Материал: Анализ и расчет электротехнических устройств с использованием линий с распределенными параметрами (96
Следует построить графики этих зависимостей (рис. 5).
Рис. 5. Частотные зависимости амплитуды и фазы волнового сопротивления:
а– амплитудная характеристика волнового сопротивления;
б– фазовая характеристика волнового сопротивления
3.ОПИСАНИЕ ВХОДНОГО СИГНАЛА
3.1. Импульсный сигнал
Сигнал называется импульсным, если он отличен от нуля на конечном интервале времени. На вход линии подается простейший импульсный сигнал – одиночный прямоугольный импульс (рис. 6). Аналитически он описывается так:
e(t) = Em [1(t) −1(t −τ)] , |
(6) |
11
где 1(t) – единичная функция. Для ее описания использована
функция |
единичного включения (функция Хевисайда): 1(t) = |
|
1, если t ≥ 0 |
. |
|
= |
|
|
0, если t < 0 |
|
|
Рис. 6. Одиночный импульсный сигнал
Спектральную плотность сигнала (6) определяют по формуле
F(ω) = ∞∫e(t)exp(− jωt)dt =Em ∫τ exp(− jωt)dt . |
(7) |
|
0 |
0 |
|
Интеграл (7) может быть вычислен, поэтому спектральную плотность считают заданной в аналитическом виде.
3.2. Периодический сигнал
Другим типом входного сигнала является периодическая последовательность одиночных прямоугольных импульсов, описанных в разд. 3.1. Периодический сигнал (рис. 7) может быть представлен
k =∞
следующим образом: eT (t) = ∑e0 (t −kT ). Его спектральное пред-
k =−∞
ставление (дискретный комплексный спектр) есть последователь-
ность спектральных компонент {As }s=0,±1,±2... . Они |
являются коэф- |
||||
фициентами ряда Фурье для периодического сигнала |
|||||
s=∞ |
|
2π |
|
|
|
eT (t) = ∑ As exp( jωst), |
ωs = k |
= k2πf . |
(8) |
||
|
|||||
s=−∞ |
|
T |
|
||
12
0
Рис. 7. Периодический импульсный сигнал
Спектральные компоненты ряда (8) вычисляют по известным формулам
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
A = |
|
|
∫T |
e |
(t)exp(− jω |
t)dt = |
|
E(ω |
). |
(9) |
||
|
|
|
||||||||||
s |
T |
|
T |
s |
|
T |
s |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как сигнал представлен четной функцией времени, спектральные компоненты (9) вещественны.
Спектральные компоненты { As }s=0, ±1, ±2... могут быть вычислены
при известной спектральной плотности и поэтому считаются известными в аналитическом виде.
4. ПОЛОСКОВАЯ ЛИНИЯ КАК ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Любая длинная линия представляет собой четырехполюсник: к входной паре полюсов подключается источник напряжения (в общем случае – любой активный двухполюсник), а к выходной паре полюсов подключена нагрузка.
Предполагая, что входной сигнал гармонический, для четырехполюсника вводят понятие коэффициента передачи по напряже-
i
нию Ku = Ui 2 как отношение комплексной амплитуды на выходе к
U1
комплексной амплитуде на входе. В случае согласованной нагрузки коэффициент передачи называют характеристическим передаточным коэффициентом H. Для любого четырехполюсника он
равен K (ω) = e−γl , где γ – характеристический коэффициент передачи, l – длина линии. В частном случае согласованной по нагруз-
13
|
|
i |
ке длинной линии комплексная амплитуда на выходе U зависит от |
||
i |
i |
i |
комплексной амплитуды на входе E : |
U = e−γl E. Следовательно, |
|
для согласованной длинной линии характеристический передаточный коэффициент носит название передаточной функции длинной
линии: K (ω) = e−α(ω)l e− jβ(ω)l . Коэффициенты ослабления и фазы
можно рассчитать только численно с использованием компьютера, поэтому и передаточная функция должна быть включена в общий алгоритм вычислений.
5. ОПИСАНИЕ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА
5.1. При импульсном входном сигнале
Выходной сигнал любого четырехполюсника определяется как непрерывная суперпозиция гармоник c помощью прямого преобразования Фурье
u(t) = |
1 |
∞∫ K (ω)F(ω)exp( jωt)dω. |
(10) |
|
|||
|
2π−∞ |
|
|
Амплитуды гармоник определяются спектральной плотностью выходного сигнала (10). Эта плотность естественным образом представляет собой спектральную плотность входного сигнала, умноженную на передаточный коэффициент четырехполюсника:
F(ω)вых = K (ω)Fвх (ω).
Наибольший интерес представляет не реальный выходной сигнал, а его отклонение от идеального (ожидаемого) выходного сигнала, т. е. от сигнала e0 (t). Это отклонение позволяет оценить
качество передачи через длинную линию. Значение отклонения определяют по формуле
δu(t −l / v) =u(t) −e0 (t −l / v) =ua (t −l / v) −e0 (t −l / v), |
(11) |
||
где |
|
||
ua (t) = |
1 |
∞∫Ka (ω)F(ω)cos(ωt)dω, Ka (ω) = e−α(ω)l . |
(12) |
π |
|||
0 |
|
||
14
В формулах (11) и (12) учтено, что в реальной линии β(ω)l = ωl / v. Это условие называется отсутствием фазовой дис-
персии (фазовая скорость не зависит от частоты).
Аналитический расчет целесообразно провести и во временной области с использованием преобразования Лапласа. Передаточная
характеристика цепи имеет вид K( jω) = e−γl . При малых значениях γ = α+ jβ характеристику можно представить в виде
e−γl = |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
||
1 |
+αl |
+ jωβотнl |
|
||||||||
тогда |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
K (s) = |
|
|
, |
|
(13) |
||||||
1 +αl + sβl |
|
||||||||||
а изображение выходного сигнала |
|
|
|
|
|
||||||
U (s) = |
|
|
|
1 |
|
(1 |
−e−sτ ). |
(14) |
|||
s(1 +αl + sβотн ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
При расчетах следует сравнить результаты, полученные с помощью преобразования Фурье (10) и Лапласа (14).
5.2. При периодическом входном сигнале
Если входной сигнал периодический, то периодическим (с тем же периодом) является и выходной сигнал. Следовательно, его можно представить в виде суммы гармоник кратных частот (в виде ряда Фурье)
s=∞ |
|
uT (t) = ∑Bs exp( jωst). |
(15) |
s=−∞
Каждая гармоника входного сигнала (15) распространяется через длинную линию независимо от других гармоник, и ее амплитуда умножается на коэффициент передачи линии на частоте данной гармоники:
Bs = K (ωs ) As .
Зная выражения для As и K (ωs ) = Ka (ωs )e− jωs L
v (при отсутствии фазовой дисперсии), получим
15