Материал: Алгебраические_уравнения
16 |
ВВЕДЕНИЕ |
В высшей математике такие «многочлены» называют степенными рядами. Степенные ряды позволяют нам находить значения элементарных и ряда других функций.
Например, sin( ) = − |
3 |
|
|
5 |
7 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ . . . , |
|||||||||||||
3! |
|
5! |
|
7! |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
6 |
||||||||||||
|
cos( ) = 1 − |
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
+ . . . , |
|||||||||||||||
|
2! |
|
|
4! |
6! |
|||||||||||||||||||||
= 1 + + |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
где ! = 1 · 2 · 3 . . . . |
||||||||||||
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+ . . . , |
||||||||||||||||||
2! |
3! |
4! |
||||||||||||||||||||||||
Так, |
( |
2) ≈ |
2 |
|
− 8 · 3! = 2 − |
48 ≈ 0, 4792. |
||||||||||||||||||||
sin |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение этой величины с точностью до семи цифр после запятой – 0, 4794255. Таким образом, уже первые два члена степенного ряда позволили нам найти значение функции с точностью до трех значащих цифр. Однако в курсе средней школы со степенными рядами знакомятся только учащиеся физико-математических классов и непосредственного отношения к теме нашей книги эти ряды не имеют.
В курсе алгебры мы привыкли иллюстрировать рассуждения и их результаты графиками, то есть некоторыми геометрическими объектами, и само слово «алгебра» у многих ассоциируется с изображением параболы. Тем не менее длительное время алгебра развивалась в отрыве от геометрии, и только в XVII веке французский философ и математик Рене Декарт ввел на плоскости систему координат, которая
17
позволила установить соответствие между алгебраическими уравнениями и кривыми на плоскости. Оказалось, уравнению = + соответствует прямая, пересекающая ось
в точке (0; ) |
и составляющая с осью угол |
, та- |
кой, что ( ) = |
; уравнению ( − )2 + ( − )2 |
= 2 – |
окружность радиуса с центром в точке с координатами ( ; ); а уравнению 2 − 2 = 0 – пара прямых + = 0 и
− = 0. Таким образом, решениям уравнения соответствует геометрическое место точек с координатами ( ; ), при подстановке которых уравнение обращается в тождество, а решениям систем – точки пересечения соответствующих геометрических мест. Однако уравнение, связывающее две переменные, не всегда определяет кривую. Так, уравнение
2+ 2 = 0 имеет единственное решение – (0; 0). Если уравнениям, связывающим три переменные , и , соответствуют поверхности в трехмерном пространстве, то системам двух уравнений обычно соответствуют линии их пересечения, а трех – точки. Определить, что будет решением уравнения, иногда непросто. Для примера возьмем точку трехмерного пространства с координатами (1; 2; 3). Системы
= 1 |
|
= 1 |
|
− 1 = 0 |
||
= 2 |
|
= 2 |
|
|
− |
2 = 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
= 3 |
|
− 3 = 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентны. В свою очередь последняя система уравне-
18 |
ВВЕДЕНИЕ |
ний эквивалентна уравнению ( −1)2+( −2 )2+( −3 )2 = 0, поскольку оно имеет единственное решение (1; 2; 3). Раскрыв скобки и приведя подобные, мы придем к уравнению
14 2 − 2 − 4 − 6 + 2 + 2 + 1 = 0.
Согласитесь, если б не мы составили это уравнение, решить его было бы непросто. Но мы-то точно знаем его единственное решение: = 1; = 2; = 3, которому соответствует не поверхность, а точка трехмерного пространства.
Предлагаемая книга состоит из трех глав, в каждой из которых материал расположен по нарастанию сложности. Благодаря системе ссылок и других средств навигации, книгу можно читать с любого места и в любом направлении. Поэтому если при первом чтении какой-либо вопрос вызывает затруднение, можно пропустить его и двигаться дальше или обратиться к дополнительной литературе. Биться головой о стену не лучшее занятие, но, прежде чем отложить решение задачи, приложить усилия все-таки надо. Решение задачи, над которым вы долго думали, дня через три может само прийти в голову, но никогда само не придет в голову решение задачи, над которым вы не думали. Если что-то сразу не получится – это нормально. Мы растем на решении тех задач, которые не умеем решать!
Глава 1. Линейные уравнения
Линейные уравнения – первые уравнения, с которыми мы встречаемся в школе и пройти мимо которых нам не удастся ни в одном разделе высшей математики.
§ 1.1. Уравнения с одной неизвестной
12 20 |
|
В общем виде линейное уравнение с одной неиз- |
|
вестной можно записать так: = , где – неизвестная |
|
||
величина, а и – параметры. В зависимости от значений |
|
||
параметров уравнение может иметь бесконечное множество |
|
||
решений, одно единственное или же не иметь решений: |
|
||
1) = 0. Здесь могут быть два случая. |
|
||
1.1) = 0. Уравнение принимает вид 0· = 0. Его решением |
|
||
будет любое вещественное . Иначе говоря, множество ре- |
|
||
шений = (−∞; +∞). |
|
||
1.2) ̸= 0. Решений нет, т. е. множество решений – . |
|
||
2) ̸= 0. Единственное решение = . |
|
||
Пример. |
Дано уравнение |
188 |
|
( 2 − 5 · + 6) = 2 2 − 3 − 2.
Найти решение относительно неизвестной величины .
Решение:
1) Коэффициент при равен нулю, если 2 − 5 + 6 = 0.
20 |
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
Корни квадратного трехчлена: 1 = 2, 2 = 3. 1.1) = 2 0 · = 0. Множество решений – . 1.2) = 3 0 · = 7. Множество решений – .
2) При ( ̸= 2)&( ̸= 3) уравнение имеет единственное решение:
= |
2 · 2 − 3 − 2 |
|
= |
2( − 2)( + 21 ) |
|
|
= |
2 + 1 |
. |
2 − 5 · + 6 |
( − 2)( − 3) |
|
|||||||
|
|
|
− 3 |
||||||
Ответ:
1) при = 2.
2) при = 3.
3) = 2 +1 при ( ̸= 2)&( ̸= 3).
−3
Задачи к параграфу на с. 188, п. 1.
§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными
19 28 Линейное уравнение с двумя неизвестными в общем виде: + = . Поскольку уравнение связывает две неизвестные величины, решениями его будет множество пар ( ; ), которое можно интерпретировать как геометрическое место точек плоскости. Если коэффициенты при ине равны одновременно нулю, такому уравнению соответствует прямая на плоскости. Многим более привычна запись уравнения прямой в виде = + · , где – отрезок, отсекаемый прямой на оси , а – угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс угла наклона прямой по отношению к оси .