Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

Так как по условию x1 ≠ 0 и x2 ≠ 0 , то противоположный элемент −x существует для любого вектора x = (x1, x2 ) и

имеет вид −x = ( 1 , 1 ) . x1 x2

5) 1 x =1 (x1 , x2 ) = (x11, x12 ) = x x L ; 6) (αβ)x = (x1αβ , xαβ2 ) ,

α(βx) =α(x1β , x2β ) = ((x1β )α ,(x2β )α ) = (x1αβ , xαβ2 ) .

Следовательно, (αβ)x =α(βx) x L , α, β P .

7)(α + β)x = (x1α+β , xα2 +β ) ,

αx +βx = (x1α , xα2 ) +(x1β , x2β ) = (x1α x1β , xα2 x2β ) = (x1α+β , xα2 +β ) .

Следовательно, (α +β)x =αx + βx .

8)α(x + y) =α(x1 y1, x2 y2 ) = ((x1 y1)α , (x2 y2 )α ) ,

αx +α y = (x1α , xα2 ) +( y1α , yα2 ) =

= (x1α y1α , xα2 yα2 ) = ((x1 y1)α ,(x2 y2 )α ) .

Следовательно, α(x + y) =αx +α y .

Таким образом, все восемь аксиом выполнены, и данное множество L является линейным пространством.

Контрольные вопросы и задания к п. 1.1

1.Сформулируйте определение линейного пространства.

2.Приведите примеры линейных пространств.

3.Как называют элементы линейного пространства?

4.В чем отличие вещественного линейного пространства от комплексного линейного пространства? Приведите при-

меры таких пространств.

5.Является ли вещественным линейным пространством множество, состоящее из одного нулевого вектора?

6.Могут ли в вещественном линейном пространстве существовать:

а) два нулевых вектора; б) два противоположных вектора для некоторого данного

вектора x ?

7.Справедливо ли равенство θ = −θ ?

8.Является ли вещественным линейным пространством

множество всех векторов (x1,..., xn ) n , удовлетворяю-

9.Являются ли следующие множества матриц вещественными линейными пространствами:

10. Является ли вещественным линейным пространством: а) множество отрицательных действительных чисел; б) множество векторов плоскости, выходящих из начала

координат, с концами на прямой y = kx +b ;

в) множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, с концами на прямой y = kx +b , где b ≠ 0 ;

г) множество многочленов степени ≤ n (включая нулевой многочлен) с комплексными коэффициентами;

д) множество многочленов степени n с действительными коэффициентами;

е) множество функций вида α cos x + β sin x , где α, β - произвольные вещественные числа?

1.2.Базис и размерность линейного пространства

Пусть L - линейное пространство над полем P . Определение. Система векторов u1,...,um пространства

L называется линейно независимой, если для любых скаляров α1,...,αm P из равенства α1u1 +... +αmum =θ следуют

равенства α1 = 0,...,αm = 0 .

Определение. Система векторов u1,...,um пространства

L называется линейно зависимой, если существуют скаляры α1,...,αm P , не все одновременно равные нулю, такие, что

α1u1 +... +αmum =θ .

Для произвольных линейных пространств остаются в силе формулировки и доказательства свойств и теорем о линейной зависимости и независимости систем векторов (см. п.2.13 части 1 настоящего пособия). Напомним их.

Критерий линейной зависимости векторов. Система векторов u1,...,um линейно зависима тогда и только тогда,

когда хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов:

1)Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2)Любая система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

3)Если система векторов u1,...,um линейно зависима,

то всякая большая система векторов u1,...,um ,um+1,...,uk так

же будет линейно зависима.

4) Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

Рассмотрим линейное пространство L . Пусть в нем существует n линейно независимых векторов, и любая большая совокупность векторов будет линейно зависима. Тогда пространство L называют n -мерным, а число n называют размерностью пространства и обозначают n = dim L .

Другими словами, размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Пространства, имеющие конечную размерность, называются конечномерными. Если же в линейном пространстве существует линейно независимая система из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным.

В дальнейшем бесконечномерные пространства подробно не рассматриваются.

Введем понятие базиса.

Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2 ,..., en линейного пространства L называется базисом

этого пространства, если:

1)векторы e1, e2 ,..., en линейно независимы;

2)любой вектор x L может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов, т.е.

Равенство (1) называется разложением вектора x по базису e1, e2 ,..., en , а коэффициенты этого разложения

α1,α2 ,...,αn - координатами вектора x в базисе e1, e2 ,..., en .

Отметим, что все базисы конечномерного линейного пространства равномощны, т.е. состоят из одного и того же числа векторов.

Замечание. Как видно из определения, размерность линейного пространства равна числу векторов базиса. По-

этому часто линейное пространство L называют n -мерным, если в нем существует базис из n векторов.

Справедливо следующее свойство базиса:

Теорема 1. Разложение вектора по данному базису единственно.

Доказательство. Пусть вектор x L допускает два разложения по базису e1, e2 ,..., en линейного пространства L :

x =α1e1 +α2e2 +... +αnen , x = β1e1 + β2e2 +... + βnen .

Рассмотрим разность

x − x = (α1 −β1)e1 +(α2 −β2 )e2 +... +(αn −βn )en =θ .

Откуда в силу линейной независимости векторов базиса e1, e2 ,..., en получаем, что все коэффициенты равны нулю:

α1 −β1 = 0 , α2 −β2 = 0 , … , αn −βn = 0 ,

а значит α1 = β1 , α2 = β2 , … , αn = βn . ■

Рассмотрим несколько примеров линейных пространств, укажем в них базисы и выясним их размерность.

Пример 8. В пространствах V2 и V3 базисами являются

соответственно любая пара неколлинеарных векторов и любая тройка некомпланарных векторов. Размерность этих пространств определяем по числу векторов базиса: dimV2 = 2 , dimV3 = 3 .

Пример 9. В арифметическом пространстве L = Pn , где P - произвольное поле, базис образуют векторы

e1 = (1,0,0...,0) , e2 = (0,1,0,...,0) , … , en = (0,0,0...,1) .

Таким образом, L = Pn является конечномерным пространством и его размерность dim Pn = n .

Пример 10. В линейном пространстве многочленов P[t](n) , степень которых не выше n , базис образуют много-

члены

1, t ,t2 , ... , tn .

Поэтому P[t](n) - конечномерное пространство, его размер-

ность dim P[t](n) = n +1.

Пример 11. В линейном пространстве матриц Mm×n (P) базис образуют матрицы

Eij , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ,

где Eij - матрица, в которой на пересечении i -ой строки и j -го столбца стоит единица, а остальные ее элементы - нулевые. Тогда dim Mm×n (P) = mn .

Базисы, указанные в примерах 9-11, называют каноническими (т.е. простейшими) базисами соответствующих линейных пространств.

Пример 12. Базисом нулевого пространства L ={θ}

считается пустая система векторов (или говорят, что нулевое пространство не имеет базиса), размерность этого пространства считается равной нулю.

Задача 2. Найдите координаты вектора x = (1,3,1) в ба-

зисе e1 = (1,0,0) , e2 = (1,1,0) , e3 = (1,1,1) .

Решение. Обозначим координаты вектора x в данном базисе через α1,α2 ,α3 , т. е.

x =α1e1 +α2e2 +α3e3 .

Последнее равенство запишем покоординатно:

откуда, приравнивая соответствующие координаты, получим

= (1+t2 )(1−5t) в каноническом базисе пространства P[t](3) . Решение. Канонический базис пространства многочленов P[t](3) имеет вид 1, t, t2 , t3 . Найти координаты данного многочлена f (t) в каноническом базисе - это значит найти

коэффициенты αi в разложении

f (t) =α1 1+α2 t +α3 t2 +α4 t3 .

Преобразуем данный многочлен - раскроем скобки и упорядочим слагаемые по возрастающим степеням переменной t . Получим:

f (t) = (1+t2 )(1−5t) =1−5t +t2 −5t3 .

Отсюда видно, что α1 =1, α2 = −5 , α3 =1, α4 = −5 . А значит, многочлен f (t) в данном базисе можно записать в виде

вектора, заданного своими координатами: f (t) = (1, −5,1, −5).

Контрольные вопросы и задания к п. 1.2

1.Сформулируйте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов.

2.Перечислите свойства линейной зависимости.

3.Что называется базисом линейного пространства?

4.Может ли базис содержать нулевой вектор?

5.Как найти координаты вектора в данном базисе?

6.Что называется размерностью линейного пространства?

7.Как связаны между собой размерность пространства и число векторов базиса?

9. Установите линейную зависимость или независимость следующих систем векторов в соответствующих линей-

стве матриц размера 2×2 .

10. Выясните, при каких значениях параметров данные сис-

образуют базис в линейном пространстве матриц второго порядка.

14. Найдите координаты вектора x = (6,0, −5) пространст-

15. Покажите, что в пространстве многочленов степени ≤ 3 следующие системы многочленов образуют базисы:

а) −2 , −x , 2x2 , x3 ;

б) 1, x −1, (x −1)2 , (x −1)3 .

Найдите координаты вектора f (x) = x2 −5x +6 в каждом из этих базисов.

1.3. Матрица перехода

Пусть L - линейное пространство, dim L = n . Пусть в пространстве L заданы два базиса B и B′:

B : e1, e2 ,..., en - старый базис, B′: e1′, e2′ ,..., en′ - новый базис.

Каждый из векторов нового базиса B′ разложим по старому базису B :

e1′ = t11e1 +t21e2 +... +tn1en , e2′ = t12e1 +t22e2 +... +tn2en ,

. . .

en′ = t1ne1 +t2ne2 +... +tnnen .

Из коэффициентов полученных разложений составим матрицу. Причем коэффициенты первой строки запишем в первый столбец матрицы, второй строки - во второй столбец и так далее. В результате получим матрицу:

Матрицу TB→B′ называют матрицей перехода от базиса B к

базису B′.

Сформулируем правило составления матрицы перехо-

да.

1)Новый базис разложить по старому.

2)Коэффициенты полученных разложений записать в матрицу столбцами.