Материал: Аналоговая и цифровая фильтрация сигналов (110

Целью настоящей лабораторной работы является изучение методов синтеза линейных цифровых фильтров на примере ФНЧ различных порядков.

Работа выполняется на ЭВМ с использованием программной среды

Maxima.

Задания на выполнение лабораторной работы № 3

Задание 1

Осуществить сравнение АЧХ фильтра Баттерворта первого порядка (табл. 1) и фильтра, выбираемого из табл. 1–3 в соответствии с номером вашего варианта:

Таблица 4

t = 2π/ ωd . Однако учтем, что при использовании табл. 1–3 текущая частота ω нормирована на частоту среза ωc . Следовательно, при расчетах полагаем, что частота среза равна 1 [рад/с], частота дискретизации равна 10 [рад/с], а шаг дискретизации T = t ωc .

Указания к выполнению задания 1. Передаточные функции (операторные коэффициенты передачи) анализируемых фильтров взять из табл. 1–3. Частотные коэффициенты передачи получаются из этих операторных коэф-

фициентов передачи, если в последних положить p = jω, где j = −1 . Вывести на экран графики модулей этих частотных коэффициентов передачи (АЧХ). Сделать выводы относительно поведения этих кривых с ростом порядка фильтра.

36

Задание 2

В соответствии с методом инвариантных импульсных характеристик синтезировать трансверсальные цифровые фильтры, используя в качестве аналоговых фильтров прототипов рассмотренные ранее два ФНЧ (один – фильтр Баттерворта первого порядка, второй – выбирается из табл. 4 в соответствии с номером вашего варианта). Зарисовать и сравнить АЧХ синтезированных фильтров и исходных аналоговых фильтров.

Указания к выполнению задания 2. Вначале необходимо найти им-

пульсные характеристики аналоговых фильтров прототипов. Для этого следует вычислить обратное преобразование Лапласа от операторных коэффициентов передачи ваших фильтров. Вычисление обратного преобразования Лапласа целесообразно выполнить с использованием формулы обращения. Действительно, для всех рассматриваемых фильтров операторный коэффициент передачи представляется в виде отношения двух многочленов по степеням комплексной частоты K( p) = N ( p) / D( p) , причем степень числителя не превосходит степени знаменателя и все корни знаменателя – простые. Тогда в соответствии с формулой обращения обратное преобразование Ла-

где pi − корни знаменателя, а штрих в знаменателе означает дифференци-

рование по p. Корни полинома в знаменателе найти самостоятельно. Зарисовать вид полученных импульсных характеристик рассматриваемых аналоговых фильтров прототипов. Порядок трансверсального фильтра вначале выбрать M = 3. Далее найти системные функции и частотные коэффициенты передачи соответствующих трансверсальных фильтров, используя формулы

m=0

При построении АЧХ трансверсальных цифровых фильтров учесть, что эти функции являются периодическими с периодом 2π/ T . Поэтому на экран компьютера выводить только один период этой функции. Для сравнения строить АЧХ синтезированных цифровых фильтров и аналоговых фильтров прототипов на одном рисунке. Далее, изменяя последовательно порядок фильтра, т.е. увеличивая параметр М, проанализировать те изменения, которые происходят в форме АЧХ синтезируемых ЦФ.

Задание 3

В соответствии с методом инвариантных импульсных характеристик синтезировать рекурсивные цифровые фильтры первого порядка, используя в качестве аналоговых фильтров прототипов рассмотренные ранее два

37

ФНЧ (один – фильтр Баттерворта первого порядка, второй – выбирается из табл. 4 в соответствии с номером вашего варианта). Зарисовать и сравнить АЧХ синтезированных фильтров, исходных аналоговых фильтров и трансверсальных фильтров.

Указания к выполнению задания 3. Учтем, что системная функция рекурсивного фильтра первого порядка в соответствии с (6) имеет вид

зом. Учтем, что системная функция рекурсивного фильтра удовлетворяет

Подставляя в последнее выражение системную функцию (8) и вычисляя интеграл, получаем (получить самостоятельно)

h(k T ) = a0δk 0 +(a1 +a0b1)b1k −1.

Здесь δkn − символ Кронекера. Полагая в последнем выражении k = 0,

1 и 2 соответственно, получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными a0 ,a1 и b1 . Решая эту систему (решить самостоятельно), получаем

Таким образом, системная функция ЦФ найдена. Частотный коэффициент передачи рекурсивного фильтра находим из системной функции аналогично (2), (7). Выводим на экран компьютера на один график АЧХ двух синтезированных рекурсивных фильтров, двух аналоговых фильтров прототипов и двух синтезированных ранее трансверсальных фильтров. Сделать выводы о характере поведения указанных характеристик.

Задание 4

В соответствии с методом инвариантных частотных характеристик

синтезировать цифровые фильтры, используя в качестве аналоговых фильтров прототипов рассмотренные ранее два ФНЧ (один – фильтр Баттерворта первого порядка, второй – выбирается из табл.4 в соответствии с номером вашего варианта). Зарисовать и сравнить АЧХ синтезированных фильтров, исходных аналоговых фильтров и трансверсальных фильтров.

Указания к выполнению задания 4. Учтем, что в соответствии с ме-

тодом инвариантных частотных характеристик в функции K(p) аналоговой

цепи необходимо выполнить замену переменной по формуле p = 2 z −1 .

T z +1

38

тотный коэффициент передачи такого ЦФ получим из системной функции, как и ранее, из формул (2), (7). Выводим на экран компьютера на один график АЧХ двух синтезированных фильтров, двух аналоговых фильтров прототипов, двух синтезированных ранее трансверсальных фильтров и двух рекурсивных фильтров. Сделать выводы о характере поведения указанных характеристик.

ЛИТЕРАТУРА

1.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М. : Высшая школа, 2000. – 462 с.

2.Нефедов В.И. Основы радиоэлектроники и связи / В.И. Нефедов. – М. : Высшая школа, 2002. – 510 с.

3.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы / И.С. Гоноровский, М.П. Демин. – М. : Радио и связь, 1994. – 588 с.

4.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач / С.И. Баскаков. – М. : Высшая школа, 1987. – 208 с.

5. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. – М. : Техносфера, 2006. – 856 с.

6.Хемминг Р.В. Цифровые фильтры / Р.В. Хемминг. – М. : Сов. ра-

дио, 1980. – 380 с.

7.Рабинер Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд. – М. : Мир, 1978. – 848 с.

39

40