства линейных пространств. Обозначим через θ - нулевой вектор пространства L , а через 0 обозначим нуль поля P .

Свойство 1. 0 x =θ x L .

Доказательство. В силу аксиомы 7 определения линейного пространства имеем: 0 x +0 x = (0 +0)x = 0 x . До-

бавим к обеим частям этого равенства элемент, противоположный элементу 0 x . Получим:

0 x +0 x +(−0 x) = 0 x +(−0 x) ,

откуда 0 x =θ . ■

Свойство 2. α θ =θ α P .

Доказательство. В силу аксиомы 8 определения линейного пространства имеем:

α θ +α θ =α (θ +θ) =α θ .

Добавим к обеим частям этого равенства элемент −α θ , получим α θ =θ . ■

Свойство 3. Если αx =θ , то либо α = 0 , либо x =θ .

Доказательство. Пусть αx =θ . Рассмотрим два случая: α = 0 и α ≠ 0 . Если α = 0 , то 0 x =θ в силу свойства 1.

Если же α ≠ 0 , то существует обратный элемент α−1 (так как α - это ненулевой элемент поля). Умножим обе части

равенства αx =θ на α−1 :

α−1αx =α−1θ x =θ (в силу свойства 2). ■

Приведем примеры линейных пространств.

Пример 1. Множество комплексных (или действительных) чисел есть линейное пространство над полем относительно операций сложения комплексных (или действительных) чисел и умножения их на действительные числа.

Пример 2. Множество V2 всех векторов плоскости или множество V3 всех векторов пространства есть линейное

пространство над полем действительных чисел относительно операций сложения векторов и умножения векторов на действительные числа.

Пример 3. Пусть P - произвольное поле и L = Pn - арифметическое пространство над полем P , т.е. множество всевозможных упорядоченных наборов x = (x1, x2 ,..., xn ) , где

xi P , с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр:

Тогда L = Pn является линейным пространством над полем P . Отметим важные частные случаи: n , n , n . Нулевым элементом в пространстве Pn является вектор θ = (0,0,...,0) . Элементом, противоположным к вектору x = (x1, x2 ,..., xn ) , является вектор −x = (−1)x = (−x1, −x2 ,..., −xn ) . Проверку ак-

сиом линейного пространства проведите самостоятельно. Пример 4. Пусть Mm×n (P) - это множество всех мат-

риц размера m×n c элементами из поля P . Относительно обычных операций матричного сложения и умножения матрицы на скаляр α P данное множество Mm×n (P) является

линейным пространством над полем P . (Докажите!) Пример 5. Пусть P[t](n) - множество всех многочленов

над полем P , степень которых не выше n , т.е.

P[t](n) ={ f (t) P[t], deg f (t) ≤ n}.

Относительно операций сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр α P данное множество P[t](n) яв-

ляется линейным пространством. Действительно, для любых f , g P[t](n) имеем

deg( f + g) ≤ n , deg(α f ) ≤ n ,

а значит в P[t](n) определено сложение многочленов и ум-

ножение многочлена на скаляр. Нулевым элементом пространства P[t](n) служит нулевой многочлен. Остальные ак-

сиомы линейного пространства проверьте самостоятельно. Отметим, что множество многочленов, степень кото-

рых равна n , линейным пространством уже не является, так как сумма двух таких многочленов может иметь степень меньше n . Например, для f (t) = tn +1 и g(t) = −tn +1 имеем f (t) + g(t) = 2 . Последнее означает, что операция сложения

во множестве многочленов степени n не определена. Пример 6. Множество векторов плоскости, выходящих

из начала координат, концы которых лежат на прямой y = kx , образует линейное пространство. (Докажите!) Если

же рассмотреть векторы плоскости, концы которых лежат на прямой y = kx +b при b ≠ 0 , то это множество уже не будет

линейным пространством, так как не определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр.

Пример 7. Множество, состоящее из одного вектора - нулевого, т.е. L ={θ}, является линейным пространством над

любым полем. Его называют нулевым пространством. Задача 1. Пусть L - это множество всех упорядочен-

ных пар положительных действительных чисел, т.е.

L ={x : x = (x1, x2 ), xi , xi > 0}.

Выясните, является ли L вещественным линейным пространством, если сложение двух элементов определяется равенством x + y = (x1y1, x2 y2 ) , а умножение на действительное

число – равенством λx = (x1λ , x2λ ) .

ные операции не выводят из множества L .

Проверим, удовлетворяют ли данные операции аксиомам 1-8 из определения линейного пространства. Имеем:

1) x + y = (x1 y1, x2 y2 ) = ( y1x1, y2 x2 ) = y + x x, y L ; 2) (x + y) + z =(x1y1, x2 y2 ) +(z1, z2 ) =((x1y1)z1,(x2 y2 )z2 ) =

= (x1( y1z1), x2 ( y2 z2 )) = x +( y + z) x, y, z L ;

3) Нулевой вектор θ ищем в виде θ = (t1,t2 ) , где ti ,

Таким образом, нулевой вектор существует и имеет вид

θ= (1,1) .

4)Для любого вектора x = (x1, x2 ) найдем противопо-