Курсовая работа (т): Анализ и построение имитационной модели заданного временного ряда

(15)

(16)

3.      Третий этап заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F- критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

(17)

С табличным (критическим) значением критерия Фишера  с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) α.

4.      На четвертом этапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

(18)

где σ - среднеквадратичное отклонение разности средних:

(19).

Метод Фостера-Стъюарта.

Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда, он позволяет установить наличие тренда временного ряда: если тренда дисперсии нет, то рос уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т. д.

Реализация метода также содержит четыре этапа.

1.      На первом этапе производится сравнение каждого исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности.

.        На втором этапе вычисляются величины s и d:

(22)

(23)

Третий этап заключается в проверке гипотез:

o   можно ли считать случайными отклонение величины s от величины μ математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,

o   можно ли считать случайными отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

(24)

(25)

(26)

(27)

где μ - математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

σ₁ - среднеквадратическое отклонение для величины s;

σ₂ - среднеквадратическое отклонение для величины d для удобства имеются табулированные значения величин μ, σ₁, σ₂.

3.      На четвертом этапе расчетные значения сравниваются t_s и t_d с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости t_α. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть.

.5 Автокорреляция и временной лаг

При наличии во временном ряду тенденции и циклических изменений значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью индекса корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда (АКФ).

График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограмой.

АКФ и коррелограмма позволяют определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. с их помощью можно выявить структуру ряда.

Коэффициент автокорреляции и АКФ целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической компоненты:

o   если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию;

o   если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции к-го порядка, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в к-моментов времени;

o   если, ни один из коэффициентов не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений, относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических изменений, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

При моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки ε_t содержат тенденцию или циклические колебания, когда в соответствии с предпосылками МНК остатки ε_t должны быть случайными.

В том случае, когда каждое следующее значение ε_t зависит от ε_t-1, говорят о наличии автокорреляции остатков. Причинами автокорреляции могут быть разными:

o   исходные данные с ошибками в измерениях результативного признака;

o   формулировка модели (модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат). Очень часто этим фактором является фактор времени t).

Если причина автокорреляции - в неправильной спецификации функциональной формы модели, то следует изменить форму связи факторных и результативных признаков.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

) путем построения графика зависимости остатков ε_t от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции;

) использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

линейный тренд: (28)

гипербола: (29)

 (30)

Полиномиальный тренд:

 - полином 2-й степени(31)

 - полином 3-й степени(32)

1.6 Сезонная волна

Под сезонными колебаниями понимают регулярные периодические наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, грузооборота и товарооборота, и т. д., связанных со сменой времени года.

Под сезонностью понимают ограниченность годового периода работ под влиянием природного фактора.

Задачи возникающие при исследовании сезонных рядов:

. Определение наличия в сезонном ряду тренда и определение его гладкости.

. Выявление во временном ряду сезонных колебаний.

. Фильтрация компонент данных.

. Анализ динамики сезонной волны.

. Исследование факторов, определяющих сезонные колебания.

. Прогнозирование тренд-сезонных процессов.

В настоящее время развиваются 3 основных направления фильтрации компонент временного ряда:

o   регрессионные

o   спектральные

o   итерационные

Итерационные методы фильтрации

Итерационные методы фильтрации появились в свое время как результат невозможности выделения компонент ряда другими методами. Основная идея итерационных процедур заключается в многократном применение скользящей средней и одновременной оценке сезонной компоненты в каждом цикле.

Итерационные методы отличаются простотой и чистотой фильтрации компоненты. Применение скользящей средней приводит к потери части информации на концах временного ряда. Будем рассматривать два итерационных метода: Четвертикова и Шискина-Эйзенпреса.

Метод Четвертикова

Эмпирический ряд {y_t} выравнивается скользящей средней

(33)

с периодом скольжения Т₀, т.е. берется Т₀₊₁ членов исходного ряда из которых 1-й и последний берутся с половинным весом.

Выпадающие  членов с обоих концов либо восстанавливаются экстраполированным выровненного ряда, либо остаются в стороне при следующих стадиях работы.

Получается предварительная оценка тренда  и отклонение эмпирического ряда от выровненного

(34)

t=1,…,T

(i=1,…,m; j=1,…,T₀)

Для каждого i вычисляется  - среднее квадратичное отклонение. На которые и делятся затем отдельные месячные отклонения соответствующего года.

(35)

(36)

Из нормированных / путем отклонений вычисляется предварительная средняя сезонная волна.

(37)

Средняя предварительная сезонная волна умножается на средневероятное отклонение каждого года и вычисляется из эмпирического ряда.

(38)

Получающийся таким образом ряд вновь сглаживается скользящей средней. В результате получается новый ряд .

Отклонение эмпирического ряда  от ряда вновь подвергается аналогичной обработке для выявления окончательной средней сезонной волны. Исключение окончательной сезонной волны производиться после умножения сезонной волны на  - коэффициент направленности сезонной волны.

(39)

где  - выровненное значение ряда, а  - случайная компонента.

(40)

Метод Шискина-Эйзенпреса

Данный метод кроме скользящей средней (33) во втором и последующих этапах итерационной процедуры применяет более сложный 15-ти и 20-ти точечные скольжения Спенсера.

Исходный ряд y_t выравнивается по формуле (33), делается это так же как и в методе Четвертикова, с той целью, что бы не находить компоненту V_t.

Рассчитывается остаточное значение:

 или (41)

Выписывается среднее значение остаточного ряда в целом по ряду L и по месяцам:

(42)

Находится предварительная оценка средней сезонной волны:

(43)

Строиться новый ряд относительно свободных относительно свободных от сезонной компоненты:

(44)

К ряду  применяется скользящая средняя Спенсера:

(45)

Находится улучшенная оценка сезонной компоненты:

(46)

1.7 Аналитическая волна с использованием ряда Фурье

Французский математик Фурье разработал механизм преобразования периодических функций в ряд тригонометрический уравнений, называемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих синусоидальную форму. Исходным рядом для преобразования Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколько лет, а уже усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные колебания. В качестве аналитической формы выравнивания во времени применить ряд Фурье.

(47)

k - номер гармоники

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4). Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов:

(48)

Получим формулы для вычисления параметров:

(49)

Параметры уравнения зависят от соs kt_i и sin kt_i.

Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять n=12 (по числу месяцев в году).

1.8 Оценка адекватности и точности трендовых моделей

Трендовая модель считается адекватной описываемому процессу, если значения случайной остаточной компоненты ε_t являются случайными центрированными некоррелированными нормально распределёнными величинами. Проверка адекватности модели состоит в проверке указанных свойств ряда остатков модели.

Проверка случайности остатков модели осуществляется с помощью критериев исследования временного ряда на предмет наличия в нём трендовой компоненты:

.        критерий, основанный на сравнении средних уровней временного ряда;

.        критерий «восходящих и нисходящих» серий;

.        критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности.

В этом случае вместо исходных уровней временного ряда y₁,y₂,…,y_t используются элементы остаточного ряда e₁,e₂,…,e_t.

Также проверка случайности остатков модели может осуществляться с помощью критерия поворотных точек.

При использовании критерия поворотных точек остаток модели e_t сравнивается с двумя соседними элементами ряда. Если он окажется меньше или больше их, то данная точка является поворотной. В конце сравнений подсчитывается количество m всех поворотных точек. Ряд остатков модели считается случайным, если выполняется условие:

(50)

где N - объём выборочной совокупности.

Проверка центрированности остатков временного ряда осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента.

Основная гипотеза формулируется как утверждение о центрированности ряда остатков. Критическое значение t-критерия t_крит (α/2, N-1) определяется для уровня значимости α/2 и числа степеней свободы (N-1) по таблице распределения Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия рассчитывается по формуле:

(51)

где е - среднее арифметическое значение ряда остатков:

(52)

(e) - среднеквадратическое отклонение ряда остатков:

(53)

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.