Материал: Алгебраические_уравнения

11

24.( ) – некоторый многочлен степени от переменной . Для этой цели также в книге иногда используются обозначения: ( ), ( ) или ( ).

25.( ) – некоторый линейный член, т. е. выражение вида

+ , где и – константы.

26.& – логическое «И».

27.– логическое «ИЛИ».

28.( ̸= 2)&( ̸= 3) – истинны одновременно два утверждения: ( ̸= 2) и ( ̸= 3).

29.( ̸= 2) ( ̸= 3) – истинно утверждение ( ̸= 2), или

( ̸= 3) или ( ̸= 2)&( ̸= 3).

30.– любое .

31.– существует .

Введение

9 19 Как следует из названия книги, нам предстоит заняться поиском неизвестных. Поиск «неизвестных» – удел не только математиков. Ежедневно этим делом занимаются люди, профессии которых не связаны с точными науками. Так, врач, опираясь на результаты осмотров, обследований и анализов, пытается установить болезнь; сыщик на основании порой несвязных показаний очевидцев ищет преступника; археолог по найденым артефактам изучает быт давно исчезнувших цивилизаций. Все перечисленные выше ситуации объединяет то обстоятельство, что нельзя непосредственно увидеть, измерить интересующий нас объект – в нашем распоряжении имеется лишь ряд фактов, зафиксированных в утверждениях о нем, и каждое утверждение сужает круг поиска. Как когда-то заметил Платон, «мы видим только тени вещей». И по этим теням нам надо воспроизвести объект. Пусть, например, фирма N ищет сотрудника с высшим экономическим образованием не старше 40 лет, владеющего английским языком и имеющего навыки работы на персональном компьютере. Значит, фирма ищет некоторого

13

гражданина X, для которого истинны утверждения:

имеет высшее экономическое образование;

не старше 40 лет;

владеет английским языком;

имеет навыки работы на персональном компьюторе.

Фигурная скобка означает, что все указанные выше четы-

ре утверждения должны быть истинными одновременно, то

есть между утверждениями можно поставить «логическое

И». Если бы в объявлении было написано: «Требуются сле-

сари, электрики и сварщики», утверждения следовало по-

местить в квадратную скобку:

X слесарь;

X электрик;

Xсварщик.

Вданном случае квадратная скобка говорит о том, что для кандидата на рабочее место должно быть выполнено хотя бы одно из перечисленных условий, между утверждениями подразумевается «логическое ИЛИ», несколько отличающееся от того «ИЛИ», которое мы часто используем в быту. В быту, говоря «А ИЛИ Б», мы можем подразумевать «либо А, либо Б». «Логическое ИЛИ» всегда означает «либо А,

либо Б, либо А и Б одновременно». В нашем случае допускается, что слесарь одновременно может быть и электриком, и сварщиком.

Любое уравнение или неравенство с одной или несколькими неизвестными по сути является утверждением о равенстве или соответственно неравенстве двух выражений, и его решениями будут те наборы неизвестных, при которых утверждение истинно. Набор таких утверждений, заключенный в фигурную (квадратную) скобку, называют системой уравнений и (или) неравенств. Отдельное уравнение или неравенство также можно рассматривать как частный случай системы, состоящей из одного утверждения. Две системы называют эвивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают. В таком случае уравнения

−1 = ( − 1), 2 = 0 и ( − 1)2 = 0 эквивалентны. Хорошей физической моделью уравнения являются весы, на одной чаше которых стоит груз неизвестного веса, а на другой – гири. Единственный недостаток модели – отсутствие гирь и грузов с отрицательным весом.

Алгебраическим уравнением (неравенством) называют уравнение (неравенство), в левой части которого находится многочлен степени ≥ 0, а в правой – ноль. Многочлен или полином можно рассматривать как сумму одночленов или мономов, каждый из которых представляет собой произведение с числовым коэффициентом нескольких

15

переменных, возведенных в целые неотрицательные степени. Степенью, или порядком, монома называют сумму степеней входящих в него переменных. Степень многочлена

– наибольшая степень входящего в него монома. В частности, многочленом, или полиномом, степени от одной переменной называется выражение вида

( ) = 0 + 1 −1 + . . . + −1 + .

При этом 0 называют старшим членом, соответственно

0 – старшим коэффициентом многочлена, а – свободным членом. Коэффициенты многочлена , где = 0, 1, . . . , в общем случае мы будем считать вещественными числами. Многочлен степени = 1 называют линейным членом. В курсе математики средней школы мы сталкиваемся также с «многочленами бесконечной степени»:

Это, безусловно, суммы бесконечных геометрических прогрессий со знаменателями, соответственно и (− ), которые сходятся при | |< 1 и определяются как

lim (1 + + 2 + 3 + . . . + )

→∞

и lim (1 − + 2 − 3 + . . . + (−1) ).

→∞