- момент окончания ресурса в хранилище.
выражение периода длительности потребления.
.
объем ресурса в хранилище.
длительность периода пополнения.
Таким образом, будет справедливо равенство:
издержки, относящиеся к пополнению потребленного объема количеством
Предположим, что введенная функция . Определим следующие обозначения для множеств значений величины :
,
,
,
,
Теорема 2.1
В исходной задаче оптимизации управления стоимостной функционал управления является целевым функционалом (дробно-линейным) задаваемым равенством:
,
Где функции и определяются формулами:
Функция B(u) для выражается:
Доказательство
Обоснуем выведенное явное представление для функций дробно-линейного функционала (2.2),(2.3),(2.4),(2.5),(2.6) предложенного формулой (2.1). Примем во внимании, что в момент принимается решение
Проанализируем интервалы времени которым соответствуют определенные виды функции
1) На промежутке объем в хранилище не будет равен нулевой или же отрицательной величине, следовательно, запас будет иметься в наличии в период + Таким образом, будет уместно использовать функцию (x), связанную издержками на содержание имеющегося продукта в хранилище и функцию (x), определяющую стоимость данного продукта. Дополнительно, учитываются издержки на пополнение ресурса, выражающиеся в виде функции Следовательно, можно представить математическое ожидание приращения дробно-линейного функционала для предложенного интервала времени в виде равенства (2.2).
2) На интервале следует учитывать период, когда ресурсы находятся в убытке в основном хранилище, происходит это на временном отрезке, начинающемся с момента до +. То есть, вводится функция (), описывающая стоимость сырья с запасного склада и функция издержек для обозначения трат при нехватке на основном хранилище запаса. Но так же, следует принять во внимание и временной промежуток до момента , при котором ресурсы находятся в достатке. Получается, что необходимо также включить функции и () смысловое значение которых было приведено выше. Задается выражение (2.3)
3) Для случая , период дефицита длиться с момента до +. Присутствует и период достатка ресурса на складе. Рассуждения о применении тех или иных функция и (),() будут аналогичны варианту .
4) Рассмотрим равенство (2.5) для временного отрезка . Предположим, тогда заведомо , то есть к моменту окончания периода потребления запас будет израсходован. Следовательно, до момента окончания запасадоход будет определяться функцией а затраты, связанные с хранением, функцией От момента окончания запаса и до момента окончания периода потребления доход будет определяться функцией , а штрафы, связанные с дефицитом, функцией . При этом возникают дополнительные затраты, связанные с дефицитом на периоде пополнения, а также затраты, связанные с пополнением запаса, определяемые функцией . Выражения для задающиеся формулами (2.3),(2.4),(2.5) будут совпадать.
Функцию можно также представить в виде разности функций, где выражает доход на периоде регенерации, затраты на периоде регенерации, определяемые при условии, что управление принимает фиксированное значение.
Доход представим в следующем виде:
,
Отнимая значения полученных выражений (2.11-2.14) от (2.7-2.10) соответственно, выведем итог для представления в виде формул (2.15-2.18): регенерирующий дробный интегральный функционал
Из чего можно заключить, что равенства (2.15-2.18) и (2.2-2.5) идентичны.
Общий явный вид при условного математического ожидания периода регенерации :
Теорема доказана.
2.3 Постановка задачи оптимального управления и её решение
В предыдущем параграфе было доказано представление числителя и знаменателя основной функции целевого функционала в явном виде (2.2)(2.3)(2.4),(2.5),(2.6). Данный параграф будет посвящен теоретическому решению проблемы оптимального управления запасом в целом. С помощью данного вида функций и перейдем от поставленной задачи оптимального управления к классической задаче нахождения глобального максимума и минимума функции Напомним, что экстремальная задача формулируется следующим образом , ,
Г - множество распределений неотрицательных случайных величин на .
Для того, что бы воспользоваться теоремами П.В Шнуркова и В.А. Каштанова, предложенными в параграфе 1.2, а так же общей теоремой для решения задачи управления (теорема 1.6), необходимо проверить соответствует ли функция заданным условиям в приведенных факторах 1 и 2. В предложенной задаче:
,
То есть дробно-линейный функционал определен для ?
,
Следовательно, условия выполняются. Таким образом представленные теоремы применимы. Воспользуемся результатами, полученными П.В. Шнурковым и теоремой 1.6.
Допустим, в точке достигает некоего глобального минимума или максимума, тогда глобальный экстремум существует и достигается в этой же точке на
,
Где,вырожденное вероятностное распределение, находящееся в . Также, будет являться решением исходной проблемы управления оптимального запаса для целевого функционала (стоимостного показателя).
Следовательно, из теоремы 1.2 будет верно равенство
,
Получается, что задача сводится к виду:
Где решением, будет являться точка . Таким образом, решение исходной задачи оптимального управления существует и достигается на распределении которая устанавливает параметр управления.
2.4 Аналитически достаточные условия существования детерминированного оптимального управления
Рассмотрим и приведем доказательство леммы об утверждениях свойства непрерывности заданных функций прибыли для полученной ранее модели с учетом нового фактора.
Лемма 2.1
Допустим, что функции прибыли (x) непрерывна при ? , а функция прибыли (x) непрерывна при ? . Где(x)=(x)=0;
Также, (y) непрерывна при ?. Пусть, далее, функция непрерывна при любых
В таком случае, при выполнении вышеперечисленных условий функция математического ожидания приращения аддитивного стоимостного функционала определяемая соотношениями (2.2),(2.3),(2.4),(2.5) будет непрерывна при ? u.
Доказательство леммы 2.1
В первом случае зависимость задержки поставки от объема потребленного продукта меньше момента времени, в который был совершен заказ . Можно рассмотреть три промежутка времени для выражения функции математического ожидания и соответствующие им равенства: (2.2) для (2.3) для и (2.4) для
Рассмотрим более подробно функцию на интервале в случае (2.2). Такая функция будет являться непрерывной. Это следует из условий заданной леммы о непрерывность функций прибыли (x) и (y). Помимо этого из условий леммы следует, что подынтегральная функция первого интеграла в выражении (2.2):
, ,
тоже является непрерывной функцией. Кроме того, функция определяющая значение верхнего предела непрерывна при любых значениях u. Воспользуемся теоремой о непрерывности интеграла по переменному верхнему (нижнему) пределу [9,(467c.)]. Получаем, что функция непрерывна при ? u .
Далее, проанализируем второй промежуток времени где выражения функции математического ожидания (2.3). Как и в случае рассмотренного ранее промежутка, функция будет являться непрерывной на рассматриваемом в данный момент промежутке времени за счет практически аналогичных утверждений. Функции прибыли (x) и (y) по условиям леммы - непрерывны, а первый интеграл в данном выражении - константа:
,
Второй интеграл в данном выражении:
,
будет представлять собой непрерывную функцию по свойству упомянутому ранее [9,(467c.)].
Непрерывность функции на третьем промежутке времени доказывается аналогично предыдущему случаю.
Далее, необходимо доказать, что функция условного математического ожидание непрерывна в точке . Обозначим через точку, для которой выполняется равенство Заметим что, если - строго монотонная функция (возрастающая, положительная) то точка - единственная. Необходимо вычислить пределы вида (справа) и (слева).
Для выражения (2.2) проанализируем следующий предел
,
Для выражения (2.3):
,
,
Интеграл следующего вида будет равен нулю (в силу своего свойства)
,
Из (2.19) и (2.20) получим
,
Рассмотрим выражения (2.18) и (2.21). Заданные пределы являются конечными. Помимо этого, если аргументы функций прибыли будут равны нулю и, принимая во внимание изначальные условия леммы(x)=(x)=0, тогда выражения (2.18) и (2.21) будут одинаковыми. Тогда,
,
По утверждению из [10,(116c.)], если выполняется свойство (2.22), то функция является непрерывной в точке .
Во втором случае, рассмотрим неравенство . Тогда, будет выражаться (2.5). Непрерывность функции будет доказываться аналогично предыдущим рассмотренным случаям. В равенстве (2.5), первая составляющая имеющейся формулы, являющаяся интегралом - константа:
,
а вторая составляющая - непрерывная функция по u [9,(467c.)]:
,
Учитывая первоначальные условия леммы, можно утверждать, что оставшиеся составляющие (2.5) не заключенные под знак интеграла - также непрерывны по u. Таким образом, непрерывна при ? .
Оставим неизменными условия из вышеприведенной леммы и добавим некоторые новые факторы в неё. Сформулируем следующую теорему:
Теорема 2.2
Допустим, что функции прибыли (x) непрерывна при ? , а функция прибыли (x) непрерывна при ? . Где(x)=(x)=0;
Ф(y) непрерывна при ?. Пусть, далее, функция непрерывна при любых
Также, примем во внимание условия:
1. При ? :
,
2. Для функции затрат, характеризующей дефицит ресурса на складе объема x, в единицу времени введем неравенство
3. Для функция, характеризующей затраты, связанные с пополнением потребленного объема :
,
Тогда существует конечный предел для имеющейся основной функции:
,
и функция , выражающаяся (2.2)-(2.5), непрерывна при ? конечных значениях .
Доказательство теоремы 2.2
Для доказательства существования конечного предела основной функции необходимо вычислить
,
Рассматривая два случая соотношений параметров, таких как период задержки поставки продукта зависящий от объема потребления продукта и момент времени, в который продукция на складе заканчивается и можно заметить, что при функция выражается одинаково в случаях (2.3),(2.4),(2.5).
Для основной функции дробно - линейного функционала вычислим предел
Принимая во внимание, не зависящее от u неравенство:
,
Выражаем из (2.23):
Требуется вычислить полученное выражение. Для этого вернемся к формулировке теоремы 2.2. Обратим внимание на первую составляющую выражения (2.24). Рассмотрим условие 1:
,
Проанализируем вторую составляющую выражения (2.24):
,
Учтем пункт 2:
,
Тогда
,
Следственно, предел (2.26) существует и конечен.
Далее, учтем пункт 3:
,
С помощью вышеприведенного неравенства выразим третью составляющую (2.24):
<?
Все три составляющие (2.25), (2.28) и (2.30) правой части равенства (2.24) существуют и конечны. Следовательно, предел
,
также существует и конечен.
Теперь докажем непрерывность основной функции . Условия теоремы 2.2 включают в себя условия леммы 2.1. Из доказательства леммы 2.1 следует непрерывность функции при ? . Знаменатель основной функции, также будет являться непрерывным при ? за счет своей линейности.
Обратимся к сведениям из [9,(119c.)], где частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. Из чего можно сделать вывод, что основная функция дробно-линейного функционала является непрерывной при ? конечных значениях .
Теорема доказана.
Последняя доказываемая теорема, затрагивает вопрос о нахождении решения для проблемы детерминированного оптимального управлении запасом.
Теорема 2.3
Обратимся к предыдущей лемме 2.1 и теореме 2.2. Допустим, что условия леммы 2.1 выполняются, также допустим, что выполняются все пункты (1,2,3) теоремы 2.2. Следовательно, решение исходной проблемы оптимального управления запасом существует и достигается на детерминированном управлении . Где, - является точкой глобального экстремума (максимума) основной функции дробно - линейного функционала на множестве .
Доказательство теоремы 2.3
Обратимся к итогам теоремы 2.2. На основании приведенного доказательства данной теоремы можно сделать вывод, что существует конечный предел для функции :
,
а так же данная функция, выражающаяся (2.2)-(2.5), непрерывна при ? конечных значениях . Исходя из этого утверждения, можно сделать вывод, что на основная функция дробно-линейного функционала непрерывна. Множество является расширенным множеством действительных чисел (вещественная прямая, дополненная элементом (+)), следовательно, имеющееся множество - компакт (топологическое сведение).
На основании этого, придем к заключению, что основная функция непрерывна на , множестве, представляющем из себя компакт.
Данное утверждение позволяет воспользоваться условиями теоремы Вейерштрассе [11,(101с.)]. Из чего следует ограниченность функции на и достижении основной функции на этом множестве верхней и нижней граней, а, следовательно, и глобального экстремума. Таким образом, на вещественной прямой в точке , которая является детерминированным управлением, основная функция достигает глобального максимума.