Материал: Аналоговая и цифровая фильтрация сигналов (110

Используя последний график, предложить процедуру расчета максимальной частоты Ωm в спектре сигнала s(t ). Показать, что это зна-

чение совпадает с ранее найденным.

Представим аналоговый сигнал s(t ) рядом Котельникова. С этой целью набираем:

sink(t):=(if abs(t)<0.0001 then 1 else sin(t)/t)$ SK(t1):=sum(s(k2*Dt)*sink(Wm*(t1-k2*Dt)), k2,vmin,vmax)$

SKK:map(SK,tK),numer$

Выведем на одном рисунке графические зависимости аналогового сигнала s(t ) и его представление sK(t) рядом Котельникова:

wxplot2d([SK(t1),[discrete,tK,sK]],[t1,-T2,T2]);

26

Убеждаемся в совпадении полученных графических зависимостей s(t ) и sK(t) и, следовательно, в возможности представления сигнала в произвольный момент времени рядом Котельникова.

Примервыполнениязадания 2

Обозначим SF (ω) − спектр аналогового сигнала s(t ); SFdis(ω) − спектр дискретного сигнала sdis (t ). Ограничимся представлением на графике слагаемых суммы из (4) при k = 0, ±1, ± 2 . Учтем, что частота дискретизации Ωdis связана с интервалом дискретизации соотношением Ωdis = 2π/ t . Тогда для вывода на экран графических зависимостей модулей этих спектров от частоты набираем:

Wdis:2*%pi/Dt$ SFdis(w):=(1/Dt)*sum(SF(w-kk*Wdis),kk,-2,2)$ SFdis0:SFdis(0),numer$ SFDis(w):=SFdis(w)/SFdis0$ wN3:makelist((nw-N/2)*3000.0/N,nw,0,N-1)$ SFD:map(SFDis,wN3),numer$ SF3:map(SFF,wN3),numer$

wxplot2d([[discrete,wN3,SF3],[discrete,wN3,SFD]]);

27

Здесь сплошной линией изображен нормированный амплитудночастотный спектр (АЧС) исходного аналогового сигнала s(t ), а пункти-

ром − три периода АЧС дискретного сигнала sdis (t ). Убеждаемся, что амплитудные спектры | SF(ω) | и | SFdis(ω) | на интервале час-

тот −Ωm ≤ ω≤ Ωm идентичны. Поэтому для однозначного восстановления аналогового сигнала s(t ) может быть использована часть спектра SFdis(ω)

(4) дискретного сигнала sdis (t ) (1), определенная в области частот

−Ωm ≤ ω≤ Ωm .

Рассмотрим теперь прохождение дискретного сигнала sdis (t ) через

идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной максимальной частоте в спектре сигнала s(t ). Частотный коэффициент передачи такого фильтра (5) запишется следующим образом:

h(x):=(if x<=0 then 0 else 1)$ KF1(w):=(h(w+Wm)-h(w-Wm))$

Спектральную плотность сигнала на выходе любого фильтра можно найти как произведение спектральной плотности входного сигнала на коэффициент передачи фильтра.

Сравним теперь спектральные плотности сигналов на выходе двух фильтров, первый из которых является описанным выше идеальным фильтром нижних частот с частотным коэффициентом передачи (5). Второй фильтр представляет собой обычную RC-цепочку с такой же частотой среза,

равной Ωm (частоту среза будем определять по уровню 1/ 2 ≈0.707 от

максимума). Известно [1−3], что частотный коэффициент передачи такого фильтра может быть записан в виде

28

Из анализа этого рисунка следует, что точное восстановление аналогового сигнала из дискретного возможно при условии, что фильтр обладает идеальной прямоугольной частотной характеристикой. Если же форма ам- плитудно-частотной характеристики фильтра отличается от прямоугольной, то это приводит к искажению спектра восстанавливаемого сигнала.

Подтвердим вышесказанное, вычислив сами сигналы (как функции времени) на выходах рассматриваемых двух фильтров, используя формулы обратного преобразования Фурье. Для этого набираем:

ass:makelist(realpart(sum(SF3[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$ asw1:makelist(realpart(sum(SF_1d[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$ asw2:makelist(realpart(sum(SF_2d[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$

Тогда графические зависимости сигналов, нормированных на свои максимальные значения, примут вид:

wxplot2d([[discrete,tK,asw1],[discrete,tK,asw2],

[discrete,tK,ass]]);

30