ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»
Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова
Выпускная квалификационная работа
Аналитическое исследование проблемы оптимального управления запасом непрерывного продукта в схеме регенерации
Волкова Анастасия Алексеевна
Москва 2019
Аннотация
Цель проведенной дипломной работы состоит в рассмотрении модели управления запасом с введенным в неё новым фактором, теоретическом и аналитическом её исследовании и способе решения проблемы оптимизации управления. Метод решения заключается в доказательстве основного утверждение о представлении стационарного показателя в форме дробно-линейного функционала и нахождения его функций в явном виде. Также, на основе теоремы о дробно-линейном функционале описан подход к решению задачи управления. Также, результаты аналитического и теоретического исследования заключаются в доказательствах леммы о непрерывности функции прибыли, теоремы о достаточных условиях непрерывности главной функции стоимостного функционала и теоремы о существовании решения оптимального управления запасом с помощью сведений из математического анализа и функционального анализа. Во всех доказательствах учитывается появление нового фактора. Модель помогает упростить и грамотно спланировать процесс практически любой торгово-сбытовой системы в целом.
Работа содержит 39 страниц, 1 графическую иллюстрацию, а также 11 использованных источников в качестве базовых материалов.
The aim of the thesis is to consider the model of stock management with the new factor introduced in it, its theoretical and analytical research and the way to solve the problem of management optimization. The solution method consists in proving the main statement about the representation of a stationary indicator in the form of a fractional-linear functional and finding its functions in an explicit form. Also, on the basis of the theorem on a linear fractional functional, an approach to solving the control problem is described. Also, the results of analytical and theoretical research are in the proofs of the lemma on the continuity of the profit function, the theorem on sufficient conditions for the continuity of the main function of the value functional and the theorem on the existence of a solution to optimal stock management using information from mathematical analysis and functional analysis. All evidence takes into account the emergence of a new factor. The model helps to simplify and competently plan the process of almost any trading and marketing system as a whole.
The work contains 39 pages, 1 graphic illustration, as well as 11 used sources as basic materials.
Оглавление
Введение
1. Теоретические сведения
1.1 Определение регенерирующего процесса и его основные свойства
1.2 Управление регенерирующим процессом и проблема оптимизации
1.3 Вспомогательные результаты из математического анализа
1.4 Экстремальная задача для дробно-линейного интегрального функционала
Глава 2. Анализ проблемы оптимального управления запасом непрерывного продукта
2.1 Математическая модель системы в форме управляемого регенерирующего процесса
2.2 Утверждение о представлении стационарного стоимостного показателя эффективности управления с нововведенным фактором
2.3 Постановка задачи оптимального управления и её решение
2.4 Аналитически достаточные условия существования детерминированного оптимального управления
Заключение
Список литературы
Введение
Выбор правильной стратегии управления запасами для бизнеса - не простая задача. Многие производства нуждаются в квалифицированном и грамотном решении вопроса оптимального управления. Инвентарь, хранящийся на складе, лежит в основе всех растущих брендов. Для малого и среднего бизнеса, управление им по нескольким каналам, нескольким местоположениям и нескольким категориям продуктов - важнейший процесс. Чем быстрее растет производство, какого-либо продукта или сырья, тем сложнее становится. Проблема логистики, на сегодняшний день, как никогда является актуальной в современном, быстроразвивающемся и технологически продвинутом мире. Управления поставками на склады необходимо для грамотного функционирования заводов. Неспособность эффективно управлять запасами может дорого обойтись любому бизнесу, это огромная и трудоемкая проблема. Оптимизация управления запасами требует планирования, тщательного анализа и постоянного улучшения, чтобы оставаться впереди конкурентов. Это помогает гарантировать увеличение продаж и сокращение расходов на необходимые ресурсы. Результаты, полученные в ходе проведения нижеизложенной работы, могут быть применимы в различных видах маркетинговых исследований, экономических исследованиях, а так же других смежных областях.
В работе рассматривается математический подход к имеющейся логистической проблеме основанный на фундаментальных теоретических исследованиях. В частности, за основу берется интерпретация реальной ситуации оборота некоего сырья с имеющегося склада и строится математическая модель учитывающая факторы, влияющие на данный оборот. Данная модель включает в себя и элементы экономической сферы. Подробно расписывается значение характеристик функций для затрат и функций, связанных с ценой ресурса. Отличительной особенностью имеющегося исследования от предыдущих работ в заданной сфере, является ранее не рассматриваемая зависимость, некий уникальный фактор. Учитывая этот фактор, можно построить вариант абсолютно новой, еще теоретически и аналитически не исследованной математическо-экономической модели оптимального управления запасами.
Новая модель строится на основании результатов анализа существующих решений рассмотренных ранее в [1],[2],[3]. Приведенные работы представляют собой трудоемкие выводы, сделанные П.В. Шнурковым и его коллегой Р.В. Мельниковым в исследуемой мной области. В данных источниках представлена общая модель управления запасами в циклическом процессе. Задаются базовые параметры модели, в частности - скорость потребления, объем имеющегося хранилища для продукта, временные соотношения, скорость пополнения и т.д. Рассматривается процесс пополнения и потребления ресурсов с некоего склада, используемого для хранения определенного вида какого-либо сырья. Склад имеет фиксированный максимальный объем. За детерминированную величину - выступает задержка, которая зависит от объема потребленного продукта. В определенный момент, ресурсы, хранящиеся на складе - заканчиваются, следовательно, необходимо сделать заказ на поступления новой партии продукции для пополнения запаса. После совершения заказа наступает период задержки, который длится от момента заказа до момента непосредственного пополнения. Задача заключается в определение такого момента времени, спустя которое нужно сделать очередной заказ для пополнения продукции. Для этого нужно проанализировать формулу стационарного стоимостного показателя эффективности управления. Определить явные представления математического ожидания прибыли (математическое ожидание приращения стоимостного функционала) и условного математическом ожидании длительности периода регенерации. Эти факторы нужно рассмотреть для различных соотношений временных параметров. Более подробно основные обозначения, с помощью которых будет задаваться новая модель, будут описаны в отдельном параграфе далее.
Соответствующее исследование было проведено в статье Е.Ю. Пименовой и П.В. Шнуркова [4]. В новой получившейся модели, представляющей из себя управляемый регенерирующий процесс, мы вводим условие, заключающееся в зависимости детерминированной длительности задержки поставкиот объема потребления продукта, благодаря чему исследование становится отличным от перечисленных работ выше.
Основной целью выполненной работы является построение новой модели управления запасом, с учетом введенного нового фактора, а также основательный теоретический и аналитический анализ такой модели. Приводится подробное доказательство новой теоремы о представлении показателя эффективности управления (средней удельной прибыли) в форме дробно-линейного интегрального функционала в рассматриваемой схеме регенерирующего процесса в общем виде. Подынтегральные функции числителя и знаменателя представлены в явном виде.
Далее в работе предложено теоретическое решение поставленной проблемы управления имеющимися ресурсами, базирующееся на трудах В.А. Каштанова [5] (теорема о достижении максимума дробно-линейного функционала). Однако упомянутая выше теорема носит довольно ограничительные условия. Позднее, П.В. Шнурковым в его работе [6] была предложена новая теорема, усиливающая итоги [5]. На основании чего приводится итог решения поставленной экстремальной задачи на неком вероятностном распределении, сконцентрированный в некой точке.
В работе получены некоторые аналитические условия при которых существует решение поставленной задачи, в частности, доказывается лемма о непрерывности функции прибыли данной модели. В свою очередь, доказываются теоремы, включающие в себя условие первоначальной леммы. Первая теорема посвящена существованию некоего конечного предела, а также существованию достаточных условиях непрерывности основной функции имеющегося стоимостного функционала. Вторая теорема - существованию и достижению решения исследуемой задачи в точке детерминированного управления на неком множестве. В [9,10, 11] изложены все необходимые утверждения из математического и функционального анализа необходимые для доказательства теорем и леммы, содержащихся в проведенной работе.
1. Теоретические сведения
1.1 Определение регенерирующего процесса и его основные свойства
Для грамотного понимания работы системы заданной математическо-экономической модели введем понятие регенерирующего процесса и объясним его суть. Данное определение будем брать из учебного пособия В.В. Рыкова и Д.В. Козырева [7].
Зададим случайный процесс является множеством действительный чисел) на вероятностном пространстве где пространство элементарных событий, множество наблюдаемых событий ( алгебра), символ вероятности.
Множество состояний (Е, ?) такого процесса будет измеримо. Е - является множеством состояний процесса , ? - является алгеброй системы подмножества Е. Введем обозначение алгебры событий, как .
Для процесса за марковский момент обозначим случайную величину . При условии, что событие , то есть если известно по истории процесса до момента наступления времени .
За момент регенерации будет приниматься марковский момент случайного процесса , при условии что данный момент , таким образом для ? фиксированного произвольного подмножества?:
,
Можно утверждать что существует последовательность моментов , моменты в которые процесс возвращается в свое первоначальное состояние, за счет того что обуславливается смещением и отклонением траекторий а также тем, что конечный момент регенерации будет существовать с вероятностью 1. Также, стоит отметить, что таким образом случайные моменты образуют простой процесс восстановления.
Следственно, под понятием однородного регенерирующего процесса будем подразумевать соотношение формул:
,
То есть случайный процесс в каждый момент регенерации свое прошлое и такой заданный процесс развивается, стохастически не изменяясь.
Теперь перейдем к понятию периода регенерации. Временные промежутки и длины данных временных промежутков, обозначим их за , где , будем определять как периоды регенерации.
Стоит отметить, что моменты регенерации будут образовывать некий точечный процесс. Предположим, что задана некая точка начального отсчета , и далее последовательно задаются моменты наступления событий: …, нумерующиеся в возрастающем порядке. Таким образом, на временной оси задается точечный процесс.
1.2 Управление регенерирующим процессом и проблема оптимизации
Представим стоимостный аддитивный функционал в данном регенерирующем процессе следующей формулой [8]:
,
Данный функционал выражает, например, среднюю удельную прибыль в стационарном режиме функционирования или же, средние удельные затраты (т.е. отнесенные к единице времени).
Распишем более подробно значения в данной формуле:
1. На периоде регенерации приращение аддитивного функционала имеет вид:
2. Случайная длительность периода регенерации:
3. Математическое ожидание приращения стоимостного аддитивного функционала в момент времени :
4. Математическое ожидание приращения стоимостного аддитивного функционала (прибыль за период [0,t]):
5. Математическое ожидание длительности периода регенерации:
И учитываем, что:
Стационарный стоимостный показатель выступает в роли целевого функционала следующего вида:
,
Где, - является вероятностным распределением (управляющим) и в каждый моменты на пространстве осуществляется какое-либо принятие решения .
При условии что на периоде регенерации будет осуществлено решение условное математическое ожидание приращения аддитивного стоимостного функционала представимо в виде следующей формулы:
,
При таком же условии, условное математическое ожидание длительности периода является:
,
Таким образом, задача оптимального управления сводится к решению экстремальной задачи:
,
,
стационарный стоимостный аддитивный функционалпринимает значение целевого функционала
- множество всех управляющих вероятностных распределений неотрицательных случайных величин.
1.3 Вспомогательные результаты из математического анализа