Материал: Аналоговая и цифровая фильтрация сигналов (110
Из этого рисунка также следует, что восстанавливаемый сигнал совпадает с исходным аналоговым сигналом, только если фильтр обладает идеальной прямоугольной частотной характеристикой. В противном случае (см. пунктир) восстанавливаемый сигнал имеет существенные отличия от исходного.
Рассмотрим теперь случай, когда интервал дискретизации t1 аналогового сигнала s(t ) в 1.5 раза больше максимального значения интервала дискретизации, определяемого теоремой Котельникова, т.е.
Dt1:1.5*Dt$ Wdis1:2*%pi/Dt1$
Найдем вначале спектр дискретного сигнала при выбранном интервале дискретизации. Для этого набираем:
SFdis1(w):=(1/Dt1)*sum(SF(w-kk*Wdis1),kk,-2,2)$ SFDis10:SFdis1(0)$ SFDis1(w):=SFdis1(w)/SFDis10$ SFD1:map(SFDis1,wN3),numer$
В результате нормированные на свои максимумы амплитудночастотные спектры (АЧС) дискретного сигнала и исходного аналогового сигнала s(t ) примут вид
wxplot2d([[discrete,wN3,SF3],[discrete,wN3,SFD1], KF1(w)],[w,-1500,1500]);
Здесь сплошной линией изображен нормированный АЧС исходного аналогового сигнала; пунктиром − нормированный АЧС дискретного сигнала при t1 =1.5 t и, наконец, линией с точками – АЧХ идеального ФНЧ. Убеждаемся в некотором отличии спектра SFdis1(ω) в полосе про-
31
пускания ФНЧ −Ωm ≤ ω≤ Ωm от спектра SF (ω) исходного аналогового сигнала s(t ). Объяснить причину несовпадения спектров.
Определим теперь форму сигнала на выходе идеального ФНЧ, если на
вход этого фильтра подавать дискретный сигнал со спектром |
SFdis1(ω) , |
т.е. сигнал, полученный в результате дискретизации с шагом |
t1 =1.5 t . |
Для этого вначале вычислим спектральную плотность такого сигнала, а затем вычислим преобразование Фурье, используя формулу дискретного преобразования Фурье. В результате имеем
SF_3(w):=SFDis1(w)*KF1(w)$
SF_3d:map(SF_3,wN3),numer$ asw3:makelist(realpart(sum(SF_3d[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$ wxplot2d([[discrete,tK,ass], [discrete,tK,asw3]]);
На этом рисунке сплошной линией изображен нормированный на максимум восстановленный сигнал, а штриховой линией – исходный аналоговый сигнал. Очевидно, имеются существенные отличия в форме этих сигналов, что подтверждает вышесказанное, а именно то, что невозможно точно восстановить аналоговый сигнал s(t ) по дискретному сигналу sdis (t ),
если интервал дискретизации t сигнала s(t ) превосходит максимально
возможное значение, устанавливаемое теоремой Котельникова
( t > π / ωm ).
Однако из сравнения спектров исходного аналогового сигнала и дискретного сигнала с шагом дискретизации t1 =1.5 t следует, что эти спектры практически совпадают на интервале −Ωm / 2 ≤ ω≤ Ωm / 2 . Сле-
довательно, можно предложить следующий подход к восстановлению ана-
32
логового сигнала. Подадим такой дискретный сигнал на идеальный ФНЧ с частотой среза Ωm / 2 . В результате получим, конечно, не абсолютно точно
восстановленный сигнал. Однако его отличие от исходного аналогового сигнала будет уже не столь значительным, чем в предыдущем случае. Действительно, имеем
KF4(w):=(h(w+Wm/2)-h(w-Wm/2))$ SF_4(w):=SFDis1(w)*KF4(w)$ SF_4d:map(SF_4,wN3),numer$ asw4:makelist(realpart(sum(SF_4d[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$ wxplot2d([[discrete,tK,ass],[discrete,tK,asw4]]);
Сравнивая сплошные линии на двух последних рисунках, убеждаемся в том, что рассматриваемый подход к восстановлению сигнала более целесообразен.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 Принципы цифровой фильтрации
Одной из основных задач цифровой обработки сигналов является их фильтрация, при которой осуществляется селекция требуемых полезных составляющих сигнала и подавление других мешающих его компонентов и шумов. Подобные операции над сигналами выполняют цифровые фильтры (ЦФ). Цифровым фильтром называют цифровое вычислительное устройст-
во, преобразующее последовательность числовых отсчетов {s(m |
t)} ={sm } |
входного сигнала в последовательность числовых отсчетов {y(m |
t)} ={ym } |
33
выходного сигнала (здесь t − интервал дискретизации). Если через X (z) и Y (z) обозначить z-преобразования входных и выходных сигналов, то сис-
темной функцией ЦФ называется функция |
|
H (z) =Y (z) / X (z) . |
(1) |
Частотный коэффициент передачи ЦФ может быть выражен через |
|
системную функцию как |
|
K( jω) = H (exp( jωΔt)). |
(2) |
Цифровые фильтры делятся на два больших класса: нерекурсивные и рекурсивные. В нерекурсивных (или трансверсальных) ЦФ отклик зависит только от значений входной последовательности. Такие фильтры обрабатывают входной дискретный сигнал в соответствии с алгоритмом
M |
|
ym = ∑ak sm −k , |
(3) |
k =0 |
|
где ak − «весовые» коэффициенты, M − порядок фильтра, т.е. максималь-
ное число запоминаемых чисел. Для трансверсального фильтра системная функция в соответствии с (1), (3) имеет вид
H |
|
(z) = |
M |
M |
(4) |
T |
∑a zM −k |
zM = ∑a z −k . |
|||
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
k =0 |
k =0 |
|
Рекурсивные ЦФ отличаются от нерекурсивных тем, что для формирования m-го выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигналов:
M |
n |
|
ym = ∑ak sm −k + ∑bk ym −k . |
(5) |
|
k =0 |
k =1 |
|
Здесь коэффициенты a0...aM характеризуют нерекурсивную часть, а коэффициенты b1...bn − рекурсивную часть алгоритма цифровой фильтрации. Из (1), (5) получаем выражения для системной функции рекурсивного ЦФ:
H |
|
M |
|
|
n |
|
|
(6) |
|
(z) = ∑a z −k |
1 |
− ∑b z −k . |
|||||
|
P |
k =0 |
k |
|
k =1 |
k |
|
|
Важное практическое значение имеют методы синтеза ЦФ, обеспечивающие заранее заданные свойства, например требуемый вид импульсной или частотной характеристик. Наиболее часто задача синтеза понимается в том смысле, что требуется создать ЦФ, эквивалентный данному аналоговому прототипу. При этом выходные отсчеты ЦФ с гарантированной точностью должны совпадать с дискретными значениями выходного сигнала гипотетического аналогового фильтра-прототипа. Наиболее простыми методами синтеза являются метод инвариантных импульсных характеристик и метод инвариантных частотных характеристик, которые и будут рассмотрены далее в лабораторной работе.
34
В качестве аналоговых фильтров прототипов будут рассмотрены фильтры нижних частот (ФНЧ) различного порядка. А именно, будут рассматриваться два наиболее известных типа передаточных функций таких фильтров – Баттерворта и Чебышева. В дальнейшем предполагается, что все характеристики таких фильтров являются нормированными, т.е. их коэффициент передачи в полосе пропускания равен 1 (0 dB), а частота среза – 1 рад/с. Фильтры Баттерворта (с максимально плоской характеристикой) отличаются наибольшей равномерностью АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. У АЧХ полностью отсутствуют пульсации (максимумы и минимумы). Однако в результате ухудшается линейность фазовой характеристики. Фильтр Чебышева (фильтр равных пульсаций) характеризуется крутым спадом АЧХ и немонотонностью коэффициента передачи в полосе пропускания. Такие фильтры также обладают нелинейной фазовой характеристикой. Ниже в табл. 1–3 приведены передаточные функции фильтров Баттерворта и Чебышева до пятого порядка включительно. Передаточные функции этих фильтров представлены в виде K( p) = N ( p) / D( p) , где полиномы N ( p) и D( p) определены в соответствующих таблицах.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
Фильтры Баттерворта |
||
Порядок n |
N ( p) |
|
D( p) |
|
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
p + 1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
p2 +1.41421p +1 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
( p +1)( p2 + p +1) |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
( p2 +1.84776 p +1)( p2 +0.76537 p +1) |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
( p +1)( p2 +1.61803p +1)( p2 +0.61803p +1) |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
Фильтры Чебышева – 1, пульсации в полосе пропускания 1 dB |
|||||||
Порядок n |
|
N ( p) |
|
|
|
D( p) |
|
1 |
|
1.965 |
|
|
|
p +1.965 |
|
2 |
|
0.983 |
|
|
|
p2 +1.098 p +1.103 |
|
3 |
|
0.491 |
|
|
|
( p +0.494)( p2 +0.494 p +0.994) |
|
4 |
|
0.246 |
|
|
|
( p2 +0.674 p +0.279)( p2 +0.279 p +0.987) |
|
5 |
|
0.123 |
|
( p +0.289)( p2 +0.468 p +0.429)( p2 +0.179 p +0.988) |
|
||
Таблица 3
Фильтры Чебышева – 2, пульсации в полосе пропускания 0.5 dB
35