Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
ïðèìåíåíèå ïîíÿòèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè â åãî îáû÷íîì ñìûñëå. Äëÿ ðàñ÷åòà
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ â ïîäîáíûõ ñèñòåìàõ íåîáõîäèìî ïðèáåãàòü ê ðå-
øåíèþ óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ó÷åòîì ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷-
íûõ óñëîâèé.
Ãëàâà 30. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ïðîâîäÿùåé ñðåäå
271
Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì 29 è 30
29.1. Ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà â äèýëåêòðèêå
ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò èñòî÷íèêà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íàïðÿæåí-
íîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ â äèýëåêòðèêå ïðîïîðöèîíàëüíà ôóíêöèè 1/
r
. Êàêîâ õà-
ðàêòåð çàâèñèìîñòè
E
(
r
) â ýòîé îáëàñòè?
2.
Çàòóõàåò ëè ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿÿñü â èäåàëüíîì äèýëåê-
òðèêå?
3.
(Î) Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ â äèýëåêòðèêå íàðÿäó ñ ïðÿìîé âîëíîé ñóùåñòâóåò
è îáðàòíàÿ?
4.
(Î) Óðàâíåíèþ
¶
¶
¶
¶
2
2
2
2
2
E
t
v
E
z
x
x
=
óäîâëåòâîðÿåò, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ôóíê-
öèÿ
E
x
(
z
,
t
)
=
E
m
sin
kz
sin
kvt
, êîòîðàÿ, îäíàêî, íå èìååò àðãóìåíòîì íè
z
–
vt
,
íè
z
+
vt
. Îçíà÷àåò ëè ýòî, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, ïðåäñòàâëåííîå â âèäå
E
x
(
z
,
t
)
=
F
1
(
z
–
vt
) +
F
2
(
z
+
vt
), íå ÿâëÿåòñÿ îáùèì?
5.
(Ð) Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû
ñóòü
E
(
z
,
t
)
=
j
10 cos (10
2
t
+ 30
z
). Â êàêîì íàïðàâëåíèè îñè
z
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
âîëíà? Ðàññ÷èòàéòå íàïðÿæåííîñòü
H
(
z
,
t
) ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñêîðîñòü ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ âîëíû.
6.
(Ð) Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû, íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîòîðîé âûðàæåíà ôîðìóëîé
E
=
= (
i
E
x
+
j
E
y
)
e
j
(
w
t
–
kz
)
.
7.
Ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, èçìåíÿÿñü ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó ñ
÷àñòîòîé 50 Ãö, ïðîõîäèò ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä ñ ïðîíèöàåìîñòÿìè
m
0
,
e
0
è
m
0
, 80
e
0
. ×åìó ðàâíà äëèíà âîëíû â ïåðâîé ñðåäå? Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíÿåòñÿ
äëèíà âîëíû íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä?
8.
(Ð) Êàêîâî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
è ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ïëîñêîé ïðÿìîé âîëíå â âîçäóõå, åñëè íàïðÿæåííîñòü
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íå ìîæåò ïðåâûøàòü çíà÷åíèÿ 3
×
10
6
Â/ì? Ðàññ÷èòàéòå îáú-
åìíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âîçäóõå ïðè ïðåäåëüíîì
çíà÷åíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ
E
.
9.
(Ð) Ïëîñêàÿ ñèíóñîèäàëüíàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â äè-
ýëåêòðèêå ñ ïðîíèöàåìîñòÿìè
e
,
m
â ïðîñòðàíñòâå ìåæäó ñîîñíûìè èäåàëüíî ïðî-
âîäÿùèìè æèëîé è îáîëî÷êîé êàáåëÿ â íàïðàâëåíèè îò ãåíåðàòîðà ê íàãðóçêå,
ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîé
R
í
. Íàéäèòå ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, çàêëþ-
÷åííóþ â îáúåìå äèýëåêòðèêà êàáåëÿ äëèíîé, ðàâíîé äëèíå ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû. Ñðàâíèòå åå ñ ýíåðãèåé, ïîãëîùàåìîé â íàãðóçêå çà ïåðèîä èçìåíåíèÿ
ïîëÿ. Ðàäèóñ æèëû
R
1
, âíóòðåííèé ðàäèóñ îáîëî÷êè
R
2
. Ïðèìèòå äîïóùåíèå îá
îòñóòñòâèè îòðàæåííûõ îò íàãðóçêè âîëí.
10.
(Ð) Ñëîé êîàêñèàëüíîãî êàáåëÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíàìè
e =
4
e
0
,
m = m
0
.
Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â êàáåëå è âû-
ðàçèòå åå ÷åðåç èíäóêòèâíîñòü è åìêîñòü êàáåëÿ íà åäèíèöó åãî äëèíû, ñ÷èòàÿ
óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëà æèëû è îáîëî÷êè
r =
0.
29.2. Âåêòîð Ïîéíòèíãà
ÂÎÏÐÎÑÛ
1.
Èìååò ëè ñìûñë ïîíÿòèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà âíóòðè ïðîâîäíèêîâ è íà èõ ïî-
âåðõíîñòÿõ?
2.
Íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà â íåêîòîðîé òî÷êå çàäàíî. Êàêîâî íàïðàâëå-
íèå âåêòîðà ñêîðîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ýòîé òî÷êå?
3.
Êàêîâà ðàçìåðíîñòü âåêòîðà Ïîéíòèíãà?
4.
Êàêîâà ÷àñòîòà èçìåíåíèÿ âåêòîðà Ïîéíòèíãà ïðè ñèíóñîèäàëüíîì çàêîíå èç-
ìåíåíèÿ âî âðåìåíè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ÷àñòî-
òîé
w
?
5.
Âåêòîð Ïîéíòèíãà èìååò êàñàòåëüíóþ è íîðìàëüíóþ ñîñòàâëÿþùèå íà ïî-
âåðõíîñòè íåêîòîðîãî îáúåìà. Êàêàÿ èç ñîñòàâëÿþùèõ îïðåäåëÿåò ýëåêòðîìàã-
íèòíóþ ýíåðãèþ, ïîñòóïàþùóþ â îáúåì èëè èñõîäÿùóþ èç îáúåìà?
6.
Ïðîâîäÿùåå òåëî ïîìåùåíî â ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Â ýíåðãèþ
êàêîãî âèäà ïðåîáðàçóåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ, ïîñòóïàþùàÿ âíóòðü òåëà
ñêâîçü åãî ïîâåðõíîñòü?
7.
Êàêîé ñìûñë èìåþò âåëè÷èíû
g
E dVdt
V
T
2
0
ò
ò
,
J
ïåð
E
dVdt
V
T
ò
ò
0
è
[
]
E H s
d dt
s
T
ò
ò
0
?
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
(Ð) Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ ïåðåäàåòñÿ ïî êîàêñèàëüíîìó êàáåëþ. Âûðà-
çèòå âåêòîð Ïîéíòèíãà ÷åðåç òîê
i
êàáåëÿ è íàïðÿæåíèå
u
ìåæäó æèëîé è îáî-
ëî÷êîé, ïðåíåáðåãàÿ ïîòåðÿìè â êàáåëå.
2.
(Ð) Ïðÿìîóãîëüíûé êîíòóð ðàñïîëîæåí â ïîëå ïëîñêîé áåãóùåé â íàïðàâëåíèè
îñè
z
ñèíóñîèäàëüíîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ïðè êàêîì ðàñïîëîæåíèè êîíòó-
ðà ñêâîçü îãðàíè÷åííóþ èì ïîâåðõíîñòü ïðîõîäèò íàèáîëüøèé òîê ñìåùåíèÿ,
è îïðåäåëèòå åãî, âû÷èñëÿÿ âåëè÷èíû
à
)
¶
¶
t
d
s
D s
ò
,
á
)
H l
d
l
ò
.
3.
Ïëîñêèé âîçäóøíûé êîíäåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ îò âíåøíåãî èñòî÷íèêà. Óêàæè-
òå íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà â òî÷êàõ
à
) ìåæäó îáêëàäêàìè,
á
) âáëèçè
êðàåâ îáêëàäîê,
â
) â âîçäóõå âáëèçè îáêëàäîê. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå âåêòîðà
Ïîéíòèíãà â òåõ æå òî÷êàõ ïðè ðàçðÿäêå êîíäåíñàòîðà íà ðåçèñòîð.
4.
(Ð) Ñðàâíèòå çàïàñåííóþ çà âðåìÿ
t
çàðÿäà ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ýíåðãèþ
ïîëÿ ñ ýíåðãèåé, ïîñòóïèâøåé ñêâîçü áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü, îõâàòûâàþùóþ åãî
äèýëåêòðèê. Íàïðÿæåíèå ìåæäó îáêëàäêàìè èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó
u
(
t
).
Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì 29 è 30
273
5.
(Ð) Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ ïåðåäàåòñÿ ïî êîàêñèàëüíîìó êàáåëþ ñ äâóõ-
ñëîéíîé èçîëÿöèåé. Íàéäèòå ðàäèóñ ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñëîåâ, ïðè êîòîðîì
ýíåðãèÿ, ïåðåäàâàåìàÿ â ñëîÿõ, îäèíàêîâà. Ðàäèóñû æèëû, ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà
ñëîåâ è âíóòðåííèé ðàäèóñ îáîëî÷êè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
R
1
,
R
,
R
2
. Äèýëåê-
òðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ïðîíèöàåìîñòè èçîëÿöèè ñëîåâ:
e
1
,
m
1
è
e
2
,
m
2
.
6.
(Ð) Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà
S
(
r
) â îáúåìå ìåæäó êðóãëû-
ìè îáêëàäêàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ïðè ïðèëîæåííîì ê íåìó íàïðÿæåíèè
u
(
t
)
=
U
m
sin
w
t
. Îïðåäåëèòå ñðåäíåå çà ïåðèîä çíà÷åíèå
S
(
r
,
t
). Êîîðäèíàòó
r
îò-
ñ÷èòûâàéòå îò îñè ñèììåòðèè êîíäåíñàòîðà. Ïðèìèòå äîïóùåíèå, ÷òî
E
(
t
) íå çà-
âèñèò îò
r
.
7.
Îöåíèòå ÷àñòîòó ïðèëîæåííîãî ê âîçäóøíîé äâóõïðîâîäíîé ëèíèè íàïðÿæå-
íèÿ, ïðè êîòîðîé ïåðåäàâàåìàÿ ïî íåé ìîùíîñòü èìååò òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî è èç-
ëó÷àåìàÿ.
8.
(Ð) Ïðÿìîóãîëüíûé êîíòóð ñî ñòîðîíàìè
a
=
10 ñì,
b
=
20 ñì ðàñïîëîæåí â
ïîëå áåãóùåé â íàïðàâëåíèè îñè
z
ñèíóñîèäàëüíîé âîëíû òàê, ÷òî åãî ïëîñêîñòü
ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
H
=
j
H
y
, à êîðîòêèå
ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû âåêòîðó íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Íàéäèòå èíäó-
öèðóåìóþ â êîíòóðå ÝÄÑ äâóìÿ ñïîñîáàìè, âû÷èñëÿÿ
à
)
e
=
E l
d
ò
è
á
)
e
=
–
d
dt
F
ïðè
H
m
=
500 À/ì,
f
=
10
5
Ãö,
v
=
3
×
10
8
ì/ñ,
m = m
0
,
e = e
0
.
29.3. Âèõðåâàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùèå
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
(Î)  êàêèõ ñëó÷àÿõ â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå ìîæåò îòñóòñòâîâàòü
à
) âèõðå-
âàÿ
á
) ïîòåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ?
2.
(Î) Ìîæíî ëè âìåñòî ïîòåíöèàëîâ
A
,
U
ý
èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðî-
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñêàëÿðíûé ìàãíèòíûé
U
ì
è ñêàëÿðíûé ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåí-
öèàëû?
3.
Äâå ñðåäû õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïðîíèöàåìîñòåé
m
è
e
.
 êàêîé èç ñðåä âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà îäíîì è òîì
æå ðàññòîÿíèè
r
îêàçûâàåòñÿ áîëüøèì?
4.
Ïî äâóõïðîâîäíîé ëèíèè ïåðåäà÷è ïðîòåêàåò ïåðåìåííûé òîê. Ñóùåñòâóþò
ëè âèõðåâàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùèå íàïðÿæåííîñòè
E
ïîëÿ â
à
) îêðó-
æàþùåì åå äèýëåêòðèêå,
á
) âíóòðè ïðîâîäîâ?
5.
Ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà äîëæíû áûòü çàìêíóòûìè. Ïî êàêèì ïóòÿì çàìû-
êàåòñÿ ëèíèÿ òîêà ïðîâîäèìîñòè, ïðîòåêàþùåãî ïî ïðîâîäíèêó ïðè ñîåäèíåíèè
èì òåë ñ ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè +
q
è –
q
?
6.
(Ð) Áåñêîíå÷íî äëèííûé ñîëåíîèä (ðèñ. Â29.1), ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé
ïîòîê ñêâîçü ñå÷åíèå êîòîðîãî íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ðèñóí-
êà, îõâà÷åí ïðîâîäÿùèì (
g =
const) êîëüöîì. Îáúÿñíèòå ôèçè÷åñêèé ñìûñë
274
Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì 29 è 30
èíòåãðàëîâ
E l
d
l
ò
,
¶
¶
A l
t
d
l
ò
,
E
A l
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
ò
¶
¶
t
d
l
, âçÿòûõ âäîëü îñå-
âîé ëèíèè ïðîâîäà êîëüöà, è âûðàçèòå èõ ÷åðåç ñîïðî-
òèâëåíèå
r
êîëüöà è åãî òîê
i
.
7.
(Ð) Îõâàòûâàþùåå ñîëåíîèä êîëüöî â óñëîâèè ïðå-
äûäóùåãî óïðàæíåíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ïîëóêîëåö, âû-
ïîëíåííûõ èç ìàòåðèàëîâ ñ óäåëüíûìè ýëåêòðè÷åñêèìè
ïðîâîäèìîñòÿìè
g
1
è
g
2
. Íàéäèòå âåëè÷èíó grad
U
â ïîëó-
êîëüöàõ ïðè òîêå êîëüöà, ðàâíîì
i
.
29.4. Ïåðåäà÷à ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè âäîëü ïðîâîäîâ ëèíèè
ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
(Î) Îäèíàêîâî ëè íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà íà ïîâåðõíîñòÿõ æèëû è
îáîëî÷êè êîàêñèàëüíîãî êàáåëÿ?
2.
(Î) Äâóõïðîâîäíàÿ ëèíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà ïðîòÿíóòà ïàðàëëåëüíî ïîâåðõ-
íîñòè çåìëè, êîòîðóþ ñ÷èòàåì ïðîâîäÿùåé. Êàêîâî íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéí-
òèíãà íà ïîâåðõíîñòè çåìëè?
3.
(Î) Êîíäåíñàòîð ñ èäåàëüíûì äèýëåêòðèêîì ïîäêëþ÷åí ê èñòî÷íèêó ñèíó-
ñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ. Èçìåíÿåòñÿ ëè íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà ìåæ-
äó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà â òå÷åíèå ïåðèîäà èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ èñòî÷-
íèêà? Êàêîâî ñðåäíåå çíà÷åíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà çà ïåðèîä?
4.
Ïî äâóõïðîâîäíîé ëèíèè òå÷åò ïåðåìåííûé òîê. Èçìåíÿåòñÿ ëè â äèýëåêòðè-
êå íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà â òå÷åíèå ïåðèîäà èçìåíåíèÿ òîêà? Çàâèñèò
ëè îòâåò îò õàðàêòåðà íàãðóçêè ëèíèè?
5.
Ïî÷åìó ëèíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ ïåðåäà÷è ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè
ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòû, íåýôôåêòèâíà äëÿ ïåðåäà÷è ýíåðãèè â ðàäèî÷àñòîòíîì
äèàïàçîíå?
6.
(Ð) Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ ïåðåäàåòñÿ ïî ëèíèè
ïîñòîÿííîãî òîêà áåç ïîòåðü ïðè íàïðÿæåíèè
U
=
110 êÂ.
Ðàäèóñû ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ
R
=
6 ìì, ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ
îñÿìè
D
=
2 ì, òîê ëèíèè
I
=
100 À. Íàéäèòå çíà÷åíèå è
íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ îò-
ðåçêà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé îñè ïðîâîäîâ (ðèñ. Â29.2).
7.
(Ð) Äâóõïðîâîäíàÿ ëèíèÿ áåç ïîòåðü èìååò ðà-
äèóñ ñå÷åíèÿ ïðîâîäîâ
R
, ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿ-
ìè ïðîâîäîâ
D
>>
R
è äëèíó, ðàâíóþ ÷åòâåðòîé ÷àñ-
òè äëèíû ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â äèýëåêòðèêå,
îêðóæàþùåì ëèíèþ. Íàéäèòå âûðàæåíèå äëÿ âåê-
òîðà Ïîéíòèíãà â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïðÿìûõ
a
—
a
¢
è
b
—
b
¢
, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â29.3 è ïðîõîäÿ-
ùèõ ÷åðåç îñè ïðîâîäîâ, ïðè óñëîâèè, ÷òî ëèíèÿ
íàãðóæåíà íà ñîïðîòèâëåíèå, ðàâíîå âîëíîâîìó.
Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì 29 è 30
275
Ðèñ. Â29.1
Ðèñ. Â29.2
Ðèñ. Â29.3