Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
23.3. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçäåëà ñðåä
ñ ðàçëè÷íûìè ñâîéñòâàìè
ÂÎÏÐÎÑÛ
È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
 ñèëó óñëîâèÿ
E
t
1
=
E
t
2
ìîæåì çàïèñàòü ðàâåíñòâî
E l
d
l
1
ò
=
E l
d
l
2
ò
, ãäå êîíòóðû
l
1
,
l
2
èíòåãðèðîâàíèÿ, èìåþùèå îäèíàêîâóþ ôîðìó, âçÿòû íà îáåèõ ñòîðîíàõ ïî-
âåðõíîñòè ðàçäåëà â ðàçëè÷íûõ ñðåäàõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôîðìà êîíòóðîâ ìîæåò
áûòü ïðèíÿòà ïðîèçâîëüíîé (â ÷àñòíîñòè, îíè ìîãóò áûòü ñòÿíóòû â òî÷êó), ìî-
æåì, èñïîëüçóÿ çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè
E l
d
l
ò
= -
d
dt
F
, çàïèñàòü óñëî-
âèå
B
n
1
=
B
n
2
. Òàêèì îáðàçîì, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
E
t
1
=
E
t
2
è
B
n
1
=
B
n
2
íå ÿâëÿþòñÿ
íåçàâèñèìûìè.
Àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ïîçâîëÿåò ïðèéòè ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî èç óñëîâèÿ
H
t
1
=
H
t
2
äëÿ ïåðåìåííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âûòåêàåò ðàâåíñòâî
D
n
1
=
D
n
2
,
òàê ÷òî ýòè ñîîòíîøåíèÿ òàêæå íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè.
2.
 ñëó÷àå
à
) îíà çàêëþ÷àåòñÿ â âîçíèêíîâåíèè òîíêîãî ñëîÿ ñâÿçàííûõ ýëåê-
òðè÷åñêèõ çàðÿäîâ íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä âñëåäñòâèå èõ ðàçëè÷íîé ïîëÿ-
ðèçîâàííîñòè.
 ñëó÷àå
á
)ðàçëè÷íàÿ íàìàãíè÷åííîñòü
M
òåë âåäåò âñëåäñòâèå íåïðåðûâíîñòè
íîðìàëüíîé ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä ñîñòàâëÿþùåé ìàãíèòíîé èíäóêöèè
ê ñêà÷êó íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òàê êàê
H
n
=
1
0
m
(
B
n
–
M
n
).
4.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ïîëÿ íà ïîâåðõ-
íîñòè ðàçäåëà ñ ðàçëè÷íûìè ñâîéñòâàìè ñîõðàíÿþò ñâîé âèä è ïðè àíèçîòðîï-
íûõ ñðåäàõ. Îäíàêî óñëîâèÿ, âûðàæàþùèå ñêà÷êè ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ïîëÿ,
èçìåíÿþòñÿ.
Åñëè òåíçîðû (
e
1
), (
e
2
) çàïèñàòü â âèäå
(e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
)
, ( )
,
=
=
nn
nt
tn
tt
nn
nt
tn
tt
òî èç óñëîâèÿ
D
n
1
=
D
n
2
ñëåäóåò âûðàæåíèå
e
nn
1
E
n
1
= e
nn
2
E
n
2
– (
e
nt
1
–
e
nt
2
)
E
t
1
, êîòî-
ðîå â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà
e
nt
1
= e
nt
2
, ïåðåõîäèò â ñîîòíîøåíèå
E
E
n
n
nn
nn
1
2
2
1
= e
e
.
6.
Ïðè íàëè÷èè íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà âûðàæåíèå
–
D
n
1
D
s
1
+
D
n
2
D
s
2
=
0 (ñì. § 24.6) ïðèíèìàåò âèä
–D
n
1
D
s
1
+
D
n
2
D
s
2
= D
q
, ãäå
D
q
—
çàðÿä, îõâàòûâàåìûé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
D
s
1
=
= D
s
2
= D
s
è
D
D
q
s
» s
, èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ïîëó÷àåì óñëîâèå –
D
n
1
+
D
n
2
= s
,
ñâÿçûâàþùåå íîðìàëüíûå ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà
ñìåùåíèÿ ïðè íàëè÷èè íà íåé ïîâåðõíîñòíîãî çàðÿäà ïëîòíîñòüþ
s
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
291
7.
Ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå
H
t
1
ab
–
H
t
2
cd
»
H l
d
abcd
ò
(ðèñ. Ð23.1) ñëåäóåò ïðèðàâ-
íÿòü ïîëíîìó òîêó
i
, îõâà÷åííîìó êîíòóðîì èíòåãðè-
ðîâàíèÿ è ïðîòåêàþùåìó â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêó-
ëÿðíîì ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Òîãäà
H
t
1
–
H
t
2
=
i
ab
=
j
,
è, ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
H
t
íà-
ïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðåòåðïåâàåò ðàçðûâ
íà ïîâåðõíîñòè ñ ðàçìåùåííûì íà íåé ñëîåì òîêà.
Ïðè
m
2
= ¥
èìååì
H
t
2
=
0.
8.
 òî÷êàõ íà ãðàíèöå äâóõ ñðåä ñ ìàãíèòíûìè ïðîíèöàåìîñòÿìè
m
1
è
m
2
óñëî-
âèå
B
n
1
=
B
n
2
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
m
0
(
H
n
1
+
M
n
1
)
= m
0
(
H
n
2
+
M
n
2
), îòêóäà âûòå-
êàåò ñîîòíîøåíèå (
H
n
1
–
H
n
2
)
=
(–
M
n
1
+
M
n
2
). Íàìàãíè÷åííîñòü âîçäóõà ðàâíà
íóëþ (
M
n
1
=
0), òàê ÷òî ïîëó÷àåì: (
H
n
1
–
H
n
2
)
=
M
n
2
, èëè
n
2
(
H
1
–
H
2
)
=
n
2
M
.
11.
Ïîëîæåíèå òî÷åê ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà áóäåì îï-
ðåäåëÿòü çíà÷åíèåì óãëà
a
(ðèñ. Ð23.2).  òî÷êå
À
èìå-
åì
E
ni
=
E
i
sin
a =
100 sin
a
,
E
ti
=
E
cos
a =
100 cos
a
. Â ñèëó
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà â âîçäóõå
ïîëó÷àåì
E
ne
= e
e
i
e
E
ni
=
200 sin
a
,
E
te
=
E
ti
=
100 cos
a
,
D
ne
=
200
e
0
sin
a
,
D
t
e
=
100
e
0
cos
a
.
 òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà â âîçäóõå íàïðÿæåí-
íîñòü ïîëÿ
E
e
=
+
E
E
ne
2
2
t
e
=
+
10
4
2
2
2
sin
cos
a
a
íå îñ-
òàåòñÿ ïîñòîÿííîé, è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî íå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì âáëèçè öè-
ëèíäðà.
12.
Òàê êàê
H
t
1
=
H
y
1
,
H
n
1
=
H
x
1
, òî
H
y
2
=
H
y
1
,
B
x
2
=
B
x
1
= m
0
H
x
1
. Ïðè ñîâïàäåíèè
ãëàâíûõ îñåé àíèçîòðîïèè ñ îñÿìè
x
,
y
èìååì
(
m) =
m
m
x
y
0
0
è
B
B
H
H
x
y
x
y
x
y
2
2
2
2
0
0
=
m
m
,
îòêóäà
B
x
2
= m
x
H
x
2
,
B
y
2
= m
y
H
y
2
,
H
x
2
=
1
m
x
B
x
2
= m
m
0
x
H
x
1
,
B
y
2
= m
y
H
y
1
,
B
1
=
i
m
0
H
x
1
+
+
j
m
0
H
y
1
, òàê ÷òî
B
2
=
i
m
0
H
x
1
+
j
m
y
H
y
1
,
H
2
=
i
m
m
0
x
H
x
1
+
j
H
y
1
.
Ïðè íåñîâïàäåíèè ãëàâíûõ îñåé àíèçîòðîïèè ñðåäû ñ îñÿìè
x
,
y
èìååì
(m) =
m
m
m
m
xx
xy
yx
yy
è
B
B
H
H
x
y
xx
xy
yx
yy
x
y
2
2
2
2
=
m
m
m
m
,
îòêóäà
B
x
2
= m
xx
H
x
2
+
m
xy
H
y
2
,
B
y
2
= m
yx
H
x
2
+
m
xy
H
y
2
. Îòñþäà íàõîäèì
292
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. Ð23.1
Ðèñ. Ð23.2
H
x
2
=
1
m
xx
B
x
2
–
m
m
xy
xx
H
y
2
= m
m
0
xx
H
x
1
–
m
m
xy
xx
H
y
1
,
B
y
2
= m
yx
m
m
0
xx
H
x
1
+
m
m
m
m
yy
xy
xx
yx
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
H
y
1
,
B
1
=
i
m
0
H
x
1
+
j
m
0
H
y
1
,
B
2
=
i
m
0
H
x
1
+
j
m m
m
m
m
m
m
yx
xx
x
yy
xy
xx
yx
y
H
H
0
1
1
+
-
×
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
é
ë
ê
ù
û
ú
,
H
2
=
i
m
m
m
m
0
1
1
xx
x
xy
xx
y
H
H
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
+
j
H
y
1
.
24.1. Ïîòåíöèàë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
ÂÎÏÐÎÑÛ
1.
Óñëîâíî ïðèíÿòî, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íàïðàâëåíà â ñòîðîíó îò ïîëîæè-
òåëüíî çàðÿæåííûõ òåë, è ÷òî ïîòåíöèàë óáûâàåò â íàïðàâëåíèè ëèíèé íàïðÿ-
æåííîñòè ïîëÿ. Ýòèì óñëîâèÿì ñîîòâåòñòâóåò ñîîòíîøåíèå
E
=
–grad
U
.
9.
Åñëè ïîëíûé çàðÿä ïðîâîäîâ ëèíèè ðàâåí íóëþ, òî ïîòåíöèàë â áåñêîíå÷íî
óäàëåííîé òî÷êå ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå íà áîëüøîì
óäàëåíèè îò ïðîâîäîâ îí ïðîïîðöèîíàëåí ôóíêöèè
r
–
n
, ãäå
r
— ðàññòîÿíèå îò ïðî-
âîäîâ äî òî÷êè îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà,
n
— ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Åñëè æå ïîë-
íûé çàðÿä ïðîâîäîâ îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ðàâíûì íóëþ ìîæíî ïðèíÿòü ïîòåíöèàë
òîëüêî íà êîíå÷íîì ðàññòîÿíèè îò ïðîâîäîâ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ïîòåíöèàë ïðî-
ïîðöèîíàëåí ôóíêöèè ln
r
, êîòîðàÿ íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè
r
® ¥
.
10.
Åñëè ìûñëåííî óäàëèòü ïðîâîäÿùåå òåëî, ñîõðàíèâ óæå â îäíîðîäíîé ñðåäå
ñ ïðîíèöàåìîñòüþ
e
íà ïîâåðõíîñòè
s
òåëà çàðÿä, ðàñïðåäåëåííûé òàê æå, êàê îí
áûë ðàñïðåäåëåí íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùåãî òåëà, òî ïîëå êàê âíóòðè
s
, òàê è
âíå åå ñîõðàíèòñÿ òåì æå. Âíóòðè
s
ïîëÿ íå áóäåò, à âíå åå îíî ïîëíîñòüþ îïðåäå-
ëèòñÿ çàðÿäîì ïëîòíîñòüþ
s
. Ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòå ïîòåíöèàëà ïî ïðèâåäåííîé
ôîðìóëå ñðåäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îäíîðîäíóþ.
11.
Åñëè èíòåãðèðîâàíèå âûïîëíÿòü òîëüêî ïî ïîâåðõíîñòè çàðÿæåííîãî òåëà,
òî ðåçóëüòàò áóäåò íåâåðíûì. Èíòåãðèðîâàíèå ñëåäóåò âûïîëíèòü òàêæå è ïî ïî-
âåðõíîñòè íåçàðÿæåííîãî òåëà, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî çíàòü ïëîòíîñòü
s
íàâå-
äåííîãî íà åãî ïîâåðõíîñòè çàðÿäà.
12.
Åñëè ïîíèìàòü ïîä âåëè÷èíîé
r
ïëîòíîñòü ñâîáîäíîãî çàðÿäà, òî íåëüçÿ, òàê
êàê ñðåäà íåîäíîðîäíà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîòåíöèàëà íåîáõîäèìî êðîìå ñâîáîäíî-
ãî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå è ñâÿçàííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß È ÇÀÄÀ×È
3.
Ïîëå âåêòîðà
E
ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, åñëè îí óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
rot
E
=
0. Íàïðèìåð, äëÿ âàðèàíòà
ä
èìååì rot
x
E
= ¶
¶
E
y
z
–
¶
¶
E
z
y
=
–
b
¹
0, è, ñëåäîâà-
òåëüíî, ïîëå â ýòîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
293
4.
Ïîòåíöèàë ñâÿçàí ñ íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñîîòíîøåíèÿìè
U
= -
ò
E dx
x
+
f
1
(
y
,
z
) +
C
= -
ò
E dy
y
+
f
2
(
x
,
z
) +
C
=
–
E dz
z
ò
+
f
3
(
x
,
y
) +
C
. Ïðèìåíÿÿ
èõ äëÿ ðåøåíèÿ âàðèàíòà
ä
óñëîâèÿ, íàõîäèì
U
=
–
E
2
y
+
f
2
(
z
) +
C
=
–
E
3
z
+
f
3
(
y
) +
C
,
îòêóäà
U
(
x
,
y
,
z
)
=
–
E
2
y
–
E
3
z
+
C
.
5.
Ñîñòàâëÿþùèå
Å
1
,
Å
2
,
Å
3
íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëî-
âèÿì rot
x
E
= ¶
¶
E
y
3
–
¶
¶
E
z
2
=
0, rot
y
E
= ¶
¶
E
z
1
–
¶
¶
E
x
3
=
0, rot
z
E
= ¶
¶
E
x
2
–
¶
¶
E
y
1
=
0. Äëÿ âàðè-
àíòà
â
, â ÷àñòíîñòè, èìååì
¶
¶
E
y
3
=
0,
¶
¶
E
z
1
–
¶
¶
E
x
3
=
0,
¶
¶
E
y
1
=
0.
7.
Èñïîëüçóåì ôîðìóëó
U
=
1
4
2
pe
j
p
r
cos
, îïðåäåëÿþùóþ ïîòåíöèàë ïîëÿ äèïîëÿ
ïðè
r
>>
d
. Ïîëå çàðÿäîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Ð24.1,
à
, ýêâèâàëåíòíî íà áîëü-
øèõ ðàññòîÿíèÿõ ïîëþ äâóõ äèïîëåé
U
A
=
2
4
2
p
r
cos
j
pe
.
Ïîòåíöèàë ïîëÿ çàðÿäîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Ð24.1,
á
è îáðàçóþùèõ êâàäðó-
ïîëü, ðàâåí
U
p
r
r
p
r
r
r
A
=
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ @
-
4
4
2
2
2
1
1
2
5
1
3
2
pe
j
j
j
pe
cos
cos
cos
(
3
).
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
r
1
@
r
–
d
2
sin
j
,
r
2
@
r
+
d
2
sin
j
, íàõîäèì
r
r
1
3
2
3
-
@
3
r
2
d
sin
j
,
U
A
=
3
2
8
3
p
r
sin
j
pe
,
E
r
=
9
2
8
4
p
r
sin
j
pe
,
E
j
= -
3
2
4
4
p
r
cos
j
pe
.
Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëà íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò
äâóõ äèïîëåé (ïðîïîðöèîíàëüíî
r
–2
èëè
r
–3
) îïðåäåëÿåòñÿ èõ âçàèìíûì ðàñïî-
ëîæåíèåì.
294
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. Ð24.1
8.
Ïîòåíöèàë íà îñè
z
(ðèñ. Ð24.2) ðàâåí
U
=
t
j
pe
p
R d
z
R
4
2
2
0
2
+
ò
=
t
e
R
z
R
2
2
2
+
, à íà-
ïðÿæåííîñòü ïîëÿ
E
r
=
0,
E
j
=
0,
E
z
=
–
¶
¶
U
z
=
t
e
Rz
z
R
2
2
2
3 2
(
)
+
.
9.
Ïëàñòèíó ðàññìàòðèâàåì êàê ñîâîêóïíîñòü áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïîëîñîê
øèðèíîé
dx
0
êàæäàÿ, ïîòåíöèàë ïîëÿ êîòîðûõ (ðèñ. Ð24.3) ðàâåí
dU
= -
´
s
pe
dx
0
2
´
ln (
)
x
x
y
-
+
0
2
2
. Èíòåãðèðóÿ ýòî âûðàæåíèå â ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ
õ
0
îò
–
à
äî +
à
, íàõîäèì
U x y
x
x
a
y
x
a
y
a
x
a
y
( , )
ln
(
)
(
)
ln{[(
)
][
= -
+
+
-
+
+
-
+
s
pe
4
2
2
2
2
2
2
(
)
]}
x
a
y
+
+
-
ì
í
î
2
2
-
+
+
-
ü
ý
þ
4
2
2
2
2
2
a
y
ay
y
x
a
arctg
.
10.
Îáîçíà÷èâ â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò êîîð-
äèíàòû òî÷êè
À
, â êîòîðîé îïðåäåëÿåì ïîòåíöèàë, êàê
r
,
j
, à êîîðäèíàòû
n
-é íèòè êàê
r
n
=
R
,
a
n
=
(
p
/
N
)
´
´
(2
n
-
1) (ðèñ. Ð24.4), ìîæåì íàïèñàòü ïîòåíöèàë
ïîëÿ
n
-é çàðÿæåííîé íèòè â âèäå
U
r
R
rR
n
n
n
= -
+
-
-
t
pe
j a
4
2
2
2
ln[
cos(
)].
Ïîëüçóÿñü ìåòîäîì íàëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì â ñëó÷àå îä-
íîèìåííûõ çàðÿäîâ íèòåé
U
r
R
rR
n
N
=
+
-
-
Õ
t
pe
j a
4
2
2
2
ln
[
cos(
)]
è ïðè ðàçíîèìåííûõ çàðÿäàõ íèòåé
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
295
Ðèñ. Ð24.2
Ðèñ. Ð24.3
Ðèñ. Ð24.4