Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003

íàïðÿæåíèÿ òðåõôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà, ïèòàþùå-
ãî ëèíèþ ïåðåäà÷è, îáû÷íî çàçåìëÿþò íåïîñðåäñòâåí-
íî èëè ÷åðåç íåêîòîðîå ñîïðîòèâëåíèå íåéòðàëüíóþ
òî÷êó òðàíñôîðìàòîðà (ðèñ. 26.4). Ýòèì äîñòèãàåòñÿ
òî, ÷òî íàïðÿæåíèÿ ïðîâîäîâ ëèíèè ïî îòíîøåíèþ ê
çåìëå ïðè íîðìàëüíîì ðåæèìå íå ìîãóò áûòü áîëü-
øå ôàçíûõ íàïðÿæåíèé. Ïðè ïîâðåæäåíèè èçîëÿöèè
îäíîãî èç ôàçíûõ ïðîâîäîâ âîçíèêàåò òîê êîðîòêîãî
çàìûêàíèÿ, ïðîõîäÿùèé îò ìåñòà ïîâðåæäåíèÿ ÷åðåç
çåìëþ è çàçåìëèòåëü ê íåéòðàëüíîé òî÷êå òðàíñôîðìàòîðà. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê,
ïðîõîäÿ ÷åðåç çåìëþ, âñòðå÷àåò íåêîòîðîå ñîïðîòèâëåíèå, íàçûâàåìîå ñ î ï ð î -
ò è â ë å í è å ì ç à ç å ì ë å í è ÿ. Ïî ñóùåñòâó, ýòî — ñîïðîòèâëåíèå çåìëè, êîòîðîå
âñòðå÷àåò òîê ïðè ðàñòåêàíèè îò çàçåìëèòåëÿ. Âäîëü ïîâåðõíîñòè çåìëè ñîçäàåò-
ñÿ ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ, êîòîðîå âáëèçè îò ìåñò çàçåìëåíèÿ ìîæåò äîñòèãàòü
îïàñíûõ äëÿ æèçíè ÷åëîâåêà çíà÷åíèé óæå íà äëèíå øàãà ÷åëîâåêà. Ïîýòîìó
âåñüìà ñóùåñòâåííî óìåòü âû÷èñëèòü ñîïðîòèâëåíèå ðàñòåêàíèþ òîêà â çåìëå
ïðè ðàçëè÷íûõ êîíñòðóêöèÿõ çàçåìëèòåëåé.

Ñ çàçåìëåíèåì îòäåëüíûõ òî÷åê öåïè âñòðå÷àåìñÿ â öåïÿõ êàê ïåðåìåííî-

ãî, òàê è ïîñòîÿííîãî òîêà. Â ïðèâåäåííîì ïðèìåðå â çåìëå ïðîòåêàåò ïåðåìåí-
íûé òîê. Ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåííîãî òîêà â ïðîâîäÿùåé ñðåäå, â ïðèíöèïå,
äîëæíî îòëè÷àòüñÿ îò ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà, òàê êàê ïðè ïåðåìåí-
íîì òîêå â êîíòóðàõ, êîòîðûå ìîæíî ñåáå ïðåäñòàâèòü â ïðîâîäÿùåé ñðåäå, âîç-
íèêàþò èíäóöèðîâàííûå ýëåêòðîäâèæóùèå ñèëû, îêàçûâàþùèå âëèÿíèå íà ðàñ-
ïðåäåëåíèå òîêà. Îäíàêî ââèäó áîëüøîãî óäåëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ çåìëè ïðè
âû÷èñëåíèè òîêîâ âáëèçè ýëåêòðîäîâ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, âî âñÿêîì ñëó÷àå
ïðè ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòå, èíäóöèðîâàííûìè ýëåêòðîäâèæóùèìè ñèëàìè ïî
ñðàâíåíèþ ñ àêòèâíûì ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ è âåñòè ðàñ÷åò, êàê ïðè ïîñòîÿí-
íîì òîêå.

Ôîðìóëû äëÿ ïðîâîäèìîñòè

G

=

i

/

U

çàçåìëåíèÿ ìîãóò áûòü íàïèñàíû íà îñ-

íîâàíèè ìåòîäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé àíàëîãèè ïî èìåþùèìñÿ ôîðìóëàì äëÿ åì-
êîñòè

C

=

q

/

U

ñîîòâåòñòâåííî ðàñïîëîæåííûõ òåë.

 ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ îáû÷íî ðàâíûì íóëþ ïðèíèìàþò ïîòåíöèàë

áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê. Â èíòåðåñóþùèõ íàñ çàäà÷àõ, îòíîñÿùèõñÿ ê òî-
êàì â çåìëå, òàêæå ïðèíèìàþò ðàâíûì íóëþ ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ
òî÷åê èëè ïðàêòè÷åñêè äîñòàòî÷íî óäàëåííûõ îò ýëåêòðîäà òî÷åê. Ïðè ýòîì â
âûðàæåíèè

G

=

i

/

U

âåëè÷èíà

U

åñòü ïîòåíöèàë ýëåêòðîäà, òàê æå êàê â âûðàæå-

íèè

Ñ

=

q

/

U

âåëè÷èíà

U

åñòü ïîòåíöèàë çàðÿæåííîãî òåëà.

Íåîáõîäèìî åùå çàìåòèòü, ÷òî â çåìëå ëèíèè òîêà íå óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü,

à ñîáèðàþòñÿ ó äðóãîãî ýëåêòðîäà èëè, êàê â ïðèìåðå, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 26.4,
ó ìåñòà ïîâðåæäåíèÿ èçîëÿöèè ëèíèè. Îäíàêî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìàëî ñêàçû-
âàåòñÿ íà ðàñïðåäåëåíèè òîêà îêîëî äàííîãî ýëåêòðîäà è íà çíà÷åíèè ñîîòâåòñò-
âóþùåãî åìó ñîïðîòèâëåíèÿ çàçåìëåíèÿ, òàê êàê îñíîâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàñòå-
êàíèþ òîêà ñîñðåäîòî÷åíî âáëèçè ýëåêòðîäà, ãäå ïëîòíîñòü òîêà â çåìëå èìååò
íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ.

Ãëàâà 26. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

131

Ðèñ. 26.4

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû. Òàê êàê åìêîñòü óåäèíåí-

íîãî øàðà ðàäèóñà

r

ðàâíà

C

r

=

4

pe

,

òî ïðîâîäèìîñòü çàçåìëåíèÿ äëÿ øàðîâîãî ýëåêòðîäà, ïîãðó-
æåííîãî â çåìëþ ñòîëü ãëóáîêî, ÷òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âëèÿ-
íèåì ïîâåðõíîñòè çåìëè (ðèñ. 26.5), äîëæíà áûòü ðàâíà

G

R

r

=

=

1

4

pg

,

ïðè÷åì

R

— ñîïðîòèâëåíèå çàçåìëåíèÿ.

Åñëè ýëåêòðîä ðàñïîëîæåí áëèçêî îò ïîâåðõíîñòè çåìëè, òî ëèíèè òîêà èñêà-

æàþòñÿ, êàê ýòî âèäíî èç ðèñ. 26.6. Â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòî-
äîì çåðêàëüíûõ èçîáðàæåíèè. Ëèíèè òîêà ó ïîâåðõíîñòè çåìëè äîëæíû áûòü ê
íåé êàñàòåëüíû. Ýòî óñëîâèå îñòàíåòñÿ óäîâëåòâîðåííûì, åñëè ìûñëåííî çàïîë-
íèòü âîçäóøíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè ïðîâîäÿùåé ñðåäîé ñ òà-
êîé æå, êàê ó çåìëè, óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòüþ è ïîìåñòèòü â ýòó ñðåäó ýëåêòðîä,
ÿâëÿþùèéñÿ çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì äåéñòâèòåëüíîãî ýëåêòðîäà îòíîñèòåëü-
íî ïîâåðõíîñòè çåìëè. Òîê, âûõîäÿùèé èç ìíèìîãî ýëåêòðîäà, äîëæåí áûòü ðà-
âåí ïî çíà÷åíèþ è ïî çíàêó òîêó, âûõîäÿùåìó èç äåéñòâèòåëüíîãî ýëåêòðîäà
â çåìëþ. Ïðîâîäèìîñòü çàçåìëåíèÿ äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ýëåêòðîäà, î÷åâèä-
íî, ðàâíà ïîëîâèíå ïðîâîäèìîñòè ñèñòåìû, îáðàçîâàííîé ýëåêòðîäîì è åãî çåð-
êàëüíûì èçîáðàæåíèåì. Òàê, íàïðèìåð, ïðîâîäèìîñòü äëÿ ýëåêòðîäà â ôîðìå
ïîëóøàðèÿ, ðàñïîëîæåííîãî ó ïîâåðõíîñòè çåìëè òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 26.7,
ðàâíà

G

R

r

=

=

1

2

pg

.

×àñòî ïðèìåíÿþò çàçåìëèòåëè â âèäå òðóá, çàáèòûõ âåðòèêàëüíî â çåìëþ

(ðèñ. 26.8).

132

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 26.5

Ðèñ. 26.6

Ðèñ. 26.7

Ðèñ. 26.8

Ïóñòü

l

— äëèíà òðóáû è

r

— åå ðàäèóñ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäèí êîíåö òðóáû

íàõîäèòñÿ ó ñàìîé ïîâåðõíîñòè çåìëè. Äëèíà òðóáû âìåñòå ñ åå çåðêàëüíûì èçî-
áðàæåíèåì ðàâíà 2

l.

Åìêîñòü öèëèíäðà, èìåþùåãî äëèíó 2

l

è ðàäèóñ

r

, ïðè 2

l

>>

r

ñîãëàñíî ôîðìó-

ëå, ïðèâåäåííîé â § 25.6, ïðèáëèæåííî ðàâíà

C

l

l

r

»

2

2

2

pe

ln

.

Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîâîäèìîñòü äëÿ ñèñòåìû èç ýëåêòðîäà è åãî çåðêàëüíîãî

èçîáðàæåíèÿ ðàâíà

G

l
l

r

»

4

2

pg

ln

.

Òàêèì îáðàçîì, ïðîâîäèìîñòü çàçåìëåíèÿ äëÿ ýëåêòðîäà â ôîðìå âåðòèêàëü-

íîé òðóáû âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

G

l
l

r

=

2

2

pg

ln

.

Äëÿ óìåíüøåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ çàçåìëåíèÿ çàçåìëÿþùåå óñòðîéñòâî ÷àñòî

âûïîëíÿþò â âèäå ðÿäîâ çàáèòûõ â çåìëþ òðóá, ñîåäèíåííûõ ìåæäó ñîáîé ìå-
òàëëè÷åñêèìè ïîëîñàìè. Ðàñ÷åò ïðîâîäèìîñòè çàçåìëåíèÿ ïðè òàêîì ñëîæíîì
çàçåìëèòåëå ìîæåò áûòü âûïîëíåí ïî àíàëîãèè ñ ðàñ÷åòîì åìêîñòè ñèñòåìû ñî-
åäèíåííûõ ìåæäó ñîáîé ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ ïðîâîäíèêîâ. Ñ ýòîé öåëüþ
ñ óñïåõîì ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ìåòîä ñðåäíèõ ïîòåíöèàëîâ, èçëîæåííûé
â § 25.6.

Ãëàâà 26. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

133

Ãëàâà äâàäöàòü ñåäüìàÿ

Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

27.1. Âèõðåâîé õàðàêòåð ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêîâ. Ñêàëÿðíûé

ïîòåíöèàë ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáëàñòè âíå òîêîâ

Óðàâíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííûõ òîêîâ, êàê ýòî ñëåäóåò èç ñèñòåìû óðàâ-
íåíèé, ïðèâåäåííûõ â § 26.1, èìåþò âèä

rot

div

H

B

H

B

=

=

=

J

;

;

.

m

0

Ïåðâîå óðàâíåíèå ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå òîêîâ ÿâëÿåòñÿ

âèõðåâûì

. Ñëåäîâàòåëüíî, òàì, ãäå

J

¹

0, íåëüçÿ óêàçàòü òàêóþ ñêàëÿðíóþ ôóíê-

öèþ êîîðäèíàò

U

ì

(

x

,

y

,

z

), ãðàäèåíò êîòîðîé ïðîïîðöèîíàëåí âåêòîðó

H

, òàê êàê

èç-çà òîæäåñòâà rot grad

U

ì

=

0 ïðè ýòîì îêàçàëîñü áû âñþäó rot

H

=

0.

Èíûìè ñëîâàìè, âèõðåâîå ïîëå íå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì.
Îäíàêî â òîé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå ïëîòíîñòü òîêà ðàâíà íóëþ, èìååì

rot

H

=

0 è, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà ìîæíî ïðåäñòàâèòü

H

â âèäå

H

= -

grad

U

ì

.

Âåëè÷èíó

U

ì

íàçûâàþò ñ ê à ë ÿ ð í û ì ï î ò å í ö è à ë î ì ì à ã í è ò í î ã î

ï î ë ÿ. Èíäåêñ «ì» ñòàâèì, ÷òîáû îòëè÷èòü ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë îò ýëåêòðè÷å-
ñêîãî. Èìååì

H

U

x

H

U

y

H

U

z

x

y

z

= -

= -

= -

¶

¶

¶

¶

¶

¶

ì

ì

ì

;

;

,

è âîîáùå ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà

H

ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ ðàâíà óìåíüøåíèþ

ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà, îòíåñåííîìó ê åäèíèöå äëèíû â ýòîì íàïðàâëåíèè:

H

H

U

l

l

=

= -

cos

,

a

¶

¶

ì

ãäå

a

— óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì âåêòîðà

H

è íàïðàâëåíèåì, â êîòîðîì îïðåäå-

ëÿåòñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ

H

l

.

Ïîòåíöèàë îäèíàêîâ âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè, ïåðåñåêàåìîé ëèíèÿìè íà-

ïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì, òàê êàê, ïåðåìåùàÿñü ïî ýòîé ïîâåðõíî-
ñòè, èìååì cos

a =

0 è

¶

U

ì

/

¶

l

=

0, ò. å.

U

ì

=

const. Òàêóþ ïîâåðõíîñòü íàçûâàþò

ï î â å ð õ í î ñ ò ü þ ð à â í î ã î ì à ã í è ò í î ã î ï î ò å í ö è à ë à. Åå óðàâíåíèå
èìååò âèä

U

x y z

ì

( , , )

.

=

const

Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç

dn

ïåðåìåùåíèå â ñòîðîíó âåêòîðà

H

ïî íîðìàëè ê ïî-

âåðõíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà èëè, ÷òî òî æå, ïî êàñàòåëüíîé ê ëèíèè íàïðÿ-
æåííîñòè ïîëÿ, òî, î÷åâèäíî, áóäåì èìåòü

grad

U

H

U

n

ì

ì

=

= - ¶

¶

.

Èç ñêàçàííîãî ÿñíî, ÷òî ïîëüçîâàòüñÿ ïîíÿòèåì ñêàëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïî-

òåíöèàëà ìîæíî òîëüêî â òîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå

J

=

0. Îäíàêî è â ýòîé

÷àñòè ïðîñòðàíñòâà

U

ì

ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèåé. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî,

ðàññìîòðèì ìàãíèòíîå ïîëå îêîëî êîíòóðà ñ òîêîì (ðèñ. 27.1). Ëèíåéíûé èíòå-
ãðàë íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âçÿòûé ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó êîíòó-
ðó,

íå îõâàòûâàþùåìó êîíòóðà ñ òîêîì

, ðàâåí íóëþ:

H l

d

ò

=

0. Â ÷àñòíîñòè, ðà-

âåí íóëþ èíòåãðàë ïî ïóòè

AnBmA

, èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 27.1. Ñëåäîâàòåëüíî,

H l

d

AnB

ò

=

H l

d

AmB

ò

, ò. å. èíòåãðàë, âçÿòûé ìåæäó äâóìÿ çà-

äàííûìè òî÷êàìè

A

è

B

, îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïîëîæå-

íèåì ýòèõ òî÷åê è íå çàâèñèò îò âûáîðà ïóòè
èíòåãðèðîâàíèÿ ìåæäó òî÷êàìè ïðè óñëîâèè, ÷òî çàìê-
íóòûå êîíòóðû, îáðàçîâàííûå äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ïóòÿ-
ìè èíòåãðèðîâàíèÿ, íå îõâàòûâàþò êîíòóðîâ ñ òîêàìè.
Ïðè òàêîì óñëîâèè èíòåãðàë

H l

H l

d

d

U

U

A

B

AmB

A

B

ò

ò

=

=

-

ì

ì

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçíîñòü ìàãíèòíûõ ïîòåíöèàëîâ

U

ì

A

è

U

ì

B

ïîëÿ â

òî÷êàõ

A

è

B

. Åñëè óñëîâíî ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ ïîòåíöèàë â íåêîòîðîé çàäàí-

íîé òî÷êå

P

(

U

ì

P

=

0), òî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ â òî÷êàõ

A

è

P

áóäåò ðàâíà ïîòåí-

öèàëó â òî÷êå

A

:

H l

d

U

A

P

A

ò

=

ì

.

Îäíàêî åñëè âûáðàòü òàêîé çàìêíóòûé ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðûé îõâà-

òûâàåò êîíòóð òîêà

i

, íàïðèìåð ïóòü

AlBmA

íà ðèñ. 27.1, òî ëèíåéíûé èíòåãðàë

íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî òàêîìó ïóòè óæå íå ðàâåí íóëþ:

H l

H l

H l

d

d

d

i

AlBmA

AlB

AmB

ò

ò

ò

=

-

= ¹

0,

îòêóäà

H l

H l

d

d

i

U

U

i

AlB

AmB

A

B

ò

ò

=

+ =

-

+

ì

ì

.

Ïóòü

ArBmA

îõâàòûâàåò äâà ðàçà êîíòóð ñ òîêîì

i

. Äëÿ òàêîãî ïóòè èìååì

H l

d

ArBmA

ò

=

2

i

è, ñëåäîâàòåëüíî,

H l

H l

d

d

i

U

U

i

ArB

AmB

A

B

ò

ò

=

+

=

-

+

2

2

ì

ì

,

è âîîáùå èíòåãðàë ïî íåêîòîðîìó ïóòè

AxB

ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò èíòåãðàëà ïî

ïóòè

AmB

íà

ki

, ãäå

k

— öåëîå ÷èñëî, åñëè âñå ïóòè ïðîõîäÿò âíå îáëàñòè ïðî-

ñòðàíñòâà, çàíÿòîé ñàìèìè ïðîâîäíèêàìè ñ òîêîì:

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

135

Ðèñ. 27.1