Обратимся к научным трудам Кудрявцева Л.Д [9] и Фихтенгольца Г.М. [10], из которых приведем информацию, изложенную ниже, необходимую для аналитического изучения и теоретического доказательства леммы и двух теорем рассмотренных в параграфе 2.4. Изучению курса математического анализа посвящено немало различных сборников, однако, выбор пал именно на эти издания. В силу своих грамотно составленных, четко выделенных вопросов и понятий из математического анализа, а так же благодаря наиболее понятному уровню изложения предложенного материала.
Первое предложенное сведение посвящено свойству определенного интеграла по верхнему пределу. Дадим определение интеграла с переменным верхним пределом [9,(467с.)]:
Предположим, что имеется некая интегрируемая на интервале [a;b] функция f(x). Также существует величина x, такая, что a ? x ? b, x ? [a,b]. Тогда на интервале [a,x] функция f(x) также будет интегрируема. То есть может быть предложен следующий вид интеграла:
определена на всем промежутке [a,b]. Тогда, является определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1.1
Если на интервале [a;b] функция f(x) - интегрируемая, то на промежутке [a;b] функция, задаваемая выражением непрерывная.
Дадим определение точки сгущенияРассмотрим некое множество Х = {x}. Допустим, что существует точка а, причем различные величины x ? Х , отличны от а в каждой её окрестности. Тогда точка а будет являться точкой сгущения множества Х. Учтем, что допустимы два варианта положения данной точки относительно множества Х: a ? Х либо a ? Х.
Рассмотрим характер поведения функции f(х) заданной на области Х. Учтем, что а будет являться точкой сгущения на Х. [10,(116c.)]
Если для ? ?>0 найдется значение д> 0, где
и
Причем х ? а. Тогда, , будет являться неким пределом функции f(х). Запишем данное утверждение в следующем виде.
,
Допустим, что а - точка сгущения, как слева, так и справа на множестве Х. Рассмотрим левосторонний и правосторонний пределы функции f(x). Условие, при котором выражение 1.9 существует, будет выглядеть следующим образом:
Причем, оба предела в выражении 1.8 существуют порознь.
Далее упомянем свойство функции, являющейся непрерывной в точке, выражающееся данной теоремой. [9,(119c.)]
Теорема 1.2
Предположим, что существуют непрерывные в точке сгущения функции f(x) и g(x). Тогда функции: (случае, когда ) - также будут непрерывными в точке сгущения.
Рассмотрим сведения из теории, касающейся функционального анализа. Для этого воспользуемся результатами приведенными в [11,(98c)]. Осветим факт, получивший обширную известность, как лемма Гейне-Бореля:
Из ? покрытия интервалами на промежутке [a,b] числовой прямой, можно выделить конечное подпокрытие.
Определим понятие компактности пространства. Если из ? открытого покрытия некоего топологического пространства Т (покрытия открытыми множествами) извлекается конечное подпокрытие, то такое пространство Т будет являться компактным пространством.
Сформулируем теорему о непрерывности числовой функции на компактных пространствах. Представленная теорема является модификацией теоремы Вейерштрасса
Теорема 1.3
Допустим, f - непрерывная числовая функция на компактном пространстве T. Тогда функция f - ограничена на данном компактном пространстве и достигает на нём верхней и нижней граней [11,(101c)].
1.4 Экстремальная задача для дробно-линейного интегрального функционала
Одной из основных задач работы является проблема теоретического обоснования нахождения глобального экстремума стоимостного функционала. Это необходимо для получения ответа на вопрос о решении оптимального управления запасами. По вопросу, освещаемому в выбранной мною теме, можно найти довольно много публикаций различных научных трудов. Далее, будут использоваться сведения из исследований В.А. Каштанова - теорема 1.4 [5] и П.В. Шнуркова- теорема 1.5. [6], позднее проанализировавшим заданную сферу и дополнившим исходную теорему В.А. Каштанова. Будем учитывать информацию ранее заданную в параграфе 1.2 о виде имеющегося целевого функционала.
Учтем основные параметры, используемые в формулировках теорем изложенных ниже. Распишем более подробно их значение:
Предположим, что на пространстве задается вероятностная мера некой функцией распределения. Будем обозначать такую функцию через . Также на введем некое множество управляющих распределений неотрицательных случайных величин, обозначим их за . Множество, состоящее из вырожденных вероятностных распределений, обозначим за . Исходя из смысла заданных параметров, отметим, что .
Теперь можно перейти к формулировкам упомянутых выше теорем:
Теорема 1.4
Пусть ограниченная функция и при , тогда, если существует максимум функционала (1.2) по множеству функций распределения, то он достигается на некоторой вырожденной функции распределения
,
Перейдем к следующей теореме. Вид целевого функционала, так же как и ранее, будет задаваться формулой:
,
Теорема П.В. Шнуркова формулируется следующим образом:
Теорема 1.5
Пусть задан дробно-линейный интегральный функционал , для которого функция удовлетворяет одному из условий: либо , либо . Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Если функция ограничена сверху или снизу и достигает глобального экстремума на множестве (максимума или минимума), то соответствующий экстремум дробно-линейного функционала на множестве существует и достигается на вырожденной вероятностной мере, сосредоточенной в точке, в которой функция достигает соответствующего экстремума, причем выполняются соотношения:
,
,
2. Если функция ограничена (сверху или снизу), но не достигает глобального экстремума на множестве , то дробно-линейный функционал также ограничен (сверху или снизу) и выполняются соотношения:
,
,
3. Если функция не ограничена (сверху или снизу), то функционал также не ограничен сверху или снизу и выполняются соотношения:
,
,
Отметим, что утверждения приведенные выше выполняются как по отдельности для одного из видов экстремума, так и совместно для обоих видов экстремума.
Что бы выразить решение следующей экстремальной задачи:
,
,
в виде итоговой теоремы 1.6, зададим обозначение для основной функции , числитель которой будет являться условным математическим ожиданием приращения целевого функционала, а знаменатель - условным математическим ожиданием длительности периода регенерации:
,
Учтем, факторы:
1)
2)
Итак, определим общий вывод в виде теоремы 1.3:
Теорема 1.6
Решение экстремальной задачи управления запасом существует и достигается в точке на
При условии, что в этой точке достигается глобальный максимум (экстремум) функци дробно-линейного функционала.
Глава 2. Анализ проблемы оптимального управления запасом непрерывного продукта
2.1 Математическая модель системы в форме управляемого регенерирующего процесса
Задаваемая модель максимально приближенна к реальной ситуации оборота сырья различных предприятий. Имеется некое основное хранилище, содержащее одинаковые или различные виды сырья. Его объем будем принимать за фиксированную величину, принадлежащую множеству действительных неотрицательных чисел Изначально, в момент времени, объем продукта на складе будет равен . Примем за объем, в различные моменты времени , содержащийся в основном хранилище. Величина непрерывна.
В описываемой регенерирующей системе, цикличность заключается в процессе неоднократного потреблении и пополнении запаса со склада. В начальный момент времени, уровень является максимальным, то есть принимается за . Начиная с этого момента, происходит период потребления с определенной скоростью, обозначим её за Продолжительность периода потребления заканчивается на моменте, когда делается заказ на поставку новой партии закончившегося сырья. Далее, восполнение запаса на склад может происходить с некой задержкой. Обозначим период задержки поставки продукции величиной . Заметим, что объем ресурса может быть равен отрицательной величине. Это будет означать, что продукт потребляется с запасного хранилища с той же скоростью, а в основном хранилище - запас равен нулю. То есть в приведенной модели существует, так называемый, дефицит ресурса на складе. Определим момент окончания продукции на складе, как объем деленный на скорость потребления .
Как говорилась ранее, одна из основных задач исследования - заключается в нахождении времени до момента заказа на новую партию. Для решения задачи оптимального управления необходимо вести величину обозначающую параметр управления . Зафиксируем данную величину и присвоим ей значение . Отметим, что функция распределение доставляющая глобальный максимум или минимум функционала и будет задаваться выражением .
После того как период задержки прошел, начинается процесс пополнения, принимаемый за величину. Параметр л, где л>0 обозначим скоростью пополнения сырья на склад и будем считать его неизменным. Таким образом, совершается пополнения объема до первоначального состояния . Затем, снова наступает период потребления и процесс повторяется.
Опишем более подробно определенные моменты времени, в которые происходят ключевые изменения состояний анализируемой системы. Так как модель носить циклический характер, обозначим за моменты регенерации параметры . Параметр - какая-либо различная величина времени, длящаяся от начала момента регенерации до момента запроса на пополнения склада.
Итак, выведем выражения для основных моментов:
Момент следующего другого заказа
Момент пополнения сырья:
Завершение пополнения или следующий момент регенерации:
,
Наглядно, регенерирующий процесс описываемой модели можно изобразить в виде графика:
Где,
x(t)= х(, ,
x(t)=, ,
u - фиксированный произвольный период времени до наступления момента заказа.
б - скорость потребления продукта от начального момента регенерации до момента поступление следующей поставки.
л - скорость пополнения на склад продукции от момента поступления продукции на хранилище до момента достижения объема .
- период задержки.
- период пополнения.
ф- лu=x - произвольный объем заказа ресурса.
Когда речь заходит об оптовиках и дистрибьюторах товаров длительного пользования, контроль уровня запасов может быть определен как процесс, заключающийся в грамотном поддержании компанией используемых запасов. Целью управления запасами является получение максимальной прибыли от наименьшего объема инвестиций в запасы без снижения удовлетворенности клиентов от обслуживания. Принцип, с которым осуществляется такой подход, состоит в правильном подборе параметра .
В предложенной экономико-математической системе предусмотрено описание некоторых видов функций расходов, которые необходимо предусмотреть в течение всего времени функционирования регенерирующего процесса. В дальнейшем, реализуем их для выражения основных функция стоимостного функционала в явном виде.
1) Функция, задающая расходы, относящиеся к хранению имеющегося запаса:
.
Где, при объеме, принимающем отрицательное значение функция будет приравниваться к нулю
1) Функция, задающая расходы, относящиеся к периоду убытка продукции в хранилище (период дефицита):
При объеме, являющемся положительной величиной функция .
2) Функция, относящаяся к издержкам доставки заказа для пополнения ресурса до изначального объема:
,
Где - израсходованный объем в один из циклов потребления.
Совокупность всех вышеперечисленных затрат при определенном зафиксированном задается следующим образом:
,
Далее, рассмотрим функции, характеризующие цену:
1) Функция, выражающая стоимость продукта, который находится в достатке на основном хранилище.
(x),,
Заметим, что при ;
2) Функция, выражающая стоимость сырья находящегося в нехватке на основном хранилище.
(x),
Учтем, что для ;
2.2 Утверждение о представлении стационарного стоимостного показателя эффективности управления с нововведенным фактором
Этот параграф будет посвящен утверждению в виде теоремы 2.1, которое представляет собой новый стохастический регенерирующий процесс с нововведенным условием зависимости, а так же доказательству данного утверждения. Введем в модель зависимость детерминированной длительности задержки поставки от объема потребления продукта . Сделаем предварительно следующее замечание, связанное с особенностями рассматриваемой математической модели: