Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
ñòîÿííîãî (íóëåâîãî) ïîòåíöèàëà,
b
—
ðàññòîÿíèå îò ýëåêòðè÷åñêèõ îñåé
äî ýòîé ïëîñêîñòè. Ñîãëàñíî ôîðìóëå
b
=
h
R
2
2
-
, ñïðàâåäëèâîé äëÿ êàæ-
äîãî ïðîâîäà, èìååì
b
h
R
h
R
2
1
2
1
2
2
2
2
2
=
-
=
-
,
èëè
(
)(
)
.
h
h
h
h
R
R
2
1
2
1
2
2
1
2
+
-
=
-
Ïðè ðàñïîëîæåíèè öèëèíäðîâ ñî-
ãëàñíî ðèñ. 24.15 èìååì
h
1
+
h
2
=
D
è,
ñëåäîâàòåëüíî,
h
2
–
h
1
=
R
R
D
2
2
1
2
-
.
 ýòîì ñëó÷àå èìååì
h
D
R
R
D
h
D
R
R
D
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
=
+
-
=
+
-
;
.
Ïðè ðàñïîëîæåíèè öèëèíäðîâ îäèí âíóòðè äðóãîãî (ïîëîãî) (ðèñ. 24.16)
h
2
–
h
1
=
D
, ñëåäîâàòåëüíî,
h
2
+
h
1
=
R
R
D
2
2
1
2
-
.
 ýòîì ñëó÷àå èìååì
h
D
R
R
D
h
D
R
R
D
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
= -
+
-
=
+
-
;
.
Âûðàæåíèÿ äëÿ
h
1
è
h
2
ìîæíî íàïèñàòü â îáùåì âèäå, ñïðàâåäëèâîì äëÿ îáî-
èõ ðàñïîëîæåíèé öèëèíäðîâ ïðè ëþáîì ñîîòíîøåíèè ðàäèóñîâ
R
1
è
R
2
:
h
D
R
R
D
h
D
R
R
D
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
=
+
-
=
+
-
;
.
Èç ýòèõ ôîðìóë îïðåäåëÿåòñÿ
ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè íóëåâîãî
ïîòåíöèàëà, è èç ôîðìóëû
b
=
h
R
1
2
1
2
-
=
h
R
2
2
2
2
-
íàõîäÿò-
ñÿ
ïîëîæåíèÿ
ýëåêòðè÷åñêèõ
îñåé, ò. å. ýêâèâàëåíòíûõ ëèíåé-
íûõ ïðîâîäîâ, ÷òî äàåò âîçìîæ-
íîñòü ïîñòðîèòü ïîëå ïî ìåòîäó,
èçëîæåííîìó â ïðåäûäóùåì ïà-
ðàãðàôå.
56
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.15
Ðèñ. 24.16
24.14. Ïîëå ó êðàÿ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
z
=
A(
e
a
z
+
a
z
), ãäå
a
è
A
— âåùåñòâåííûå è ïîñòîÿííûå
âåëè÷èíû. Ïîëîæèâ
z =
V
+
jU
, áóäåì èìåòü
x
jy
A e
aU
je
aU
aV
jaU
aV
aV
+
=
+
+
+
(
cos
sin
),
èëè
x
A e
aU
aV
y
A e
aU
aU
aV
aV
=
+
=
+
(
cos
);
(
sin
).
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà
aU
=
±
p
, âûðàæåíèÿ äëÿ
x
è
y
ïðèîáðåòàþò âèä
x
A aV
e
y
A
aV
=
-
= ±
(
);
.
p
Ýòè óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò äâå ïîëóïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè
OX
. Äåéñòâè-
òåëüíî, êîîðäèíàòà
x
ïðè èçìåíåíèè ôóíêöèè ïîòîêà
V
èìååò îäèí ìàêñèìóì,
îïðåäåëÿåìûé èç óñëîâèÿ
d x
dV
Aa
e
V
aV
=
-
=
=
(
)
,
.
1
0
0
ò.å.
Ýòî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî
x
max
=
–
A
.
Êðàéíèì çíà÷åíèÿì ôóíêöèè ïîòîêà
V
=
–
¥
è
V
=
+
¥
ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå
x
=
–
¥
. Ñëåäîâà-
òåëüíî, ïðè èçìåíåíèè ôóíêöèè ïîòîêà îò –
¥
äî
+
¥
êîîðäèíàòà
x
ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ ìåæäó
–
¥
è –
A
. Êîîðäèíàòà æå
y
îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.
Îíà èìååò çíà÷åíèÿ: äëÿ îäíîé ïîëóïðÿìîé
y
1
=
=
+
A
p
è äëÿ äðóãîé
y
2
=
–
A
p
. Íà ðèñ. 24.17 èçî-
áðàæåíû ýòè ïîëóïðÿìûå. Îáîçíà÷èâ ðàññòîÿíèå
ìåæäó íèìè ÷åðåç
d
, áóäåì èìåòü
ó
1
–
y
2
=
2
A
p =
d
è, ñëåäîâàòåëüíî,
A
=
d
/2
p
.
Îáíàðóæèâàåòñÿ çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî èññëåäóåìîé íàìè ôóíêöèè, à èìåí-
íî: äâå ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà îïðåäåëÿåìîãî åþ ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëü-
íûìè ïîëóïðÿìûìè. Ïîòåíöèàë îäíîé èç íèõ ðàâåí
U
1
= p
/
a
, ïîòåíöèàë äðóãîé
èìååò çíà÷åíèå
U
2
=
–
p
/
a
. Òàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿííàÿ
à
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ðàç-
íîñòü ïîòåíöèàëîâ:
U
1
–
U
2
=
2
p
/
a
, îòêóäà
a
U
U
.
=
-
2
1
2
p
Åñëè çàìåòèì, ÷òî ýòè ïîëóïðÿìûå ÿâëÿþòñÿ ñëåäàìè â ïëîñêîñòè
z
äâóõ îã-
ðàíè÷åííûõ ñ îäíîé ñòîðîíû áåñêîíå÷íûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëàñòèí, òî íàì ñòàíåò
ÿñíî, ÷òî ðàññìîòðåííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåò ïîëå ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî
êîíäåíñàòîðà, îãðàíè÷åííûìè ñ îäíîé ñòîðîíû. Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå äëÿ
z
íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ
A
è
a
, ïîëó÷àåì
z
d
e
U
U
U U
=
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
2
2
2
1
2
1
2
p
p z
p z
,
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
57
Ðèñ. 24.17
ïðè÷åì
z =
V
+
jU
. Ïîëàãàÿ
V
=
const
=
V
n
è çàäàâàÿñü
ðÿäîì çíà÷åíèé
U
â èíòåðâàëå
U
2
<
U
<
U
1
, ïîëó÷èì
ðÿä òî÷åê, ëåæàùèõ íà îäíîé ëèíèè íàïðÿæåííîñòè
ïîëÿ, ïî êîòîðûì è ìîæåì ïîñòðîèòü ýòó ëèíèþ. Äëÿ
ïîñòðîåíèÿ äðóãèõ ëèíèé ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó
V
n
áóäåì èçìåíÿòü ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ëèíèè ê ñî-
ñåäíåé êàæäûé ðàç íà îäèíàêîâóþ âåëè÷èíó
D
V
.
Ïîëàãàÿ
U
=
const
=
U
n
, ïðè÷åì
U
2
<
U
n
<
U
1
, è çà-
äàâàÿñü ðÿäîì çíà÷åíèé
V
, íàéäåì òî÷êè, ïðèíàäëå-
æàùèå îäíîé è òîé æå ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà.
Ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ñòðîèì òàê, ÷òîáû äëÿ
ëþáûõ äâóõ ñîñåäíèõ ëèíèé èìåëî ìåñòî óñëîâèå
D
U
=
const. Íà ðèñ. 24.18 ïîñòðîåíî ïîëå ó êðàÿ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà.
Âåñüìà ñóùåñòâåííî âûÿñíèòü, íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò êðàÿ êîíäåíñàòîðà
ìîæíî ñ÷èòàòü ïîëå ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíûì. Ñ ýòîé öåëüþ íàéäåì ïîëîæåíèå
òîé òî÷êè íà îñè
OX
, â êîòîðîé íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ îòëè÷àåòñÿ íà 1 % îò íàïðÿ-
æåííîñòè
E
0
=
U
U
d
1
2
-
îäíîðîäíîãî ïîëÿ. Íàïðÿæåííîñòü â ëþáîé òî÷êå ïîëÿ
èìååò çíà÷åíèå
Å
=
d
dz
z
. Ñëåäîâàòåëüíî,
1
1
E
dz
d
Aa e
a
=
=
+
z
z
.
Íà îñè
OX
ïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ, ÷òî íåòðóäíî óñìîòðåòü èç âûðàæåíèÿ äëÿ
êîîðäèíàòû
y
. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðèíÿòü â ýòîì âûðàæåíèè
U
=
0, òî ïîëó÷èì
y
=
0. Ïîýòîìó äëÿ òî÷åê íà îñè
OX
èìååì
z
=
V
. Ïðèíÿâ åùå âî âíèìàíèå, ÷òî
Aa
=
d
U
U
1
2
-
=
1
0
E
, ïîëó÷àåì äëÿ îñè
OX
óðàâíåíèå
1
1
1
0
E
E
e
aV
=
+
(
).
Ñòàëî áûòü,
E
E
E
E
E
e
e
e
.
aV
aV
aV
-
=
- =
+
- = -
+
0
0
0
1
1
1
1
1
Ïîëàãàÿ
E
E
E
-
0
0
=
–0,01, ïîëó÷èì
e
aV
=
0,0101 è
aV
=
–4,60. Ââîäÿ ýòè ÷èñ-
ëîâûå çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ êîîðäèíàòû
x
, êîòîðîå ïðè
U
=
0 èìååò âèä
x
=
A
(
e
aV
+
aV
), ïîëó÷àåì
x
>>
–4,6
A
. Ðàññòîÿíèå èñêîìîé òî÷êè îò êðàÿ êîíäåí-
ñàòîðà ðàâíî (
x
–
x
0
)
=
3,6
A
, òàê êàê ðàññòîÿíèå êðàÿ ïëàñòèí îò îñè
OY
åñòü
x
0
=
–
A
. Èñïîëüçóÿ çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé
A
, îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì
x
x
d
d
-
=
=
0
3 6
2
0 57
,
,
.
p
58
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.18
Òàêèì îáðàçîì, óæå íà ðàññòîÿíèè îò êðàÿ êîíäåí-
ñàòîðà, èìåþùåì ïîðÿäîê òîëùèíû äèýëåêòðèêà ìåæäó
ïëàñòèíàìè, ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì ñ âåñüìà
âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè.
 ýòàëîííûõ âîçäóøíûõ êîíäåíñàòîðàõ, ðàññ÷èòàí-
íûõ íà âûñîêîå íàïðÿæåíèå, è â êîòîðûõ ðàññòîÿíèå ìå-
æäó ïëàñòèíàìè çíà÷èòåëüíî, äëÿ èñêëþ÷åíèÿ êðàåâîãî
ýôôåêòà âûäåëÿþò â êà÷åñòâå ðàáî÷åé ÷àñòè òîëüêî ñðåäíþþ ÷àñòü ïëàñòèíû
(ðèñ. 24.19). Êðàé ïëàñòèíû îáðàçóåò ïðè ýòîì òàê íàçûâàåìîå îõðàííîå êîëüöî,
èçîëèðîâàííîå îò ðàáî÷åé ÷àñòè ïëàñòèíû, íî èìåþùåå ïîòåíöèàë, ïî âîçìîæ-
íîñòè áëèçêèé ê ïîòåíöèàëó ðàáî÷åé ÷àñòè. Ïðîèçâåäåííûé ðàñ÷åò äàåò âîçìîæ-
íîñòü îïðåäåëèòü òðåáóåìóþ øèðèíó îõðàííîãî êîëüöà.
24.15. Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êàðòèíû
ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ
Âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àÿõ ôîðìà ñå÷åíèé çàðÿæåííûõ ïðîâîäíèêîâ è èõ
âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå íàñòîëüêî ñëîæíû, ÷òî òî÷íûé àíàëèòè÷åñêèé ðàñ÷åò
ïîëÿ îêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì.  ñâÿçè ñ ýòèì ïîëó÷àåò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå
çíà÷åíèå ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êàðòèíû ïîëÿ, êîòîðûé ðàçðàáîòàí äëÿ
ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ ïîëåé è ïîëåé, îêðóæàþùèõ çàðÿæåííûå òåëà âðàùåíèÿ.
Íàèáîëåå ïðîñòî ïîñòðîåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ äëÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ.
Äîëæíû áûòü ñîáëþäåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà äîëæíû ïåðåñåêàòü-
ñÿ âñþäó ïîä ïðÿìûì óãëîì;
2) ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ äîëæíû áûòü ïåðïåíäèêóëÿðíû ê êîíòóðàì, îã-
ðàíè÷èâàþùèì ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêîâ;
3) ÿ÷åéêè ñåòêè, îáðàçîâàííîé ëèíèÿìè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è ëèíèÿìè ðàâíî-
ãî ïîòåíöèàëà, ïðè äîñòàòî÷íîé ãóñòîòå ñåòêè äîëæíû áûòü ïðèáëèçèòåëüíî ïî-
äîáíû äðóã äðóãó.
Òðåòüå óñëîâèå ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèþ, ÷òîáû ïðèðàùåíèå ïîòåíöèàëà
D
U
ïðè ïåðåõîäå îò ëþáîé ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ê ñîñåäíåé áûëî ïîñòîÿííûì
è ÷òîáû ïîëå áûëî ïîäðàçäåëåíî íà òðóáêè ðàâíîãî ïîòîêà, ò. å. ÷òîáû
D
V
=
const.
Ïðè íàëè÷èè òàêîãî òðåáîâàíèÿ òðåòüå óñëîâèå âûòåêàåò èç óðàâíåíèé
E
U
n
V
a
.
= -
=
¶
¶
¶
¶
Åñëè îáîçíà÷èòü ñðåäíèå ðàçìåðû ÿ÷åéêè ñåòêè:
D
n
— ïî íàïðàâëåíèþ ëè-
íèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è
D
a
— ïî íàïðàâëåíèþ ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà
(ðèñ. 24.20), òî ýòè óðàâíåíèÿ ïðèáëèæåííî ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ôîðìå
E
U
n
V
a
= -
=
D
D
D
D
.
Ïðè óñëîâèÿõ
D
U
=
const è
D
V
=
const èìååì
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
59
Ðèñ. 24.19
D
D
n
a
k
=
=
1
const,
îòêóäà è ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ãóñòîé ñåòêå åå
ÿ÷åéêè äîëæíû ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ïðèáëèçèòåëü-
íî ïîäîáíûå ïðÿìîóãîëüíèêè, åñëè ôîðìà ÿ÷åéêè íå
ñëèøêîì èñêàæåíà êðèâèçíîé ëèíèé. Íî äàæå è ïðè
çíà÷èòåëüíîì èñêàæåíèè ÿ÷ååê, êîãäà òðóäíî ãîâî-
ðèòü îá èõ ïîäîáèè, ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå âåñüìà
ïîìîãàåò ïðàâèëüíî ïîñòðîèòü êàðòèíó ïîëÿ. Îáû÷-
íî êàðòèíó ïîëÿ ðèñóþò íà ãëàç, ñòðåìÿñü óäîâëå-
òâîðèòü ïåðâîìó è âòîðîìó óñëîâèÿì, à çàòåì óæå
ïîñòåïåííî âíîñÿò èñïðàâëåíèÿ òàê, ÷òîáû óäîâëå-
òâîðèëîñü è òðåòüå óñëîâèå. Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ îá-
ëåã÷åíèÿ ïîñòðîåíèÿ âûáèðàòü
D
n
= D
a
. Íà ðèñ. 24.20
â âèäå ïðèìåðà ïîñòðîåíî ïîëå ìåæäó äâóìÿ ïðÿìîëèíåéíûìè ïðîâîäàìè ïðÿ-
ìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ, èìåþùèìè îäèíàêîâûå çàðÿäû ðàçíûõ çíàêîâ.
24.16. Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ
êàðòèíû ïîëÿ òåë âðàùåíèÿ
Ïîñòðîåíèå ïîëÿ, îáðàçîâàííîãî çàðÿæåííûìè òåëàìè âðàùåíèÿ ñ îáùåé îñüþ
âðàùåíèÿ, òàêæå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî ãðàôè÷åñêèì ïóòåì. Ïîëå ñòðîÿò â îä-
íîé èç ìåðèäèàííûõ ïëîñêîñòåé. Â âèäå ïðèìåðà íà ðèñ. 24.21 ïîñòðîåíî ïîëå
îêîëî êðóãëîãî ñòåðæíÿ, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç âûðåçàííîå â ïëàñòèíå êðóãëîå
îòâåðñòèå.
Ïåðâîå è âòîðîå óñëîâèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûå äëÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ
â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèé, òðåòüå æå óñëîâèå, êàñàþ-
ùååñÿ ôîðìû ÿ÷ååê, íåñêîëüêî óñëîæíÿåòñÿ. Ïðè âðàùåíèè êàðòèíû ïîëÿ
âîêðóã îñè çàðÿæåííûõ òåë êàæäàÿ ëèíèÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ îïèøåò ïîâåðõ-
íîñòü âðàùåíèÿ. Ìîæíî óñëîâèòüñÿ âûáèðàòü ýòè ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òîáû ïî-
òîê
DY
E
, ïðîõîäÿùèé ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ïîâåðõ-
íîñòÿìè, âñþäó áûë îäèíàêîâ. Òîãäà, åñëè
D
a
— ñðåä-
íåå â ïðåäåëàõ ÿ÷åéêè ïîëÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè
ïîâåðõíîñòÿìè, îòñ÷èòûâàåìîå â ìåðèäèàííîé ïëîñêî-
ñòè ïî íàïðàâëåíèþ ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà, è
E
—
ñðåäíåå çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè â ïðåäåëàõ îòðåçêà
D
a
,
òî
DY
E
=
2
p
r
D
aE
, ãäå
r
— ðàññòîÿíèå îò ñåðåäèíû îòðåçêà
D
a
äî îñè âðàùåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èìååì
E
U
n
r
a
E
= -
=
D
D
DY
D
1
2
p
.
Òàê êàê
D
U
=
const è
DY
E
=
const, òî ïîëó÷àåì
D
D
n
a
k r
=
2
,
ãäå
k
2
=
const
.
60
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.20
Ðèñ. 24.21