Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ðàâíîãî ïîòåíöèàëà èçìåíÿþòñÿ â ãåî-
ìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, çíàìåíàòåëü êîòîðîé ìîæåò áûòü âûáðàí ïðîèçâîëüíî.
Ïðèðàùåíèå
D
V
ôóíêöèè ïîòîêà ïðè ïåðåõîäå îò
n
-é ëèíèè íàïðÿæåííîñòè
ïîëÿ ê (
n
+ 1)-é ìû óñëîâèëèñü òàêæå ïðèíèìàòü îäèíàêîâûì äëÿ âñåõ ïðîìå-
æóòêîâ ìåæäó ëèíèÿìè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ:
D
V
V
V
=
-
=
-
=
+
+
n
n
n
n
t
pe
q
q
1
1
2
(
)
,
const
îòêóäà
q
q
q
n
n
n
+
-
=
=
1
D
const,
ò. å. ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ äîëæíû îòñòîÿòü äðóã îò äðóãà íà ðàâíûå óãëû.
Íà ðèñ. 24.10 âû÷åð÷åíî ïîëå óåäèíåííîãî ïðîâîäà, ïðè÷åì ïðèíÿòî
B
=
1,5
è
Dq
=
p
/4.
Ïîëå âíå ïðîâîäà òàêîå æå, êàê åñëè áû âåñü çàðÿä ïðîâîäà áûë ñîñðåäîòî÷åí
íà åãî îñè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ óåäèíåííîãî
ëèíåéíîãî ïðîâîäà ëþáîé ôîðìû ñå÷åíèÿ. Ëèíåéíûìè ïðîâîäàìè íàçûâàåì òà-
êèå, ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû ñå÷åíèé êîòîðûõ âåñüìà ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿ-
íèåì îò ïðîâîäîâ äî òî÷åê, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîëå.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû îñü ïðîâîäà ïðîõîäèëà íå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, à ÷å-
ðåç òî÷êó
z
1
=
x
1
+
j y
1
, òî ïîëå õàðàêòåðèçîâàëîñü áû ôóíêöèåé
z
t
pe
= +
= -
-
+
V
jU
j
z
z
C.
2
1
ln(
)
24.11. Ïîëå äâóõ ïëîñêîñòåé, ñõîäÿùèõñÿ ïîä óãëîì
Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ
z =
A
ln
z
+
C
. Ïîëàãàÿ îïÿòü
x =
V
è
h =
U
, áóäåì
èìåòü
z
q
= +
=
+
+
+
V
jU
A
r
j A
C
jC
ln
.
1
2
Óðàâíåíèå ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ
V
=
A
ln
r + C
1
=
const, ò. å.
r
=
const.
Óðàâíåíèå ëèíèé ðàâíîãî ïîòåíöèàëà
U
=
A
q
+ C
2
, ò. å.
q
=
const.
Ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îêðóæíîñòè, ëèíèè ðàâíî-
ãî ïîòåíöèàëà — ðàäèàëüíûå ïðÿìûå, è ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà —
ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñü
OZ
.
Ñîâìåñòèì ñ ëþáûìè äâóìÿ ïîâåðõíî-
ñòÿìè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ïîâåðõíîñòè äâóõ ìåòàëëè÷åñêèõ ïëàñòèí, èìåþùèå
ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, ðàâíûå ïî çíà÷åíèþ, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó
(ðèñ. 24.11).  íà÷àëå êîîðäèíàò ïëàñòèíû îòäåëåíû äðóã îò äðóãà âåñüìà òîí-
êèì ñëîåì äèýëåêòðèêà. Òàê êàê îñíîâíîå òðåáîâàíèå ïîñòîÿíñòâà ïîòåíöèàëà
íà ïîâåðõíîñòè êàæäîé ïëàñòèíû îêàçûâàåòñÿ óäîâëåòâîðåííûì, òî, ñëåäîâà-
òåëüíî, ïîëå òàêèõ ïëàñòèí õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàññìîòðåííîé ôóíêöèåé. Ïîñòî-
ÿííûå
A
è
C
2
íàéäåì èç óñëîâèé:
U
=
C
2
=
U
1
ïðè
q
=
0,
U
=
A
a
+ C
2
=
U
2
ïðè
q = a
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
A
a =
U
2
–
U
1
, ãäå
a
— óãîë ìåæäó ïëàñòèíàìè. Êðîìå òîãî, ln
r
=
0
è
C
1
=
V
1
ïðè
r
=
1. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ ïîëå, èìååò âèä
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
51
z
a
=
-
+
+
U
U
z V
jU
2
1
1
1
ln
.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ðàâíà
E
d
d z
U
U
z
U
U
r
=
=
-
=
-
z
a
a
2
1
2
1
,
ò. å. òàê æå, êàê è äëÿ óåäèíåííîãî ïðîâîäà, îíà èçìåíÿåòñÿ îáðàòíî ïðîïîðöèî-
íàëüíî
r
.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ôóíêöèÿ
z
=
A
ln
z
+
C
îòëè÷àåòñÿ îò ôóíêöèè,
ðàññìîòðåííîé â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, òîëüêî ìíîæèòåëåì
j
. Ýòî ïðèâîäèò ê
ïåðåìåíå ìåñòàìè
U
è
V
è ñîîòâåòñòâåííî ê ïåðåìåíå ìåñòàìè ëèíèé íàïðÿæåí-
íîñòè ïîëÿ è ëèíèé ðàâíîãî ïîòåíöèàëà (ñì. ðèñ. 24.10 è 24.11).
24.12. Ïîëå äâóõïðîâîäíîé ëèíèè ïåðåäà÷è
Ðàññìîòðèì âàæíûé äëÿ ïðàêòèêè ñëó÷àé — ïîëå äâóõïðîâîäíîé ëèíèè ïåðåäà-
÷è (ðèñ. 24.12). Ïðîâîäà, ðàñïîëîæåííûå äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèè 2
b
, âíà÷à-
ëå áóäåì ñ÷èòàòü ëèíåéíûìè.
Ïîëüçóÿñü ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ êîìïëåêñíîãî
ïîòåíöèàëà
z
t
pe
t
pe
= +
= -
-
-
-
+
V
jU
j
z
z
j
z
z
C
1
1
2
2
2
2
ln(
)
ln(
)
,
ãäå
t
1
è
t
2
— ëèíåéíûå ïëîòíîñòè çàðÿäîâ
ïðîâîäîâ;
z
1
è
z
2
— êîìïëåêñíûå êîîðäèíàòû
òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ ñ ïëîñêîñòüþ
XOY.
Ðàñïîëîæèâ îñè êîîðäèíàò òàê, êàê ïîêà-
çàíî íà ðèñ. 24.12 (
z
1
=
–
b
,
z
2
=
+
b
), è ó÷èòû-
âàÿ, ÷òî äëÿ äâóõïðîâîäíîé ëèíèè
t
1
=
–
t
2
=
t,
ïîëó÷àåì
z
t
pe
= +
= -
+
-
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
V
jU
j
z
b
z
b
C
2
ln
.
Îáîçíà÷àÿ
z
+
b
=
r e
j
1
1
q
è
z
–
b
=
r e
j
2
2
q
, ãäå
r
1
è
r
2
— ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè
z
äî
îñåé ïðîâîäîâ è
q
1
è
q
2
— ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ñ îñüþ
OX
, íàõîäèì
52
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.11
Ðèñ. 24.12
V
C
= -
-
+
t
pe
q
q
2
2
1
1
(
)
;
U
r
r
C
=
+
t
pe
2
2
1
2
ln
.
Ïîëîæèâ
C
2
=
0, ïîëó÷àåì
U
=
0 ïðè
r
1
=
r
2
, ò. å. ëèíèåé íóëåâîãî ïîòåíöèàëà
ïðè
C
2
=
0 ÿâëÿåòñÿ îñü îðäèíàò. Óðàâíåíèå ëþáîé ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà
èìååò âèä
U
r
r
=
=
t
pe
2
2
1
ln
const,
èëè
r
r
k
2
1
= =
const
.
Ïîêàæåì, ÷òî ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ñóòü îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè íà
îñè
OX
. Èìååì
r
r
b x
y
b x
y
k
2
2
1
2
2
2
2
2
2
=
-
+
+
+
=
(
)
(
)
èëè
(
)
(
)
(
)
(
).
1
2 1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
-
-
+
+ -
= -
-
k x
k bx
k y
b
k
Ðàçäåëèì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íà (1 –
k
2
) è äîáàâèì ñ êàæäîé ñòîðîíû ïî
÷ëåíó
1
1
2
2
2
+
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
k
k
b
2
. Ïîëó÷èì
x
k
k
bx
k
k
b
y
b
k
k
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
-
+
-
+
+
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
+
= -
+
+
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
2
2
b
,
èëè
x
k
k
b
y
kb
k
,
- +
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ + =
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
÷òî ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè öåíòðà
x
k
k
b
y
0
2
2
0
1
1
0
= +
-
=
è
è ðàäèóñîì
R
k
k
b
=
-
2
1
2
.
×òîáû ïðèðàùåíèå ïîòåíöèàëà ïðè ïåðåõîäå îò ëþáîé ëèíèè ðàâíîãî ïîòåí-
öèàëà ê ñîñåäíåé îñòàâàëîñü ïîñòîÿííûì, äîëæíî áûòü ñîáëþäåíî óñëîâèå
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
53
D
U
U
U
r
r
r
r
,
,
,
,
=
-
=
-
æ
è
+
+
+
n
n
n
n
n
n
t
pe
1
2
1
1
1
2
1
2
ln
ln
çç
ö
ø
÷÷ =
=
+
t
pe
n
n
2
1
ln
,
k
k
const
ò. å. ÷èñëà
k
ïðè âîçðàñòàíèè ïîðÿäêîâîãî íîìåðà
n
ëèíèé äîëæíû èçìåíÿòüñÿ â
ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:
k
k
B
n
n
+
=
=
1
const
.
Ïîëîæèâ â âûðàæåíèè äëÿ ôóíêöèè ïîòîêà
C
1
=
0, ïîëó÷èì
V
=
0 ïðè
q
2
= q
1
,
ò. å. íà÷àëüíîé ëèíèåé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïðè
C
1
=
0 ÿâëÿþòñÿ ó÷àñòêè îñè
àáñöèññ, óõîäÿùèå îò ïðîâîäîâ â áåñêîíå÷íîñòü. Óðàâíåíèå ëþáîé ëèíèè íàïðÿ-
æåííîñòè ïîëÿ èìååò ôîðìó
V
= -
-
=
-
= =
t
pe
q
q
q
q
J
2
2
1
2
1
(
)
const,
èëè
const
è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì äóãè îêðóæ-
íîñòè, ïåðåñåêàþùåéñÿ ñ ïðîâîäàìè, ÷òî âèäíî íå-
ïîñðåäñòâåííî èç ðèñ. 24.13. Äåéñòâèòåëüíî, óãîë
QMP
, ïîä êîòîðûì âèäåí îòðåçîê
QP
èç òî÷åê
M
(
x
,
y
), ëåæàùèõ íà ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, ðà-
âåí óãëó
J
è îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Êîîðäèíàòû öåí-
òðà îêðóæíîñòè:
¢
x
0
=
0 è
¢
y
0
=
–
b
ctg
b
. Òàê êàê óãëû
QO
1
F
è
QMP
ðàâíû ìåæäó ñîáîé, êàê èçìåðÿåìûå
îäíîé è òîé æå äóãîé
QSF
, òî
¢ = -
-
=
y
b
b
0
ctg
ctg
(
)
p J
J.
×òîáû ïîäðàçäåëèòü ïîëå íà òðóáêè ðàâíîãî ïîòîêà, ñëåäóåò ñ÷èòàòü ðàçíîñòü
D
V
=
V
n
+ 1
–
V
n
îäèíàêîâîé äëÿ äâóõ ëþáûõ ñîñåäíèõ ëèíèé. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäè-
ìî ïðè ïåðåõîäå îò ëþáîé ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ê ñîñåäíåé èçìåíÿòü óãîë
J
íà ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó
DJ
.
Íà ðèñ. 24.14 ïîñòðîåíà êàðòèíà ïîëÿ äâóõ ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ, ïðè÷åì ïðè-
íÿòî
Â
=
3 è
DJ = p
/6.
Ïðîâîäà ðåàëüíîé ëèíèè ïåðåäà÷è èìå-
þò êîíå÷íûå ñå÷åíèÿ. Ðàñïðåäåëåíèå ýëåê-
òðè÷åñêîãî çàðÿäà ïî ïîâåðõíîñòè ïðîâîäîâ
ïðè ýòîì çàâèñèò îò ôîðìû èõ ñå÷åíèé è áó-
äåò íåðàâíîìåðíûì äàæå äëÿ ïðîâîäîâ
êðóãëîãî ñå÷åíèÿ. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå
ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè ïðèíÿòü âî
âíèìàíèå ïðèòÿæåíèå çàðÿäîâ ðàçíîãî çíà-
êà, ðàñïîëîæåííûõ íà ïðÿìîì è îáðàòíîì
ïðîâîäàõ. Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà
äîëæíà èìåòü ìàêñèìóì â òî÷êàõ äâóõ ïðî-
âîäîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà êðàò÷àéøåì ðàñ-
ñòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Ðàñïðåäåëåíèå çàðÿ-
54
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.13
Ðèñ. 24.14
äà ïî ïîâåðõíîñòè ïðîâîäîâ íåèçâåñòíî, ÷òî âåñüìà îñëîæíÿåò çàäà÷ó. Îäíàêî â
âàæíîì ÷àñòíîì ñëó÷àå äëÿ ïðîâîäîâ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ çàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøå-
íà òî÷íî, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â ïîëå äâóõ ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ âñå ïîâåðõíîñòè
ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ÿâëÿþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè êðóãëûõ öèëèíäðîâ. Âñåãäà ìîæ-
íî òàê ðàñïîëîæèòü îñè ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ, ÷òîáû äâå ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî ïî-
òåíöèàëà ñîâïàëè ñ ïîâåðõíîñòÿìè ðåàëüíûõ ïðîâîäîâ (ñì. ðèñ. 24.14).
Ïîëå âíóòðè ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäîâ áóäåò îòñóòñòâîâàòü. Ïîëå æå â äèýëåê-
òðèêå ïðè òàêîé çàìåíå ðåàëüíûõ ïðîâîäîâ ýêâèâàëåíòíûìè èì ëèíåéíûìè îñ-
òàíåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, òàê êàê ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåòñÿ îñíîâíîå ãðàíè÷íîå
óñëîâèå — ïîñòîÿíñòâî ïîòåíöèàëà íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà. Òàêèì îáðàçîì, çà-
äà÷à ðàñ÷åòà ïîëÿ äâóõ ïðîâîäîâ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ ïîëî-
æåíèÿ ýêâèâàëåíòíûõ èì ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ èëè, êàê ãîâîðÿò, ê íàõîæäåíèþ
ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê è õ î ñ å é ïðîâîäîâ.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
D
ðàññòîÿíèå ìåæäó ãåîìåòðè÷åñêèìè îñÿìè ïðîâîäîâ è ÷å-
ðåç
h
=
D
/2 ðàññòîÿíèå îò ãåîìåòðè÷åñêîé îñè äî ïëîñêîñòè íóëåâîãî ïîòåíöèà-
ëà. Ïóñòü
x
0
è
R
— êîîðäèíàòà öåíòðà è ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà,
ñîâïàäàþùåé ñ îêðóæíîñòüþ ñå÷åíèÿ ïðîâîäà. Èìååì
h
=
|
x
0
| è ñîãëàñíî âûðà-
æåíèÿì äëÿ
x
0
è
R
ïîëó÷àåì
h
k
k
b
R
k
k
b
= +
-
=
-
1
1
2
1
2
2
2
;
.
Îòñþäà íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî
h
2
–
R
2
=
b
2
è, ñëåäîâàòåëüíî,
b
h
R
=
-
2
2
.
Ýòà ôîðìóëà è äàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ îñåé
ïî çàäàííûì ðàññòîÿíèþ
D
=
2
h
ìåæäó ãåîìåòðè÷åñêèìè îñÿìè è ðàäèóñó
R
ñå-
÷åíèé ïðîâîäîâ.
Íà ðèñ. 24.14 çàøòðèõîâàíû ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ îêîëî êîíòóðîâ ñå÷åíèé. Òàê
êàê ïîëå ïîäðàçäåëåíî íà òðóáêè ðàâíîãî ïîòîêà (
D
V
=
const), òî ãóñòîòà ëèíèé
íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ âñþäó ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ.
Êàðòèíà ïîëÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå, îò÷åòëèâî ïîêàçûâàåò, ÷òî íàïðÿæåí-
íîñòü ïîëÿ èìååò ìàêñèìóì â òî÷êàõ
A
1
è
A
2
. Îêîëî ýòèõ òî÷åê äèýëåêòðèê íàõî-
äèòñÿ â íàèáîëåå íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè, è ïðè ïîâûøåíèè íàïðÿæåíèÿ ìåæäó
ïðîâîäàìè íàðóøåíèå ýëåêòðè÷åñêîé ïðî÷íîñòè äèýëåêòðèêà íà÷èíàåòñÿ èìåí-
íî â ýòèõ òî÷êàõ.
24.13. Ïîëå ïàðàëëåëüíûõ íåñîîñíûõ öèëèíäðîâ
Ðåøåííàÿ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå çàäà÷à äëÿ äâóõ ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ äàåò
âîçìîæíîñòü íàéòè ïîëå ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè íåñîîñíûìè öèëèíäðà-
ìè, èìåþùèìè êðóãëûå ñå÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ ðàäèóñîâ
R
1
è
R
2
(ðèñ. 24.15). Äåéñò-
âèòåëüíî, âñåãäà ìîæíî òàê ðàñïîëîæèòü îñè ëèíåéíûõ ïðîâîäîâ, ÷òîáû â èõ
ïîëå äâå ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ñîâïàëè ñ ïîâåðõíîñòÿìè çàäàí-
íûõ ïðîâîäÿùèõ öèëèíäðîâ. Ïóñòü
D
— ðàññòîÿíèå ìåæäó ãåîìåòðè÷åñêèìè
îñÿìè öèëèíäðîâ,
h
1
è
h
2
— ðàññòîÿíèÿ îò ãåîìåòðè÷åñêèõ îñåé äî ïëîñêîñòè ïî-
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
55