Курсовая работа (т): Основы метода наименьших квадратов

Основы метода наименьших квадратов

Содержание

Введение

Задание

.Постановка задачи

.1Метод наименьших квадратов

.2Метод Брандона

.3Реактор идеального вытеснения

.4Синтез оптимальных тепловых систем

. Расчетная часть

2.1Расчет значений К₀ и Е в уравнении Аррениуса с использованием метода наименьших квадратов

2.2Расчет статистической модели абсорбера методом Брандона

.3Расчет абсорберов и реакторов идеального вытеснения

.4Синтез системы теплообмена

Выводы

Список использованных источников

Приложение

абсорбер реактор вытеснение теплообмен

Введение

В курсовой работе рассмотрены теоретические основы метода наименьших квадратов (МНК), по которому с помощью функции поиск решения по экспериментальным данным теоретических зависимостей констант скорости от температуры были найдены значения коэффициентов K_Q и Е в уравнении Аррениуса. Также в нашей работе мы использовали метод Брандона для построения модели абсорбера. На основании полученных зависимостей рассчитаны характеристики реакторов и абсорберов: входные и выходные температуры, расходы и концентрации компонентов. Существующие методы синтеза оптимальных тепловых систем подразделяются на две группы: комбинаторные и эвристические. В нашей работе мы используем эвристические методы, с помощью которых находим близкие к оптимальным структуры тепловых систем, при этом из рассмотрения исключается большая часть альтернативных вариантов, что позволяет сократить затраты машинного времени.

Основной метод ХТС - математическое моделирование, опирающееся на широкое использование в химической промышленности. Оно открыло перед исследователями большие возможности в деле разработки математических описаний химико-технологических процессов и применения их для расчета и оптимизации ХТС. При моделировании ХТС наряду с моделями отдельных аппаратов используют модель всей системы, необходимость которой обусловлена тем, что процессы, протекающие в отдельных аппаратах, влияют друг на друга. В силу этого оптимизация отдельно взятого аппарата без учета его связей с остальными аппаратами может привести к тому, что весь технологический процесс в целом будет протекать не в оптимальном режиме.

Методы анализа, реализованные в виде алгоритмов и программ, применяются в системах автоматизации химических технологий. Эти системы существенно повышают производительность труда проектировщиков и позволяют значительно улучшить качество новых научно-технических разработок.

Производственные процессы в химической промышленности характеризуются большим разнообразием выпускаемой продукции и большой сложностью. Общая, характерная черта всех этих процессов состоит в том, что для превращения исходного сырья или полупродукта в целевой конечный продукт необходимо сравнительно большое число функционально различных ступеней переработки. Процессы химической технологии отличаются большим ассортиментом продуктов, которые можно получить из одного и того же продукта и динамикой обновления, как ассортимента, так и технологических процессов.

Производственные процессы химической технологии сильно связаны как между собой, так и с другими отраслями химической промышленности.

Под ХТС, понимают совокупность физико-химических процессов и средств для их проведения. ХТС состоит из элементов - отдельных частей, в которых протекают технологические процессы, необходимые для достижения цели, поставленной перед ХТС в целом.

ХТС характеризуется структурой, т.е. составом элементов и их взаимными связями. Отличительная черта современных ХТС - большое количество внутренних связей, в том числе и более полного использования сырья, вторичных энергоресурсов и стремлением к созданию более гибких ХТС.

XТС - это открытые системы, которые связаны с внешней окружающей средой так называемыми входами и выходами системы для обмена сырьем, продуктами, энергией и информацией.

Введение понятий и принципов формализации ХТС позволяет свести огромное множество конкретных реализаций химико-технологических производств к некоторому обобщенному прототипу, который характеризуется определенной технологической функцией-реализацией конкретного физико-химического процесса, внутренней структурой и определенными связями с окружающей средой. Такая формализация конкретной ХТС и ее иерархическая структура - важные предпосылки для разработки и применения единого подхода к решению задач, которые связаны как с созданием ( синтезом ), так и с исследованием, расчетом (анализом) и эксплуатацией (управлением) процесса .

Задание

Вариант № 4

Требуется синтезировать XTC работающую по следующей технологии:

Смесь, состоящая из компонентов A, Б и инертного компонента нагревается в системе теплообмена до 415 ⁰C , поступает в реактор, где протекает обратимая реакция:

 + 0,5 Б - C + q;

где q - тепловой эффект реакции q = 21200кал/моль

Реакция характеризуется константой скорости K=f(t) и константой равновесия Kp=f(t), для которых имеются экспериментальные данные.

Поскольку реакция равновесная и экзотермическая, то для повышения равновесной степени превращения реакционная смесь должна проходить несколько реакторов с промежуточным охлаждением между ними.

После прохождения 4 реакторов смесь поступает в абсорбер для выделения компонента C и затем проходит 1 реактор и второй абсорбер.

Таким образом, операторная схема выглядит следующим образом:

Заданы температуры на входе в реакторы и абсорберы, и объемы реакторов и абсорберов. Заданы также плотности орошения в абсорберах, температура, расход и концентрации компонентов исходной смеси.

t₀ = 50°C t₁ = 415 °C t₂ = 485°С t₃ = 410°С t₄ = 425°С t₅ = 405°С

t_a1 = 180°С t_a2 = 195°С

Расход смеси на входе в систему-132000 м³/ч

Объемы реакторов: V₁ = 79 м³, V₂ = 65 м³, V₃ = 40 м³ , V₄ = 55 м³ ,V₅ = 35 м³.

Объемы абсорберов: V_a1 = 25 м³, V_a2 = 28 м³ .

Плотность орошения в первом абсорбере -16 м³/м²

Плотность орошения во втором абсорбере -16 м³/м²

Реакторы описываются моделями идеального вытеснения. Абсорберы описываются статистическими моделями по экспериментальным данным. Скорость реакции в реакторе описывается уравнением:

=K(t)·a·b/(a+0,8·c)·(1-(c/K_p(t)·a·b ^0,5))²),

где а, b, с - концентрация компонентов (об.доли):

а = 0,085 об.доли

b = 0,085 об.доли

с = 0,00 об.доли

При построении системы теплообмена могут использоваться пар и вода со следующими характеристиками. Начальная температура воды = 20 ⁰C, конечная температура воды не более 90⁰C, температура пара равна 460 ⁰C, теплота конденсации греющего пара = 520 ккал/кг. Стоимость воды 0,00007 ус.д.ед./кг. Стоимость пара =0,005 ус.д.ед./кг. Коэффициенты теплопередачи:

в теплообменниках 19 ккал/(м² ·ч · °С)

в холодильнике 20 ккал/(м² ·ч · °С)

в нагревателях 22 ккал/(м² ·ч · °С)

Теплоемкость в реакционной смеси 0,33 ккал/(м³·°С)

Время работы установки 8800 час/год.

Для получения значений К₀ и Е в уравнении Аррениуса использовать данные приложения 1.

_p(t) = 10^(49051/T-4,6455)

Для получения статической модели абсорбера использовать данные приложения 2 и метод Брандона.

1. Постановка задачи

1.1 Метод наименьших квадратов

 случае если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживает возможные выбросы за счет погрешности эксперимента [2].

Для построения аппроксимирующей кривой используют уравнение

ŷ = ƒ(x,a₀,a₁,a₂,…,a_m)(1.1)

Задачу определения параметров уравнения регрессии ( 1.1) решают обычно с использованием метода наименьших квадратов (MHK). Согласно методу наилучшими значениями параметров будут те, при которых сумма квадратов отклонений расчетных величин a₀,..., а_т от экспериментальных будет наименьшей, то есть:

Ф = (y_0i - ƒ(x,a₀,a₁,a₂,…,a_m))² = min

Условием минимума функции является равенство нулю ее частных производных по всем аргументам:

(1.2)

В теории метода система (1.2) называется нормальной системой: для неё число уравнений равно числу неизвестных.

Для рассматриваемой функции Ф условием минимума будет

После преобразований нормальная система принимает вид:

(1.3)

Решение системы алгебраических уравнений (1.3) позволяет определить значения коэффициентов для конкретного вида зависимости ƒ(x,a₀,a₁,a₂,…,a_m) .

1.2 Метод Брандона

Производственные процессы разнообразны по своим особенностям и степени сложности. Если процесс сложный и расшифровка его механизма требует большой затраты сил и времени, используют эмпирический подход. Математические модели, построенные в этом случае, называются эмпирическими или статистическими, так как при их создании важную роль играет математическая статистика.

Главное достоинство эмпирического подхода - его простота, что особенно важно при изучении очень сложных процессов. Недостаток - малая надежность экстраполяции. Обычно, есть возможность достаточно точно предсказать поведение процесса в пределах изменения переменных, изученных в опытах (интерполяция), но если экстраполировать поведение системы за пределами изученного диапазона, можно допустить значительную ошибку.

Особенно широкое распространение экспериментально-статистические модели получили при решении практических задач расчета и оптимизации действующих производственных процессов, а также управления ими.

Статистические модели создают на основании имеющихся экспериментальных данных, снятых на действующем объекте. Задачу формулируют следующим образом: по данной выборке объема п (те. по заданному числу опытов) построить модель и оценить адекватность ее реальному объекту.

В общем случае современный технологический процесс представляется в виде многомерного объекта, блок-схема которого приведена на рис. 1.1. На объект действуют вектор входных параметров X , составляющие которого {x₁,x₂,…,x_l} ,и вектор управления Z ,составляющие которого{z₁,z₂,…z_k}.Выходные параметры {y₁,y₂,…y_p} составляют вектор выходных параметров Y . Общий вид статистической модели многомерного технологического объекта можно записать в виде системы алгебраических уравнений (1.4) или в векторной форме (1.5):

где X, Y - векторы входных и выходных параметров объекта.

B системе (1.4) параметры управления учтены как входные параметры

x_l+1,x_l+2,…,x_m (m = l+k)

Рис. 1 1. Блок-схема многомерного технологического процесса

 данной курсовой работе для построения модели многомерного технологического объекта используется метод Брандона..

Сущность метода заключается в следующем. Предполагается, что функция F₁{x₁,x₂,…,x_m} в системе (1.4) является произведением функций от входных параметров, то есть

ŷ = y ƒ₁(x₁)ƒ₂(x₂)…ƒ_m(x_m)(1.6)

или в более удобной форме:

ŷ = y ∏ ƒ_k(x_k)

где ŷ - расчетное значение i - го выходного параметра;  - средняя величина экспериментальных значений i - го выходного параметра; n - количество опытов в исходной выборке.

При использовании метода Брандона большое значение имеет порядок следования функций в уравнении (1.6). Чем больше влияния оказывает фактор на выходной параметр, тем меньшим должен быть его порядковый номер в указанном уравнении.

Оценить степень влияния к - го фактора на выходной параметр можно по величине частного коэффициента множественной корреляции:

(1.7)

где  - величина частного коэффициента корреляции, учитывающая влияние k - го фактора на выходной параметр y при условии, что влияние всех прочих факторов исключено. D - определитель матрицы, построенной из парных коэффициентов корреляции. Матрица имеет вид:

D_lk - определитель матрицы с вычеркнутыми первой строкой и k - м столбцом.

D_llD_kk - определитель матрицы с вычеркнутыми первой и k - ой строками и первым и k - м столбцами соответственно. r_xy - парные коэффициенты корреляции определяемые по формуле:

Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превышает единицы.

-1≤ r_xy ≤ 1.

Чем ближе абсолютное значение коэффициента │ r_xy │ к единице, тем сильнее линейная связь между величинами. Следует отметить, что коэффициент корреляции одинаково отмечает долю случайности и криволинейность связи между х и у. Зависимость x и у может быть близкой к функциональной, но существенно нелинейной; коэффициент корреляции при этом будет значительно меньше единицы.

Объективное определение тесноты связи может быть проведено в результате совместного анализа качественной и количественной оценок.

Порядок расположения влияющих факторов в уравнении (1.6) определяют в соответствии с убыванием величины частных коэффициентов корреляции. Следует иметь в виду, что коэффициент корреляции - чисто статистический показатель и не содержит предположения, что изучаемые величины находятся в причинно-следственной связи. Подобные предположения должны проверяться экспериментально.

B уравнении (1.6) каждая из функций ƒ₁(x₁)…ƒ_m(x_m) принимается либо линейной, либо нелинейной (степенной, показательной, экспоненциальной и т. д.). Прежде чем определять вид первой зависимости, следует представить исходные экспериментальные значения выходного параметра в каждом опыте y_эj в безразмерной форме y_э0j

где y - средняя величина выходного параметра.

Таким образом, исходными данными для поиска первой зависимости будут нормированные значения вектора выходных параметров ŷ₀ и опытные значения первого влияющего фактора. Выбрав зависимость ŷ₁ = ƒ₁(x₁) с помощью метода наименьших квадратов, определяют остаточный показатель У_э\ для каждого наблюдения:

Предполагая, что y_э1 не зависит от x₁, а зависит от x₂,…x_m, выбирают зависимость от второго фактора. Исходные данные для поиска - остаточный показатель у_э1 и опытные значения второго фактора. Получив расчетную зависимость ŷ₂ = ƒ₂(x₂), находят остаточный показатель y_э2 для каждого наблюдения: