Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
ïëîñêîñòè
XOY
îðòîãîíàëüíóþ ñåòêó. Ïóñòü
dn —
ýëåìåíò äëèíû ëèíèè íàïðÿ-
æåííîñòè ïîëÿ è
da
— ýëåìåíò äëèíû ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà. Î÷åâèäíî, âî
âñåõ òî÷êàõ ïîëÿ
dn
^
da.
Áóäåì ñ÷èòàòü êîîðäèíàòó
n
âîçðàñòàþùåé â íàïðàâëå-
íèè âåêòîðà
E
. Êîîðäèíàòó
a
áóäåì ñ÷èòàòü âîçðàñòàþùåé âëåâî îò âåêòîðà
E
äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ðàñïîëîæèâøåãîñÿ òàê, ÷òî äëÿ íåãî âåêòîð
Å
íàïðàâëåí ñíèçó
ââåðõ. Ïîòåíöèàë
U
óâåëè÷èâàåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ âåêòîðà
Å
, ò. å. â ñòîðî-
íó óìåíüøåíèÿ êîîðäèíàòû
n.
Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü ôóíêöèþ ïîòîêà
V
âîçðàñòàþ-
ùåé â òîì æå íàïðàâëåíèè, â êîòîðîì óâåëè÷èâàåòñÿ
à
. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè-
÷åñêîãî ïîëÿ ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç
U
è
V
â ôîðìå
E
U
n
V
a
= -
= +
¶
¶
¶
¶
.
(*)
Ðàâåíñòâî
E
=
–
¶
U
/
¶
n
íàì óæå çíàêîìî. Îíî ãîâîðèò, ÷òî âåëè÷èíà âåêòîðà
Å
÷èñëåííî ðàâíà óìåíüøåíèþ ïîòåíöèàëà íà åäèíèöó äëèíû â íàïðàâëåíèè ëè-
íèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Ñîîòíîøåíèå æå
Å
= ¶
V/
¶
a
ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî íàïðÿ-
æåííîñòü ïîëÿ ÷èñëåííî ðàâíà ïîòîêó âåêòîðà
E
, ïðîõîäÿùåìó ÷åðåç åäèíèöó
ïîâåðõíîñòè, íîðìàëüíîé ê ëèíèÿì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Äàâàÿ ïðèðàùåíèå
òîëüêî îäíîé êîîðäèíàòå
a
, ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ïîòîêà
d
a
Y
E
.
Ïîòîê
d
a
Y
E
ïðîõîäèò ÷åðåç ïîâåðõíîñòü
l da.
Òàê êàê ýòà ïîâåðõíîñòü íîðìàëüíà
ê ëèíèÿì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, òî
E
d
lda
d V
da
V
a
a
E
a
=
=
=
Y
¶
¶
.
Óðàâíåíèå (*) âûðàæåíî â ñèñòåìå êðèâîëèíåéíûõ îðòîãîíàëüíûõ êîîðäè-
íàò
n
è
a
, ãäå
n
îòñ÷èòûâàåòñÿ âäîëü ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è
a
— âäîëü ëè-
íèé ðàâíîãî ïîòåíöèàëà. Ïåðåõîäÿ ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, íàïèøåì:
E
U
x
V
y
E
U
y
V
x
x
y
= -
= +
= -
= -
ü
ý
ïï
þ
ï
ï
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
;
.
(**)
Ðàâåíñòâà
Å
x
=
–
¶
¶
U
x
è
Å
y
=
–
¶
¶
U
y
áûëè óæå ïðèâåäåíû ðàíåå.
Ðàâåíñòâà
Å
x
= ¶
¶
V
y
è
Å
y
=
–
¶
¶
V
x
âûòåêàþò èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. Äàäèì
ïðèðàùåíèå òîëüêî êîîðäèíàòå
y
. Ñêâîçü ïëîùàäêó
l dy
ïðîõîäèò ïîòîê
d
y
Y
E
= =
E
x
l dy.
Îòñþäà èìååì
E
x
=
d
l dy
y
E
Y
=
d V
dy
y
= ¶
¶
V
y
.
Çíàê ïëþñ (+) ñëåäóåò ïðèíÿòü ïîòîìó, ÷òî
V
è
y
âîçðàñòàþò îáà âëåâî îò
Å
x
(ðèñ. 24.9).
Äàâàÿ ïðèðàùåíèå òîëüêî êîîðäèíàòå
x
,
íàéäåì ñîîòâåòñòâåííî
46
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.9
d
E l dx
E
d
l d x
V
x
x
E
y
y
x
E
Y
Y
= -
= -
= -
èëè
¶
¶
.
Çäåñü íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü çíàê ìèíóñ (–), òàê êàê
V
âîçðàñòàåò âëåâî, à
x
—
âïðàâî îò
Å
y
(ñì. ðèñ. 24.9).
Îáå ôóíêöèè,
U
è
V
, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà. Ïðîäèôôåðåíöè-
ðîâàâ ïåðâîå óðàâíåíèå (**) åùå ðàç ïî
x
è âòîðîå åùå ðàç ïî
y
, ïîëó÷èì –
¶
¶
2
2
U
x
=
= ¶
¶ ¶
2
V
x y
è –
¶
¶
2
2
U
y
= - ¶
¶ ¶
2
V
x y
, îòêóäà
¶
¶
¶
¶
2
2
2
2
0
U
x
U
y
+
=
.
Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ïî
y
è âòîðîå ïî
x
, íàéäåì –
¶
¶ ¶
2
U
x y
= ¶
¶
2
2
V
y
è –
¶
¶ ¶
2
U
x y
=
–
¶
¶
2
2
V
x
, îòêóäà
¶
¶
¶
¶
2
2
2
2
0
V
x
V
y
+
=
.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáûå ôóíêöèè
U
è
V
, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîâîêóïíîñòè óðàâ-
íåíèé (**), óäîâëåòâîðÿþò è ïåðâîìó òðåáîâàíèþ, ñôîðìóëèðîâàííîìó â § 24.7.
Äëÿ çàäàííîé ñèñòåìû ïðîâîäíèêîâ ýòè ôóíêöèè äîëæíû áûòü òàêîãî âèäà,
÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü âòîðîå òðåáîâàíèå — ïîñòîÿíñòâî ïîòåíöèàëà
U
íà ïî-
âåðõíîñòè êàæäîãî ïðîâîäíèêà.
Êðîìå òîãî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ â âûðàæåíèÿõ ôóíêöèé
U
è
V
íåîá-
õîäèìî èñïîëüçîâàòü òðåòüå óñëîâèå — êîëè÷åñòâåííîå çàäàíèå ïîòåíöèàëîâ
èëè çàðÿäîâ ïðîâîäíèêîâ.
Ñîîòíîøåíèÿ (**) âïîëíå äîñòàòî÷íû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ íàïðÿ-
æåííîñòè ïîëÿ, åñëè òåì èëè èíûì ñïîñîáîì íàéäåíà ëèáî ôóíêöèÿ
U
(
x
,
y
),
ëèáî ôóíêöèÿ
V
(
x
,
y
)
.
24.9. Ïðèìåíåíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ðàñïîëîæåíû ëèíèè íàïðÿæåííîñòè
ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ, êàê ïëîñêîñòü êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
z
=
õ
+
jy
,
â êîòîðîé ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàþòñÿ âåùåñòâåííûå êîëè÷åñòâà (
x
), à ïî îñè
îðäèíàò — ìíèìûå êîëè÷åñòâà (
jy
)
.
Íàçîâåì ýòó ïëîñêîñòü ïëîñêîñòüþ
z
. Êàæ-
äîé òî÷êå òàêîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò âïîëíå îïðåäåëåííîå êîìïëåêñíîå
÷èñëî
z
.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå êîìïëåêñíóþ âåëè÷èíó
z = x
+
j
h
, ãäå
x
(
x
,
y
) è
h
(
x
,
y
)
—
ôóíêöèè
x
è
y.
Ãîâîðÿò, ÷òî
z
åñòü ðåãóëÿðíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðå-
ìåííîãî
z
â íåêîòîðîé îáëàñòè, åñëè îíà îäíîçíà÷íà, íåïðåðûâíà è èìååò îïðå-
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
47
äåëåííóþ íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ âî âñåõ òî÷êàõ ýòîé îáëàñòè. Ïðè ýòîì
îáîçíà÷àþò
z =
f
(
z
).
Äàâàÿ ïåðåìåííîé
z
ïðèðàùåíèå
D
z
, ïîëó÷èì ïðèðàùåíèå ôóíêöèè
Dz =
=
f
(
z
+
D
z
) –
f
(
z
). Åñëè îòíîøåíèå
Dz
/
D
z
ñòðåìèòñÿ ê îïðåäåëåííîìó ïðåäåëó
lim
lim
(
)
( )
D
D
D
D
D
D
z
z
z
f z
z
f z
z
d
d z
®
®
=
+
-
=
0
0
z
z
íåçàâèñèìî îò òîãî, ïî êàêîìó çàêîíó ñòðåìèòñÿ ê íóëþ
D
z
, òî ýòîò ïðåäåë è íà-
çûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé îò ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.
Âûáèðàÿ ïðèðàùåíèå
D
z
îäèí ðàç â íàïðàâëåíèè îñè âåùåñòâåííûõ (
D
z
= D
x
),
äðóãîé ðàç — â íàïðàâëåíèè îñè ìíèìûõ (
D
z
=
j
D
y
) êîëè÷åñòâ, ìîæåì íàïèñàòü
óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè â âèäå
d
dz
j
x
j
j y
x
x
x
y
y
y
z
x
h
x
h
=
+
=
+
®
®
lim
lim
,
D
D
D
D
D
D
D
D
0
0
ãäå
D
x
x
è
D
x
h
— èçìåíåíèå
x
è
h
ïðè èçìåíåíèè òîëüêî
x
íà âåëè÷èíó
D
x
;
D
y
x
è
D
y
h
— òî æå ïðè èçìåíåíèè òîëüêî
y
íà âåëè÷èíó
D
y
. Ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü
ïåðåïèñàíî â âèäå
d
d z
x
j
x
j
y
y
z
¶x
¶
¶h
¶
¶x
¶
¶h
¶
=
+
= -
+
,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
¶h
¶
¶x
¶
¶h
¶
¶x
¶
x
y
y
x
= -
=
;
.
Ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþò óðàâíåíèÿìè Êîøè—Ðèìàíà. Îíè íåîáõî-
äèìû è, êàê íåòðóäíî ïîêàçàòü, äîñòàòî÷íû äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ
z =
f
(
z
)
êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
z
èìåëà îïðåäåëåííóþ ïðîèçâîäíóþ. Èç ýòèõ óðàâ-
íåíèé ïîëó÷àåì
¶ h
¶
¶ x
¶ ¶
¶ h
¶
¶ x
¶
¶ h
¶ ¶
¶ x
¶
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y x
y
x
y x
y
= -
= -
=
= -
è
èëè
¶ h
¶
¶ h
¶
¶ x
¶
¶ x
¶
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
x
y
x
y
+
=
+
=
è
,
ò. å. ôóíêöèè
z
(
x
,
y
) è
h
(
x
,
y
), à ñëåäîâàòåëüíî, è ôóíêöèÿ
z = x
+
j
h
óäîâëåòâîðÿ-
þò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà.
Ñîïîñòàâëÿÿ óðàâíåíèÿ Êîøè–Ðèìàíà, ñâÿçûâàþùèå
x
è
h
, ñ óðàâíåíèÿìè
(**) â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, äàþùèìè ñâÿçü ìåæäó
V
è
U
, çàìå÷àåì èõ ïîëíîå
ñîîòâåòñòâèå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæåì íåïîñðåäñòâåííî ïðèíÿòü
x =
V
è
h =
U
è ñîîòâåòñòâåííî ïîëîæèòü
z x
h
= +
= +
=
j
V
jU
f z
( ).
48
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ôóíêöèÿ
z =
V
+
jU
, âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîòîðîé åñòü ôóíêöèÿ ïîòîêà, à ìíè-
ìàÿ — ïîòåíöèàë, íàçûâàåòñÿ ê î ì ï ë å ê ñ í û ì ï î ò å í ö è à ë î ì ï î ë ÿ.
Ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç óðàâíå-
íèé:
E
U
x
x
E
U
y
y
x
y
= -
= -
= -
= -
¶
¶
¶h
¶
¶
¶
¶h
¶
;
.
Íåðåäêî èíòåðåñóþòñÿ òîëüêî ìîäóëåì
E
âåêòîðà
E
, òàê êàê âûíóæäåííîå ñî-
ñòîÿíèå äèýëåêòðèêà îïðåäåëÿåòñÿ èìåííî çíà÷åíèåì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ
E
èìååì ñîîòíîøåíèå
E
E
E
x
y
x
y
=
+
= æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
2
2
2
¶h
¶
¶h
¶
.
Íî, ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì Êîøè—Ðèìàíà,
¶h
¶
y
= ¶x
¶
x
. Ñëåäîâàòåëüíî,
E
x
x
d
dz
= æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
¶h
¶
¶x
¶
z
2
2
.
Èç âñåãî ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî çàäà÷à ðàñ÷åòà ïîëÿ ðåøåíà, åñëè íàéäåíà
àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ
z =
f
(
z
), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà ïî-
âåðõíîñòè ïðîâîäîâ, ò. å. òàêàÿ, ìíèìàÿ ÷àñòü êîòîðîé ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå
çíà÷åíèå íà êîíòóðå, îãðàíè÷èâàþùåì ñå÷åíèå ïðîâîäà. Óêàçàòü îáùèé ìåòîä
íàõîæäåíèÿ òàêîé ôóíêöèè äëÿ ëþáîé ôîðìû ñå÷åíèé ïðîâîäîâ íå ïðåäñòàâëÿ-
åòñÿ âîçìîæíûì.
Ïî çàäàííîé êîíôèãóðàöèè êîíòóðà ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ ôóíêöèÿ
z =
f
(
z
) ìî-
æåò áûòü íàéäåíà òîëüêî äëÿ íåêîòîðûõ ôîðì ñå÷åíèé. Îäíàêî ìîæíî ïîéòè îá-
ðàòíûì ïóòåì. Èìåííî, èññëåäóÿ ðàçëè÷íûå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, ìîæíî
íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîëÿ è ïîëó÷èòü òàêèì ïóòåì ðåøåíèÿ äëÿ ðÿäà êîí-
êðåòíûõ ñëó÷àåâ. Ýòî î÷åíü ñóùåñòâåííî, òàê êàê ñîçäàåò âîçìîæíîñòü ïðè
ñëîæíîé ôîðìå ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ, äëÿ êîòîðîé íå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî òî÷íîå
ðåøåíèå, ïîäîáðàòü áëèçêèé ñëó÷àé, ðàññìîòðåííûé òåîðåòè÷åñêè, è âûâîäû,
ïîëó÷åííûå èç ïîñëåäíåãî, ïðèáëèæåííî ïðèìåíèòü ê èññëåäóåìîìó ðåàëüíîìó
ñëó÷àþ.
24.10. Ïîëå óåäèíåííîãî ïðîâîäà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ
Ðàññìîòðèì àíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ
z =
A j
ln
z
+
C
, ãäå
A
— âåùåñòâåííàÿ âåëè-
÷èíà, à
C
=
C
1
+
jC
2
.
Îáîçíà÷èâ
z
=
re
j
q
, ïîëó÷èì
z x
h
q
= +
=
-
+
+
j
A j
r
A
C
jC
ln
.
1
2
Ïîëàãàÿ
x =
V
è
h =
U
, íàõîäèì
V
A
C
U
A
r C
= -
+
=
+
q
1
2
;
ln
.
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
49
Óðàâíåíèå ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ:
V
=
const
èëè
q =
const. Óðàâíåíèå ëèíèé ðàâíîãî ïîòåíöèàëà:
U
=
const èëè
r
=
const.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ
z =
A j
ln
z
+
C
îïðåäåëÿ-
åò ïîëå, ëèíèè íàïðÿæåííîñòè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ëó-
÷àìè, èñõîäÿùèìè èç íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ. 24.10).
Ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè
ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, è ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî
ïîòåíöèàëà — ïîâåðõíîñòÿìè êðóãîâûõ öèëèíäðîâ.
Åñëè ñîâìåñòèì ñ îäíîé èç ýòèõ ïîâåðõíîñòåé ïîâåðõ-
íîñòü çàðÿæåííîãî ïðîâîäà êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ, òî äëÿ ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà áó-
äåò óäîâëåòâîðåíî îñíîâíîå òðåáîâàíèå — ïîñòîÿíñòâî ïîòåíöèàëà. Ñëåäîâàòåëü-
íî, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì
ïîòåíöèàëîì ïîëÿ âíå ïðîâîäà.
Ïîñòîÿííàÿ
A
îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè òîãî, ÷òî ïðè îáõîäå ïî çàìêíóòî-
ìó êîíòóðó âîêðóã ñå÷åíèÿ ïðîâîäà óãîë
q
âîçðàñòàåò íà 2
p
, à ôóíêöèÿ
V
ïîëó÷à-
åò ïðèðàùåíèå, ðàâíîå
Y
E
/
l
, ãäå
Y
E
— ïîòîê âåêòîðà
Å
ñêâîçü öèëèíäðè÷åñêóþ
ïîâåðõíîñòü, îõâàòûâàþùóþ îòðåçîê ïðîâîäà äëèíîé
l
. Ñîãëàñíî òåîðåìå Ãàóññà,
ýòîò ïîòîê äîëæåí áûòü ðàâåí îòíîøåíèþ çàðÿäà
q
îòðåçêà ïðîâîäà ê àáñîëþò-
íîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
e
ñðåäû. Ñëåäîâàòåëüíî,
q
l
e
=
–
A
×
2
p
è
À
= -
q
l
2
pe
= - t
pe
2
, ïðè÷åì
t
— çàðÿä íà åäèíèöó äëèíû ïðîâîäà.
Èòàê,
V
C
U
r C .
=
+
= -
+
t
pe
q
t
pe
2
2
1
2
;
ln
Ïîñòîÿííûå
C
1
è
C
2
çàâèñÿò îò âûáîðà íà÷àëüíîé ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ,
äëÿ êîòîðîé ïðèíèìàåòñÿ
V
=
0, è îò âûáîðà ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà, íà êîòî-
ðîé ïðèíèìàåòñÿ
U
=
0.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó âûðàæåíèþ ïðåäûäóùåãî ïàðà-
ãðàôà, ðàâíà
E
d
dz
j
z
r
=
= -
=
z
t
pe
t
pe
2
1
2
.
Ïðèðàùåíèå
D
U
ïîòåíöèàëà ïðè ïåðåõîäå îò ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà, ïî-
ìå÷åííîé íîìåðîì
n
, ê ñîñåäíåé, (
n
+ 1)-é, ëèíèè, ñîãëàñíî ïðèíÿòîìó äîïóùå-
íèþ, äîëæíî áûòü ïîñòîÿííûì, íå çàâèñÿùèì îò
n
:
D
U
U
U
r
r
r
r
=
-
= -
-
= -
=
+
+
+
n
n
n
n
n
n
t
pe
t
pe
1
1
1
2
2
(ln
ln )
ln
const,
ò. å.
r
r
B
.
n
n
+
=
=
1
const
50
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.10