Материал: Дерябин Статистические методы управления качеством продуктсии 2015
As= 0,25–0,5 – умеренная асимметрия; |
As> 0,5 – крайне асимметричное распределение. |
Среднее Медиана Мода |
Рис. 10. Левосторонняя асимметрия (As<0) |
Допустимое значение коэффициента асимметрии SAs для закона нормального распределения равно:
|
= |
6(n |
− 1) n |
||
SAs |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
(n − 2)(n + 1)(n + 3) |
|||
|
≤ 2SAs . Если условие выпол- |
||||
Должно выполняться условие |
As |
||||
няется, то показатель асимметрии находится в норме, если нет, то является высоким, что порой необходимо указывать.
Для оценки «крутизны» (островершинности) распределения пользуются характеристикой – эксцессом.
Эксцесс представляет собой отклонение вершины распределения вверх или вниз от вершины нормального распределения (рис. 5.4).
Коэффициент эксцесса определяется по формуле
Рис. 5.4. Вершины распределения |
ES |
= |
M4 |
− 3, |
|
S4 |
где М4 – центральный момент распределения четвертого порядка,
∑k (xi − x)4 mi
M4 = |
i=1 |
|
|
|
k |
. |
∑mi
i=1
51
Допустимое значение коэффициента эксцесса для закона нормального распределения
|
= |
24 n(n − 1)2 |
||
SEs |
|
|
. |
|
(n − 3)(n − 2)(n + |
|
|||
|
|
3)n + 5 |
||
Значение коэффициента эксцесса необходимо сравнить с допустимым значением, должно выполняться условие
ES ≤ 2SEs .
1. Для теоретического закона нормального распределения
Es = 0 → |
М |
= 3 . |
4 |
||
σ4 |
2.Выше нормального (островершинное распределение) Es > 0.
3.Ниже нормального (плосковершинное распределение) Es < 0.
Ошибка выборки ( x ) – это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методов отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности (значимости) результатов исследования:
|
= t |
S |
, |
x |
|
||
n −1 |
где t – величина нормируемого отклонения, зависящая от принятого значения доверительной вероятности F(t). Например, при F(t) = = 0,95 (это означает, что в 5 случаях из 100 ошибка выборки может выйти за установленные границы) t = 1,96. Значение ошибки выборки x применяется для оценки генеральной средней μ. Это означает, что генеральная средняя находится в интервале
μ = |
|
± |
|
. |
|
x |
|||||
x |
|||||
|
|
|
|
Задание
Из партии деталей N = 1000 шт. сделана выборка в объеме n (величина выборки). Детали, попавшие в выборку, измерены, результаты приведены в приложении 4.
Определить процент брака в выборке.
52
Порядок выполнения работы
1.Получить задание у преподавателя (см. приложение 4).
2.Определить количество k и величину c интервалов (см. работу
№1), среднюю арифметическую x , среднюю квадратичную S; составить интервальную таблицу (табл. 5.1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интер- |
Середина |
Частота |
xi mi |
|
|
|
xi – |
|
|
(xi – |
|
)2 |
(xi – |
|
)2 mi |
S |
x |
x |
x |
x |
|||||||||||||
вал |
интервала xi |
mi |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Построить полигон и гистограмму.
4.Определить моду Мо и медиану Ме распределения.
5.Определить размах R, среднее линейное отклонение d .
6.Определить коэффициент асимметрии As, коэффициент эксцесса распределения Еs, сравнить их с допустимыми, сделать вывод.
7. Определить ошибку выборки |
x |
для t = 1,96 (при довери- |
тельной вероятности 0,95) и значение генеральной средней μ. 8. Определить закон распределения, для этого:
а) определить теоретическую частоту miT |
в каждом интервале |
||||
|
n c |
− ( xi − x)2 |
|
||
miT = |
e |
2 S 2 |
; |
||
S 2π |
|||||
|
|
|
|
||
б) определить накопленные частоты: фактическую Ni и теоретическую NiT .
в) занести данные в табл. 5.2;
Таблица 5.2
Середина интервала xi
Фактиче- |
Теоретиче- |
||
ская частота |
|||
ская часто- |
|||
(целое зна- |
|||
та mi |
|||
чение) |
T |
||
|
mi |
||
|
|
|
|
Накопленная |
Накопленная |
|
|
частота |
частота (тео- |
|
Ni − NiT |
(фактиче- |
ретическая) |
|
|
|
|
|
|
ская) Ni |
NiT |
|
|
|
|
|
|
53
г) определить λ (переменную Колмогорова)
λ = |
|
|
Ni − NiT |
|
max |
; |
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
д) определить Р(λ) по табл. 5.3. Если выполняется условие Р(λ) > 0,05, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается, если не выполняется, то – нет.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
P(λ) |
λ |
P(λ) |
λ |
P(λ) |
λ |
|
P(λ) |
0,3 |
1,0 |
0,9 |
0,3927 |
1,5 |
0,0222 |
2,1 |
|
0,0003 |
0,4 |
0,9972 |
1,0 |
0,27 |
1,6 |
0,012 |
2,2 |
|
0,0001 |
0,5 |
0,9639 |
1,1 |
0,1777 |
1,7 |
0,0062 |
2,3 |
|
0,0001 |
0,6 |
0,8643 |
1,2 |
0,1122 |
1,8 |
0,0032 |
2,4 |
|
0,0000 |
0,7 |
0,7112 |
1,3 |
0,0381 |
1,9 |
0,0015 |
2,5 |
|
0,0000 |
0,8 |
0,5441 |
1,4 |
0,0397 |
2,0 |
0,0007 |
|
||
|
|
|
||||||
9. Построить теоретическую кривую по характерным точкам:
– вершина mmax = 0,4 n c ;
S
– точки перегиба: x1 = x − S, x2 = x + S , mS = 0,242 n c ;
S
– крайние точки: x3 = x − 3S, x4 = x + 3S , m3S = 0 . Построение кривой возможно также по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
( x− |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
nc |
|
|
x |
|||||
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
e 2S 2 . |
||||||||
|
|
S |
2π |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Определить процент брака: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
xmax |
e− |
( x− x)2 |
|
|
||||
P = 1 |
− |
|
∫ |
|
2S 2 |
dx 100 % . |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 2π xmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где xmax и xmin соответственно максимальное и минимальное допустимые значения величины.
11. Ответить на контрольные вопросы.
12 Отчет оформить в электронном виде.
54
Контрольные вопросы
1.Что такое мода и медиана?
2.Что такое выборка и генеральная совокупность?
3.С какой целью определяют коэффициент асимметрии?
4.Если As<0, то какая будет асимметрия?
5.С какой целью определяют коэффициент эксцесса?
6.Если Es > 0 , то какое будет распределение?
7.Как построить теоретическую кривую?
Список литературы к работе 5
1.Елисеева, И.И. Общая теория статистики: учебник / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. – М.: Финансы и статистика, 2002.
2.Ефимова, М.Р. Практикум по общей теории статистики / М.Р. Ефимова, О.И. Ганченко, Е.В. Петрова. – М.: Финансы и статистика, 2000.
55