Курсовая работа (т): Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Введение

Базовые знания в области информатики и практические навыки работы на персональном компьютере позволяют эффективно применять современное программное обеспечение для решения прикладных задач в области экологии. В данной курсовой работе проводится аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Расчеты проведены при помощи программ Microsoft Excel и Turbo Pascal.

Задание

Функция y = f(x) задана таблицей 1.

аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	Функ-ция yi

0,28	1,05	2,34	9,11	3,33	29,43	4,23	86,44	5,55	187,54
0,87	2,87	2,65	16,86	3,41	37,45	4,83	90,85	6,32	200,45
1,65	6,43	2,77	17,97	3,55	42,44	4,92	99,06	6,66	212,97
1,99	8,96	2,83	18,99	3,85	56,94	5,14	120,45	7,13	275,74
2,08	8,08	3,06	23,75	4,01	75,08	5,23	139,65	7,25	321,43

Таблица 1

Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.

Поскольку в данном примере каждая пара значений (хi ,yi) встречается один раз, то корреляционная таблица примет вид единичной матрицы. Значит условные средние yi совпадают со значениями yi. Отсюда следует, что корреляционные отношение n2y/x равно 1 и следовательно между x и y существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные приводим в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Exel.

Таблица 2

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	0,28	1,05	0,08	0,29	0,02	0,01	0,08	0,05	0,01
2	0,87	2,87	0,76	2,50	0,66	0,57	2,17	1,05	0,92
3	1,65	6,43	2,72	10,61	4,49	7,41	17,51	1,86	3,07
4	1,99	8,96	3,96	17,83	7,88	15,68	35,48	2,19	4,36
5	2,08	8,08	4,33	16,81	9,00	18,72	34,96	2,09	4,35
6	2,34	9,11	5,48	21,32	12,81	29,98	49,88	2,21	5,17
7	2,65	16,86	7,02	44,68	18,61	49,32	118,40	2,82	7,49
8	2,77	17,97	7,67	49,78	21,25	58,87	137,88	2,89	8,00
9	2,83	18,99	8,01	53,74	22,67	64,14	152,09	2,94	8,33
10	3,06	23,75	9,36	72,68	28,65	87,68	222,39	3,17	9,69
11	3,33	29,43	11,09	98,00	36,93	122,96	326,35	3,38	11,26
12	3,41	37,45	11,63	127,70	39,65	135,21	435,47	3,62	12,35
13	3,55	42,44	12,60	150,66	44,74	158,82	534,85	3,75	13,31
14	3,85	56,94	14,82	219,22	57,07	219,71	843,99	4,04	15,56
15	4,01	75,08	16,08	301,07	64,48	258,57	1207,29	4,32	17,32
16	4,23	86,44	17,89	365,64	75,69	320,16	1546,66	4,46	18,86
17	4,83	90,85	23,33	438,81	112,68	544,24	2119,43	4,51	21,78
18	4,92	99,06	24,21	487,38	119,10	585,95	2397,89	4,60	22,61
19	5,14	120,45	26,42	619,11	135,80	698,00	3182,24	4,79	24,63
20	5,23	139,65	27,35	730,37	143,06	748,18	3819,83	4,94	25,83
21	5,55	187,54	30,80	1040,85	170,95	948,79	5776,70	5,23	29,05
22	6,32	200,45	39,94	1266,84	252,44	1595,40	8006,45	5,30	33,50
23	6,66	212,97	44,36	1418,38	295,41	1967,42	9446,41	5,36	35,71
24	7,13	275,74	50,84	1966,03	362,47	2584,39	14017,77	5,62	40,07
25	7,25	321,43	52,56	2330,37	381,08	2762,82	16895,16	5,77	41,85
26	95,93	2089,99	453,31	11850,65	2417,57	13982,99	71327,34	90,98	415,08
	хi	yi	хi2	хi*yi	xi3	xi4	хi2*yi	ln(yi)	хi ln (yi)

Практическая часть

Аппроксимируем функцию y = f(x) линейной функцией y = a1 + a2x. Для определения коэффициентов a1 и a2 воспользуемся системой (1):

n nn + a2∑xi = ∑yi

n n n∑xi + a2∑xi2 = ∑xiyi (1)

i=1 i=1 i=1

Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26, D26, запишем систему (1) в виде:

25a1 + 95,93a2 = 2089,99

95,93a1 + 453,31a2 = 11850,65

Решив которую, получим a1 = -88,9208, a2 = 44,9600

Таблица 3

	A	B	C	D
28	25	95,93	2089,99
29	95,93	453,31	11850,65
30
31
32	0,21280	-0,04503	а1=	-88,9208
33	-0,04503	0,01174	а2=	44,9600

Таким образом, линейная аппроксимация примет вид


у=-88,9208+44,9600х

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой (2).

Используя итоговые значения таблицы 2, запишем эту систему в виде:

25a1 + 95,93a2 + 453,31a3 = 2089,99

95,93a1 + 453,31a2 + 2417,57a3 = 11850,65

453,31a1 + 2417,57a2 + 13982,99a3 = 71327,34

решив которую, получим a1 = 1066362, a2 = -18,92451, a3 = 8,02723

Таблица 4

	A	B	C	D	E
36	25	95,93	453,31	2089,99
37	95,93	453,31	2417,57	11850,65
38	453,31	2417,57	13982,99	71327,34
39
40	0,6327	-0,31439	0,03385	а1=	10,66362
41	-0,3144	0,18453	-0,02171	а2=	-18,92451
42	0,0338	-0,02171	0,00273	а3=	8,02723

Таким образом, квадратичная аппроксимация примет вид

у=10,66362+(-18,92451х)+8,02723x^2

Аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов a1 и a2 прологарифмируем значения yi и, используя итоговые суммы таблицы 2, получим систему:

25c + 95,93a2 = 90,98

95,93c + 453,31a2 = 415,08

где c=ln(a1).

Найдем c = 0,6677, a2 = 0,7744.

После потенцирования получим a1 = 1,9497.

Таблица 5

	A	B		C	D
46	25	95,93		90,98
47	95,93	453,31		415,08
48
49				с=	0,6677
50	0,21280		-0,04503	а2=	0,7744
51	-0,04503		0,01174	а1=	1,9497

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

у = 1,9497 e0,7744x

Вычислим среднее арифметическое x и y по формулам:

; .

Результаты расчета представлены в таблице 6.

Таблица 6

	A	B
54	Хср=	3,8372
55	Уср=	83,5996

Чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности, необходимо заполнить таблицу 7.

Таблица 7

	A	B	J	K	L	M	N	O
1	0,28	1,05	293,645	12,65367	6814,436	5987,9765	24,4441	1,8818
2	0,87	2,87	239,541	8,80428	6517,268	2774,7222	6,7335	0,9107
3	1,65	6,43	168,785	4,78384	5955,147	448,0357	26,3958	0,3207
4	1,99	8,96	137,874	3,41215	5571,070	70,7359	17,3682	0,0206
5	2,08	8,08	132,703	3,08775	5703,210	12,1387	4,2039	2,8248
6	2,34	9,11	111,526	2,24161	5548,701	51,4882	1,4986	7,9958
7	2,65	16,86	79,233	1,40944	4454,174	178,5730	0,0006	2,8338
8	2,77	17,97	70,040	1,13892	4307,244	311,4631	3,4777	1,7306
9	2,83	18,99	65,075	1,01445	4174,400	373,4910	5,7914	2,3823
10	3,06	23,75	46,515	0,60404	3581,975	620,3441	17,3755	8,4231
11	3,33	29,43	27,475	0,25725	2934,346	983,8198	52,2462	13,9447
12	3,41	37,45	19,715	0,18250	2129,786	725,9091	4,0904	102,2541
13	3,55	42,44	11,821	0,08248	1694,113	797,8984	4,8610	143,3219
14	3,85	56,94	-0,341	0,00016	710,734	741,7500	0,0231	342,3946
15	4,01	75,08	-1,472	0,02986	72,584	265,3212	126,0007	996,9257
16	4,23	86,44	1,116	0,15429	8,068	219,6288	148,7578	1214,7776
17	4,83	90,85	7,198	0,98565	52,568	1397,7026	245,6958	76,6489
18	4,92	99,06	16,741	1,17246	239,024	1103,7185	163,9776	121,8680
19	5,14	120,45	48,009	1,69729	1357,952	471,9084	25,1788	258,6007
20	5,23	139,65	78,067	1,93989	3141,647	43,1629	70,4516	769,9408
21	5,55	187,54	178,029	2,93368	10803,607	725,3842	1200,5291	1951,0602	6,32	200,45	290,116	6,16430	13654,016	27,2879	126,2827	3577,4085
23	6,66	212,97	365,187	7,96820	16736,700	6,0388	767,7885	15795,8684
24	7,13	275,74	632,680	10,84253	36917,933	1944,4749	65,1469	44766,9232
25	7,25	321,43	811,668	11,64720	56563,299	7121,8415	677,9664	45516,7965
26	95,93	2089,99	3830,945	85,20790	199644,003	27404,8153	3786,2861	115678,0580
			суммы			Остаточные суммы
			(Х-Хср)*(У-Уср)	(Х-Хср)^2	(У-ср)^2	линейн.	квадр.	экспон

Источник: https://www.bibliofond.ru/detail.aspx?id=814655

Смотрите также:

semantika-vzyatki-v-russkoi-yazykovoi-mentalnosti
Биологические свойства штамма S. abortus ovis, выделенных из объектов внешней среды и от овец-бактерионосителей
Основы математического моделирования. курс лекций. Перова А.В
Основы метода наименьших квадратов
Оценка недвижимости в целях кредитования под залог на примере ОПЕРО ОСБ 1806/18060 ОАО 'Сбербанк России'
социология учебник