Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
Òàêèì îáðàçîì,
C
l
h h h
R R R
r r r
r r r
=
æ
è
ç
ç
2
2
1
2
3
3
1
2
3
3
12 23 31
3
12 23 31
3
pe
ln
'
'
'
ö
ø
÷
÷
.
Ïðè ðàñïîëîæåíèè ïðîâîäîâ ñîãëàñíî ñõåìå ðèñ. 25.12 èìååì
r
r
D
r
D
h
h
h
h
12
23
31
1
2
3
2
=
=
=
=
=
=
;
;
;
r
r
h
D
r
h
D
12
23
2
2
31
2
2
4
4
4
'
'
'
=
=
+
=
+
;
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
C
l
hD
R
h
D
h
D
=
+
+
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
2
2
4
2
2
2
2
3
pe
ln
(
)
.
Ïðåíåáðåãàÿ âëèÿíèåì çåìëè, ò. å. ïðèíèìàÿ
D
<<
h
, ïîëó÷èì
C
l
D
R
=
2
2
3
pe
ln
.
25.6. Ìåòîä ñðåäíèõ ïîòåíöèàëîâ äëÿ ðàñ÷åòà ïîòåíöèàëüíûõ
êîýôôèöèåíòîâ è åìêîñòåé â ñèñòåìå ïðîâîäîâ
Äëÿ ðàñ÷åòà åìêîñòè ñëîæíûõ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç íåñêîëüêèõ ïðîâîäîâ êî-
íå÷íîé äëèíû, íàïðèìåð åìêîñòè ðàäèîàíòåíí, øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðèáëè-
æåííûé ìåòîä, ïðåäëîæåííûé Õîó.
 ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ïîòåíöèàë ïðîâîäíèêà îäèíàêîâ âî âñåõ åãî òî÷-
êàõ, çàðÿä æå ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà íåðàâíîìåðíî. Õîó
ïðåäëîæèë äëÿ âû÷èñëåíèÿ åìêîñòè èñõîäèòü èç îáðàòíîãî, ïî ñóùåñòâó, íå îò-
âå÷àþùåãî äåéñòâèòåëüíîñòè ïðåäïîëîæåíèÿ. Èìåííî: ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çà-
ðÿä ðàñïðåäåëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêîâ è äëÿ ëèíåéíûõ
ïðîâîäíèêîâ — ðàâíîìåðíî ïî èõ äëèíå. Âû÷èñëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèà-
ëà ïî ïîâåðõíîñòè èëè ïî äëèíå ïðîâîäíèêîâ, è â ôîðìóëó äëÿ åìêîñòè ââî-
äèòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå âû÷èñëåííûõ òàêèì îáðàçîì ïîòåíöèàëîâ ïðîâîäíèêîâ.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì áóäåì íàçûâàòü òàêîé ìåòîä ì å ò î ä î ì ñ ð å ä í è õ ï î -
ò å í ö è à ë î â. Ýòîò ìåòîä, õîòÿ è îñíîâàí íà ïðåäïîëîæåíèè, íå ñîîòâåòñòâóþ-
ùåì ðåàëüíûì óñëîâèÿì, â ðÿäå ñëó÷àåâ, íàïðèìåð ïðè âû÷èñëåíèè åìêîñòè
ñèñòåìû, îáðàçîâàííîé ïàðàëëåëüíûìè ïðîâîäàìè, äàåò äîñòàòî÷íî òî÷íûå ðå-
çóëüòàòû. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî òåì, ÷òî íåðàâíîìåðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà çà-
ìåòíî ñêàçûâàåòñÿ ëèøü íà êîíöàõ òàêèõ ïðîâîäîâ. Óïðîùåíèå æå ðàñ÷åòà äîñ-
òèãàåòñÿ âåñüìà áîëüøîå, òàê êàê ïðè çàäàííîì ðàñïðåäåëåíèè çàðÿäà ïîòåíöèàë
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì:
Ãëàâà 25. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòè
96
U
ds
r
U
dl
r
s
l
=
=
ò
ò
1
4
1
4
pe
s
pe
t
è
.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ äâà îòðåçêà ïðîâîäîâ,
äëèíû êîòîðûõ
l
1
è
l
2
(ðèñ. 25.14). Òðåáóåòñÿ âû÷èñ-
ëèòü ïîòåíöèàëüíûé êîýôôèöèåíò
a
12
. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî
q
1
=
0 è
q
2
¹
0. Ïðè ýòîì èìååì
U
q
1
12
2
= a
.
Ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåííûì ìåòîäîì, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî çàðÿä
q
2
ðàñïðåäåëåí
ðàâíîìåðíî âäîëü âòîðîãî ïðîâîäà ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ
t
2
=
q
2
/
l
2
. Ïîòåíöèàë
â íåêîòîðîé òî÷êå ïåðâîãî ïðîâîäà, îïðåäåëÿåìûé çàðÿäîì
q
2
, áóäåò ðàâåí
¢ =
=
ò
ò
U
dl
r
q
l
dl
r
l
l
1
2
2
2
2
2
1
4
4
2
2
pe
t
pe
,
ïðè÷åì èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ âäîëü âñåãî âòîðîãî ïðîâîäà. Ñðåäíåå
çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà ïåðâîãî ïðîâîäà ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ
âäîëü ïåðâîãî ïðîâîäà:
U
l
U dl
q
l l
dl dl
r
l
l
l
1
1
1
1
2
1 2
1
2
1
4
1
2
1
=
¢
=
ò
ò
ò
pe
.
Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ïîòåíöèàëüíûé êîýôôèöèåíò îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìó-
ëîé
a
pe
12
1 2
1
2
1
4
2
1
=
ò
ò
l l
dl dl
r
l
l
.
Âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîãî êîýôôèöèåíòà ñ îäèíàêîâûìè èíäåêñàìè, íà-
ïðèìåð
a
11
äëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî îòðåçêà ïðîâîäà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ, ìîæåò áûòü
íàéäåíî ïóòåì ñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé. Ïðåäïîëàãàåì ñîîòâåòñòâåííî ïðèíÿ-
òîìó äîïóùåíèþ, ÷òî çàðÿä, íàõîäÿùèéñÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà, ðàâíîìåðíî
ðàñïðåäåëåí ïî äëèíå ïðîâîäà. Íàõîäèì ïîòåíöèàë
U
¢
, ñîçäàâàåìûé ýòèì çàðÿ-
äîì â ðàçíûõ òî÷êàõ îñè ïðîâîäà, è âû÷èñëÿåì ñðåäíåå çíà÷åíèå
U
ïîòåíöèàëà
âäîëü îñè. Ïóñòü
r
— ðàññòîÿíèå îò êîëüöåâîãî ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíè-
êà, èìåþùåãî äëèíó
dl
¢
â íàïðàâëåíèè îñè ïðî-
âîäíèêà (ðèñ. 25.15), äî ýëåìåíòà
dl
îñè ïðîâîä-
íèêà,
l
— äëèíà ïðîâîäíèêà è
r
0
— ðàäèóñ åãî
ñå÷åíèÿ. Ïîòåíöèàë
U
¢
â íåêîòîðîé òî÷êå îñè,
îïðåäåëÿåìûé âñåì çàðÿäîì
q
ïðîâîäíèêà, ðàâåí
U
q
l
dl
r
l
'
'
=
ò
1
4
pe
.
Ãëàâà 25. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòè
97
Ðèñ. 25.14
Ðèñ. 25.15
Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà âäîëü âñåé îñè áóäåò
U
l
U dl
q
l
dl dl
r
l
l
l
=
=
ò
ò
ò
1
4
2
'
'
pe
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
a
pe
11
2
1
4
=
¢
ò
ò
l
dl dl
r
l
l
,
ïðè÷åì íàèìåíüøåå çíà÷åíèå
r
åñòü
r
0
.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà îïðåäåëèì, ïîëüçóÿñü ìåòî-
äîì ñðåäíèõ ïîòåíöèàëîâ, ïîòåíöèàëüíûé êîýô-
ôèöèåíò
a
12
äëÿ ïàðàëëåëüíûõ îòðåçêîâ ïðîâîäîâ,
ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè
D
äðóã îò äðóãà è
èìåþùèõ îäèíàêîâûå äëèíû
l
1
=
l
2
=
l
, ïðè÷åì íà÷à-
ëà îòðåçêîâ ëåæàò íà îäíîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê íèì.
Îñè êîîðäèíàò ðàñïîëîæèì òàê, êàê ïîêàçàíî íà
ðèñ. 25.16. Èìååì
a
pe
12
2
1
2
2
2
1
2
0
0
1
4
=
+
-
ò
ò
l
dx dx
D
x
x
l
l
(
)
.
Íî
dx
D
x
x
d x
x
D
x
x
l
x
D
l
2
2
2
1
2
0
2
1
2
2
1
2
1
+
-
=
-
+
-
=
-
+
ò
(
)
(
)
(
)
Arsh
Arsh
x
D
x
l x
1
1
1
-
-
ò
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
a
pe
12
2
1
1
1
0
1
4
=
-
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
ò
l
l
x
D
x
D
dx
l
Arsh
Arsh
.
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî
Arsh
Arsh
l
x
D
dx
x
D
dx
l
l
-
=
ò
ò
1
1
0
1
1
0
.
Çàìå÷àÿ, ÷òî
Arsh
Arsh
Arsh
Arsh
Arsh
y dy
y
y
y d
y
y
y
y dy
y
y
y
ò
ò
ò
=
-
=
=
-
+
=
(
)
1
2
-
+
+
1
2
y
const,
íàõîäèì
a
pe
pe
12
2
1
1
0
2
1
1
1
2
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0
1
4
2
2
1
=
=
-
+
ò
l
x
D
dx
D
l
x
D
x
D
x
D
l
Arsh
Arsh
l
l
D
l
l
D
l
D
l
D
l
l
D
D
=
=
-
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ =
-
1
2
1
1
1
2
2
2
2
pe
pe
Arsh
Arsh
l
D
l
2
1
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
.
98
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 25.16
Ïðè âû÷èñëåíèè êîýôôèöèåíòîâ
a
11
è
a
22
ñ îäèíàêîâûìè èíäåêñàìè äëÿ
ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäíèêà, èìåþùåãî êðóãëîå ñå÷åíèå ðàäèóñà
r
0
, ðåçóëüòàò
èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèâåäåò ê ôîðìóëå, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç òîëüêî ÷òî ïîëó-
÷åííîé ôîðìóëû ïóòåì çàìåíû
D
íà
r
0
. Ñëåäîâàòåëüíî,
a
pe
11
0
0
2
2
0
1
2
1
=
-
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
l
l
r
r
l
r
l
Arsh
.
Òàê êàê ïðè âûâîäå ýòîé ôîðìóëû íàëè÷èå äðóãîãî ïðîâîäà íå ó÷èòûâàëîñü,
òî åìêîñòü óåäèíåííîãî öèëèíäðà êîíå÷íîé äëèíû ïîëó÷àåòñÿ èç âûðàæåíèÿ
C
l
l
r
r
l
r
l
=
=
-
+ +
1
2
1
11
0
0
2
2
0
a
pe
Arsh
.
Çàìåòèì, ÷òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
Arsh
l
r
l
r
l
r
0
0
2
0
2
1
=
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ln
.
Ïðè
l
>>
r
0
áóäåò
Arsh
l
r
r
l
r
l
l
r
l
r
l
r
0
0
2
2
0
0
0
0
1
2
1
2 1
0 3
-
+ +
»
- =
+
- =
-
ln
ln
ln
ln
, 07.
Ñëåäîâàòåëüíî,
C
»
-
»
2
0 307
2
0
0
pe
pe
l
l
r
l
l
r
ln
,
ln
.
Åìêîñòü ìåæäó öèëèíäðàìè íàéäåòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:
U
q
q
U
q
q
1
11 1
12
2
2
21 1
22
2
=
+
=
+
a
a
a
a
;
.
Ïðèíèìàÿ
q
2
=
–
q
1
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
a
21
= a
12
è
a
22
= a
11
, ïîëó÷àåì
U
q
U
q
1
11
12
1
2
11
12
1
=
-
= -
-
(
) ;
(
) ;
a
a
a
a
C
q
U
U
=
-
=
-
1
1
2
11
12
1
2(
)
,
a
a
ãäå
a
12
è
a
11
íàõîäÿòñÿ ïî òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííûì ôîðìóëàì.
Ïðè
l
>>
r
0
è
l
>>
D
èìååì
a
a
pe
11
12
0
1
2
2
1
2
1
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»
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
ê
ù
û
ú =
l
l
r
l
D
ln
ln
1
2
0
pe
l
D
r
ln
è, ñëåäîâàòåëüíî,
C
l
D r
» pe
ln
,
0
Ãëàâà 25. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòè
99
÷òî ñîâïàäàåò ñ âûâåäåííîé ðàíåå ôîðìóëîé äëÿ åìêîñòè äâóõïðîâîäíîé ëèíèè
ïåðåäà÷è (ñì. § 25.1).
25.7. Âû÷èñëåíèå åìêîñòè ïî êàðòèíå ïîëÿ
Åìêîñòü ìåæäó äâóìÿ öèëèíäðè÷åñêèìè òåëàìè áîëüøîé äëèíû èëè ìåæäó
äâóìÿ òåëàìè âðàùåíèÿ ñ îáùåé îñüþ ìîæíî âû÷èñëèòü, ïîëüçóÿñü êàðòèíîé
ïîëÿ, ïîñòðîåííîé õîòÿ áû ïðèáëèæåííûì ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì, èçëîæåííûì
â §§ 24.15–24.17.
Îòíîøåíèå ïîòîêà âåêòîðà ñìåùåíèÿ
DY
D
ñêâîçü ñå÷åíèå îäíîé òðóáêè ê
ïðèðàùåíèþ ïîòåíöèàëà
D
U
ìåæäó ñîñåäíèìè ëèíèÿìè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà, ñî-
ãëàñíî óðàâíåíèÿì, ïðèâåäåííûì â § 24.17, ðàâíî:
äëÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ
DY
D
D
D
D
p
U
l
a
n
k
l
=
=
e
1
1
;
äëÿ ïîëÿ òåë âðàùåíèÿ
DY
D
D
D
D
p
U
r
a
n
k
=
=
2
2
1
2
p e
p
.
Çàðÿä òåëà ðàâåí, ñîãëàñíî ïîñòóëàòó Ìàêñâåëëà, ïîëíîìó ïîòîêó ñìåùåíèÿ
ñêâîçü ñå÷åíèÿ âñåõ òðóáîê, íà÷èíàþùèõñÿ íà òåëå. Åñëè ÷èñëî ýòèõ òðóáîê ðàâ-
íî
m
1
, òî
q
=
m
1
DY
D
. Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó äâóìÿ òåëàìè ðàâíà
U
1
–
U
2
=
=
m
2
D
U
, ãäå
m
2
— ÷èñëî èíòåðâàëîâ ìåæäó ñîñåäíèìè ëèíèÿìè ðàâíîãî ïîòåí-
öèàëà. Òàêèì îáðàçîì,
C
q
U
U
U
m
m
k
m
m
D
=
-
=
=
1
1
2
1
2
3
1
2
DY
D
,
ïðè÷åì äëÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ
k
3
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l
/
k
1
, à äëÿ ïîëÿ òåë âðàùåíèÿ
k
3
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2
p
/
k
2
. ×èñëî
k
3
çàäàþò, ïðèñòóïàÿ ê ãðàôè÷åñêîìó ïîñòðîåíèþ ïîëÿ. Îíî
îïðåäåëÿåò ôîðìó ÿ÷ååê ïîëÿ, ò. å. îòíîøåíèå
D
a
/
D
n
. ×èñëà
m
1
è
m
2
íàõîäÿò èç
ïîñòðîåííîé êàðòèíû ïîëÿ.
100
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ