Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
è ïåðåíîñà, ìàãíèòíîå ïîëå êîòîðûõ ñîâìåñòíî ñî ñòîðîííèì ïîëåì îáðàçóþò
ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî âõîäèò â ïðàâóþ ÷àñòü âòîðîãî óðàâ-
íåíèÿ Ìàêñâåëëà.  ïðîâîäíèêàõ èñòî÷íèêàìè èíäóöèðîâàííîãî ïîëÿ ÿâëÿþò-
ñÿ òîêè ñìåùåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè.
 ðÿäå ñëó÷àåâ èíäóöèðîâàííûì ïîëåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è íå ïðèíèìàòü âî
âíèìàíèå ñîñòàâëÿþùóþ –
¶
¶
B
èíä
t
, âõîäÿùóþ â ïðàâóþ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà. Òàêîå äîïóùåíèå ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ðåøåíèå çàäà÷è àíàëèçà
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îíî îïðàâäàííî, åñëè
B
èíä
<<
B
ñòîð
.
10.
 ñèëó ñîîòíîøåíèé
¶
E
x
/
¶
y
=
¶
E
x
/
¶
z
=
0 èìååì rot
Å
=
0 è, ñëåäîâàòåëüíî, òà-
êîå ïîëå — áåçâèõðåâîå.
16.
Ïîëå âåêòîðà
D
ñîëåíîèäàëüíîå ïðè div
D
=
0, ò. å. ïðè îòñóòñòâèè â îáëàñòè
ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ. Åñëè ñðåäà îäíîðîäíà, òî
e
div
E
=
0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå
âåêòîðà
E
òàêæå ñîëåíîèäàëüíîå. Â íåîäíîðîäíîé ñðåäå èìååì div
D
=
div
e
E
=
= e
div
E
+
E
grad
e =
0 è div
E
=
–
1
e
E
grad
e
, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå
div
E
¹
0, ò. å. ïîëå âåêòîðà
E
íå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì.
18.
Âûðàæàÿ âåëè÷èíó div
H
èç ñîîòíîøåíèÿ div
B
=
div
m
H
= m
div
H
+ (grad
m
)
H
=
0: div
H
=
– (1/
m
) (grad
m
)
H
, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî â îäíîðîäíîé â
ìàãíèòíîì îòíîøåíèè ñðåäå âûðàæåíèå div
H
=
0 ñïðàâåäëèâî, òîãäà êàê â íåîä-
íîðîäíîé ñðåäå, êîãäà grad
m ¹
0, îíî íåâåðíî.
19.
Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò, òàê êàê
ïðè çàäàííûõ óñëîâèÿõ (
J
=
0,
H
=
H
x
) èç óðàâíåíèÿ rot
H
=
0 ïîëó÷àåì:
¶
H
x
/
¶
y
=
0,
¶
H
x
/
¶
z
=
0. Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå div
H
=
¶
H
x
/
¶
x
=
0, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷å-
íèþ, ÷òî ïîëå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì è
H
=
const.
Ïðè
J
¹
0 èìååì:
¶
H
x
/
¶
y
=
–
J
z
,
¶
H
x
/
¶
z
=
J
y
è òàê êàê div
H
=
¶
H
x
/
¶
x
=
0, òî èìååì
H
=
H
(
y
,
z
).
20.
Âûðàæåíèÿ div div
A
, grad rot
A
, grad grad
V
, rot div
A
ñìûñëà íå èìåþò, òàê
êàê ôóíêöèÿ div
A
ñêàëÿðíàÿ, îïåðàöèè div è rot íàä êîòîðîé âûïîëíåíû áûòü
íå ìîãóò, à ôóíêöèè rot
A
, grad
V
— âåêòîðíûå, íàä êîòîðûìè íåëüçÿ âûïîëíèòü
îïåðàöèþ ãðàäèåíòà.
Òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ âûðàæåíèÿ rot grad
V
è div rot
A
.
21.
Ýòè ïîíÿòèÿ òåðÿþò ñìûñë â òî÷êàõ, ãäå îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü òîêà ëèáî çàðÿ-
äà îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Èíîãäà ïðèíèìàþò äîïóùåíèå î òîì, ÷òî òîê òå-
÷åò ïî ïðîâîäó áåñêîíå÷íî ìàëîãî ñå÷åíèÿ ëèáî ïî áåñêîíå÷íî òîíêîìó ëèñòó.
 ðÿäå ñëó÷àåâ öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû êàê ñîñðåäî-
òî÷åííûå â áåñêîíå÷íî ìàëûõ îáúåìàõ, ðàñïðåäåëåííûå âäîëü áåñêîíå÷íî òîí-
êèõ ïðîâîäîâ ëèáî ðàñïðåäåëåííûå íà áåñêîíå÷íî òîíêèõ ëèñòàõ. Âî âñåõ ýòèõ
ñëó÷àÿõ èñòî÷íèê ðàçìåùåí â áåñêîíå÷íî ìàëîì îáúåìå, ïîýòîìó åãî îáúåìíàÿ
ïëîòíîñòü ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íîé è ïîíÿòèÿ rot è div â òàêèõ òî÷êàõ íå îïðåäå-
ëåíû.
286
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Èñêîìàÿ ïëîòíîñòü òîêà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
J
=
rot
H
, â êîòîðîì äëÿ
âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû rot
H
ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïîäõîäÿùóþ ñèñòåìó êîîðäè-
íàò: â âàðèàíòå
ã
èìååì â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
J
=
k
(
-
aH
0
e
-
ax
);
â âàðèàíòå
æ
èìååì â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
J
=
k
1
r r
¶
¶
(
r H
a
)
=
0.
2.
Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå
1
r r
¶
¶
(
r H
a
)
=
J
z
, íàõîäèì
H
a
=
1
0
r
r dr
z
r
J
ò
. Íàïðèìåð, ïðè
J
z
=
J
0
e
ar
(âàðèàíò
å
) èìååì
H
a
=
J
0
a
e
ar
+
J
0
2
a r
(1 –
e
ar
).
3.
Çàïèñûâàÿ âûðàæåíèå rot
m
H
â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
rot
m
¶
¶
m
¶
¶
m
¶
¶
m
¶
¶
m
H
i
j
=
-
é
ëê
ù
ûú
+
-
é
y
H
z
H
z
H
x
H
z
y
x
z
(
)
(
)
(
)
(
)
ëê
ù
ûú
+
+
-
é
ëê
ù
ûú
=
+
-
k
H i
¶
¶
m
¶
¶
m
m
¶m
¶
¶m
¶
x
H
y
H
y
H
z
y
x
z
(
)
(
)
rot
H
z
H
x
H
x
H
y
H
y
x
z
y
x
é
ëê
ù
ûú
+
+
-
é
ëê
ù
ûú
+
-
é
ëê
ù
û
j
k
¶m
¶
¶m
¶
¶m
¶
¶m
¶
ú =
+
m
m
rot
grad
H
H
(
) ,
ïîëó÷àåì:
f
1
= m
(
x
,
y
,
z
),
f
2
=
(grad
m
)
H
.
5.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîæäåñòâî rot grad
V
º
0, ìîæåì çàïèñàòü ñîîòíîøåíèå
H
1
=
H
2
+ grad
V
, ãäå
V
=
V
(
x
,
y
,
z
) — íåêîòîðàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ.
7.
Âû÷èñëèâ ôóíêöèþ rot
E
, îïðåäåëÿåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ rot
E
¹
0 è, ñëåäîâà-
òåëüíî, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ âèõðåâûì. Äëÿ âàðèàíòà
æ
, â ÷àñòíîñòè, èìååì
rot
E
=
i
(
)
-¶
¶
E
z
y
=
– i
E
m
c
cos
cz
¹
0, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå âåêòîðà
Å
— âèõðåâîå.
8.
Ïîìåñòèì íà÷àëî ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â ñåðåäèíå ïëàñòè-
íû. Ïðè äîïóùåíèè
B
èíä
<<
B
m
âòîðîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ïðèíèìàåò âèä
¶
¶
¶
¶
E
z
E
z
x
z
-
=
–
B
m
w
cos
w
t
. Ñ ó÷åòîì óñëîâèé çàäà÷è èìååì
¶
¶
E
z
x
=
0 (ïëàñòèíà áåñ-
êîíå÷íî äëèííàÿ, ïîëå íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû
z
è
J
J
y
z
<<
(
t
<
d
), òàê ÷òî
ïëîòíîñòü òîêà
J
z
=
B
m
w g
x
cos
w
t
èçìåíÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîïåðåê ïëàñòèíû
ïî ëèíåéíîìó çàêîíó. Àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå òîêà
i
h
x dx
hd
B
t
d
m
=
=
ò
J
( )
cos
,
0
0 5
2
4
wg
w
ïðè çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèÿõ ðàâíî 0,39 À.
9.
Ïðèíèìàÿ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
B
=
B
z
, èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà
1
r r
¶
¶
(
rE
a
) –
1
r
E
r
¶
¶a
=
–
¶
¶
B
t
z
, ñ ó÷åòîì íåçàâèñèìîñòè ïîëÿ îò óãëîâîé êî-
îðäèíàòû ïîëó÷àåì
1
r r
¶
¶
(
rE
a
)
= - ¶
¶
B
t
, îòêóäà íàõîäèì ïëîòíîñòü òîêà
J
(
r
)
= g
E
(
r
)
=
=
–0,5
w g
r B
m
cos
w
t
=
– 1,57
×
10
5
r
cos 314
t
À/ì
2
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
287
10.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîòíîñòè çàðÿäà èñïîëüçóåì ñîîòíîøåíèå
r = e
div
E
, çàïè-
ñûâàÿ âûðàæåíèå div
E
â ïîäõîäÿùåé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Íàïðèìåð, äëÿ âàðèàí-
òà
á
ïîëó÷àåì
r = e
div
j
e
a
r
=
0.
12.
Ïðè ñîâïàäåíèè îñåé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ ãëàâíûìè îñÿìè
àíèçîòðîïèè èìååì
(e)
e
e
e
=
xx
yy
zz
0
0
0
0
0
0
è
D
=
i
e
xx
E
x
+
j
e
yy
E
y
+
k
e
zz
E
z
, òàê ÷òî div
D
= ¶
¶
x
(
e
xx
E
x
) +
¶
¶
y
(
e
yy
E
y
) +
¶
¶
z
(
e
zz
E
z
) .
Ïðè íåñîâïàäåíèè îñåé êîîðäèíàò ñ ãëàâíûìè îñÿìè àíèçîòðîïèè èìååì
(e)
e
e
e
e
e
e
e
e
e
=
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
,
D
=
i
(
e
xx
E
x
+
e
xy
E
y
+
e
xz
E
z
) +
j
(
e
yx
E
x
+
e
yy
E
y
+
e
yz
E
z
) +
+
k
(
e
zx
E
x
+
e
zy
E
y
+
e
zz
E
z
)
=
i
D
x
+
j
D
y
+
k
D
z
, div
D
= ¶
¶
D
x
x
+
¶
¶
D
y
y
+
¶
¶
D
z
z
.
14.
r =
div
e
E
= e
0
¶
¶
E
x
x
= e
0
aE
0
.
15.
Çàïèñûâàÿ âûðàæåíèå div
E
= r
/
e
0
â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
è èíòåãðèðóÿ åãî, íàõîäèì
1
r r
¶
¶
(
rE
r
)
=
1
0
e
r
,
E
r
(
r
)
=
1
0
e
r
r
r r dr
( )
ò
+
C
.
16.
-
=
+
-
-
æ
è
ç
rot rot
H i
¶
¶
¶
¶
¶
¶ ¶
¶
¶ ¶
2
2
2
2
2
2
H
y
H
z
H
x y
H
x z
x
x
y
z
ç
ö
ø
÷
÷ +
+
+
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ +
j
¶
¶
¶
¶
¶
¶ ¶
¶
¶ ¶
2
2
2
2
2
2
H
x
H
z
H
y x
H
y z
y
y
x
z
k
¶
¶
¶
¶
¶
¶ ¶
¶
¶ ¶
2
2
2
2
2
2
H
x
H
y
H
z x
H
z y
z
z
x
y
+
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
.
div rot
A
º
0,
Ñ
U
=
i
¶
¶
U
x
+
j
¶
¶
U
y
+
k
¶
¶
U
z
,
Ñ(Ñ
U
)
= ¶
¶
2
2
U
x
+
¶
¶
2
2
U
y
+
¶
¶
2
2
U
z
,
Ñ´
E
=
i
j
k
¶
¶
¶
¶
¶
¶
x
y
z
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ ´
(
i
E
x
+
j
E
y
+
k
E
z
)
=
i
¶
¶
¶
¶
E
y
E
z
z
y
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
+
+
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
j
¶
¶
¶
¶
E
z
E
x
x
z
+
k
¶
¶
¶
¶
E
x
E
y
y
x
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
.
288
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
17.
Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ìîæåò âûðàæàòüñÿ ôîðìóëîé
B
=
B
(
x
,
y
,
z
), åñëè
div
B
=
0. Äëÿ âàðèàíòà
â
, íàïðèìåð, èìååì div
B
= ¶
¶
B
x
x
+
¶
¶
B
z
z
=
a
–
c
, òàê ÷òî ìàã-
íèòíàÿ èíäóêöèÿ ìîæåò âûðàæàòüñÿ ôîðìóëîé
B
=
i
ax
–
k
cz
ïðè
a
=
c
.
18.
Èç âûðàæåíèé div
dd =
0,
dd = g
E
ñëåäóåò: div
g
E
= g
div
E
+
E
grad
g =
0, îòêóäà
ïîëó÷àåì div
E
= -
E
grad
g
g
. Â îäíîðîäíîé ñðåäå âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
div
E
=
0.
23.2. Ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Óðàâíåíèå div
dd =
0 âûòåêàåò èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà rot
H
= dd
â
ñèëó òîæäåñòâà div rot
H
º 0
. Ïîýòîìó îíî íå âõîäèò â ñèñòåìó óðàâíåíèé ýëåê-
òðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
 ñèëó ýòîãî æå òîæäåñòâà èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà rot
E
= - ¶
¶
B
t
ñëåäóåò
ðàâåíñòâî div
¶
¶
B
t
= ¶
¶
t
div
B
=
0, îçíà÷àþùåå íåèçìåííîñòü âî âðåìåíè âåëè÷èíû
div
B
. Õîòÿ óðàâíåíèå div
B
=
0 è ñëåäóåò èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, îäíà-
êî åãî íåëüçÿ èñêëþ÷èòü èç ñèñòåìû óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, òàê êàê
ïðè ðàññìîòðåíèè íå èçìåíÿþùèõñÿ âî âðåìåíè ïîëåé, êîãäà
¶
¶
B
t
=
0, èç âòîðîãî
óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ïðèíèìàþùåãî â ýòîì ñëó÷àå âèä rot
E
=
0, óæå íå âûòåêà-
åò óðàâíåíèÿ div
B
=
0, ïîêàçûâàþùåãî, ÷òî ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ íå ñóùåñòâóåò.
3.
Òàê êàê âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ div
dd =
0, òî â ñèëó
òîæäåñòâà div rot
F
=
0 åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
dd =
rot
F
è ðàññìàòðèâàòü
êàê èñòî÷íèê íåêîòîðîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
F
, íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþùåãî ñ ïî-
ëåì âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òàêæå óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíå-
íèþ
dd =
rot
H
.
4.
 ñèñòåìó óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âõîäèò 16 ñêàëÿðíûõ ïåðåìåí-
íûõ: 5 âåêòîðíûõ, à èìåííî
D
,
E
,
B
,
H
,
dd
, è ñêàëÿðíàÿ — ïëîòíîñòü çàðÿäà. Â òî
æå âðåìÿ ÷èñëî ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé ñîñòàâëÿåò 17, òàê êàê ê 5 âåêòîðíûì
óðàâíåíèÿì, îáðàçóþùèì 15 ñêàëÿðíûõ, äîáàâëÿþòñÿ 2 ñêàëÿðíûõ: div
B
=
0 è
div
D
= r
.
Íåçàâèñèìûìè èç íèõ ÿâëÿþòñÿ 16 óðàâíåíèé, òàê êàê óðàâíåíèå div
B
=
0 â îá-
ùåì ñëó÷àå ïåðåìåííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âûòåêàåò èç âòîðîãî óðàâíå-
íèÿ Ìàêñâåëëà.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
289
5.
Èç óðàâíåíèÿ rot
H
= dd
ñëåäóåò âûðàæåíèå div
dd =
0, êîòîðîå â ñèëó ñîîòíî-
øåíèÿ
dd = g
E
+
¶
¶
D
t
+
J
ïåð
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå –div
¶
¶
D
t
=
div (
g
E
+
J
ïåð
) è, ó÷è-
òûâàÿ óðàâíåíèå div
D
= r
, ïîëó÷èòü âûðàæåíèå
- ¶r
¶
t
=
div (
g
E
+
J
ïåð
).
Åñëè, âûáðàâ îáúåì
V
, ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî íåìó ôóíêöèè îáåèõ ÷àñòåé íàéäåí-
íîãî ñîîòíîøåíèÿ, òî, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî
r
dV
V
ò
=
q
è div
ïåð
(
)
g
E
+
ò
J
dV
V
=
(
)
g
E
s
+
ò
J
ïåð
d
s
, ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå
-
dq
dt
=
(
)
g
E
s
+
ò
J
ïåð
d
s
, ïîêàçûâàþùåå,
÷òî çàðÿä â îáúåìå ìîæåò óìåíüøàòüñÿ òîëüêî çà ñ÷åò ïðîòåêàíèÿ òîêà èç îáúåìà
V
ñêâîçü îãðàíè÷èâàþùóþ åãî ïîâåðõíîñòü.
6.
Ïðè
¶
¶
D
t
=
0 è
¶
¶
B
t
=
0 ïîëó÷àåì rot
H
= dd
, rot
E
=
0, div
B
=
0, div
D
= r
,
B
= m
H
,
D
= e
E
,
dd = g
E
+
r
v
.
Åñëè ôóíêöèÿ
dd
(
x
,
y
,
z
) çàäàíà, òî ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóï-
ïû, ïåðåìåííûå â êîòîðûõ íå âçàèìîñâÿçàíû: rot
H
= dd
, div
B
=
0,
B
= m
H
è
rot
E
=
0, div
D
= r
,
D
=
e
E
. Ïåðâàÿ ãðóïïà óðàâíåíèé îïèñûâàåò íå èçìåíÿþùèå-
ñÿ âî âðåìåíè ìàãíèòíûå ïîëÿ, âòîðàÿ — íå èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè ýëåêòðè-
÷åñêèå ïîëÿ.
7.
Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ îäíîé èç ïåðåìåííûõ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèò-
íîãî ïîëÿ ñëåäóåò ïðèìåíèòü îïåðàöèþ rot ê îáåèì ÷àñòÿì îäíîãî èç óðàâíåíèé
Ìàêñâåëëà, ïîäñòàâëÿÿ äàëåå â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äðóãîå óðàâíåíèå Ìàê-
ñâåëëà. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå âàðèàíòà 1) óïðàæíåíèÿ.
Òàê êàê rot
1
m
rot
E
=
–
¶
¶
t
dd
, òî ïîëó÷àåì: rot
1
m
rot
E
=
–
g ¶
¶
E
t
. Àíàëîãè÷íî íàõîäèì
rot
1
g
rot
H
=
rot
E
è rot
1
g
rot
H
=
–
m ¶
¶
H
t
.
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå rot
i
rot
E
=
grad
i
div
E
– div grad
E
i
, ïîëó÷àåì ïðè
m =
const,
g =
const â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
¶
¶
¶
¶
¶
¶
mg ¶
¶
2
2
2
2
2
2
E
x
E
y
E
z
E
t
i
i
i
i
+
+
=
,
¶
¶
¶
¶
¶
¶
mg ¶
¶
2
2
2
2
2
2
H
x
H
y
H
z
H
t
i
x y z
i
i
i
i
+
+
=
=
,
, , .
Êàê âèäíî èç óðàâíåíèé, â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèÿ îòíî-
ñèòåëüíî ñîñòàâëÿþùèõ
E
x
,
E
y
,
E
z
, êàê è äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ
H
x
,
H
y
,
H
z
, â îäíîðîä-
íîé ñðåäå îáðàçóþò ñèñòåìó íåñâÿçàííûõ óðàâíåíèé. Îäíàêî ìîæíî óáåäèòüñÿ â
òîì, ÷òî â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí
E
r
,
E
a
(êàê è äëÿ âåëè÷èí
H
r
,
H
a
) âçàèìîñâÿçàíû.
290
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷