Материал: Диагностика и проведение испытаний автоматизированных систем (90
Рис.5.1. Кривая плотности χ2 – распределения.
Известно, что величина доверительного интервала будет наименьшей, если заштрихованные на рис.5.1.области будут равными по площади. Сле- довательно, для определения границ доверительного интервала необходимо воспользоваться квантилями χ2 – распределения для вероятностей α/2 и 1-α/2. Тогда верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала можно вычислить из соотношений:
TH = |
χα2 |
2tr |
, |
(5.9) |
/ 2(2r) |
TB = |
2t r |
. |
(5.10) |
|
χ12−α / 2 (2r) |
||||
|
|
|
Значения квантилей χ2 – распределения находят по таблице распреде- ления (табл. 5.2) для 2r степеней свободы. Если испытания продолжаются после r-го отказа, (но не до наступления r+1-го отказа) то число степеней свободы при определении ТН и ТВ увеличивается до 2r+2.
Если же в процессе испытаний отказы не наблюдались, то определяется только нижняя граница среднего времени наработки на отказ:
T |
= |
2t0 |
, |
(5.11) |
|
||||
H |
|
χα2 (r) |
|
|
где t0 – суммарная продолжительность испытаний, а значения квантилей χ2распределения находят для r степеней свободы при уровне значимости α.
16
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.2. |
|
||
|
|
|
χ2 – |
распределение. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,99 |
0,98 |
0,95 |
|
0,90 |
0,80 |
0,70 |
|
0,50 |
|
0,30 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,00016 |
0,0006 |
0,0039 |
|
0,016 |
0,064 |
0,148 |
|
0,455 |
|
1,07 |
2 |
0,020 |
0,040 |
0,103 |
|
0,211 |
0,446 |
0,713 |
|
1,386 |
|
2,41 |
3 |
0,115 |
0,185 |
0,352 |
|
0,584 |
1,005 |
1,424 |
|
2,366 |
|
3,67 |
4 |
0,30 |
0,43 |
0,71 |
|
1,06 |
1,65 |
2,19 |
|
3,36 |
|
4,9 |
5 |
0,55 |
0,75 |
1,14 |
|
1,61 |
2,34 |
3,00 |
|
4,35 |
|
6,1 |
6 |
0,87 |
1,13 |
1,63 |
|
2,2 |
3,07 |
3,83 |
|
5,35 |
|
7,2 |
7 |
1,24 |
1,56 |
2,17 |
|
2,83 |
3,82 |
4,67 |
|
6,35 |
|
8,4 |
8 |
1,65 |
2,03 |
2,73 |
|
3,49 |
4,59 |
5,53 |
|
7,34 |
|
9,5 |
9 |
2,09 |
2,53 |
3,32 |
|
4,17 |
5,38 |
6,39 |
|
8,34 |
|
10,7 |
10 |
2,56 |
3,06 |
3,94 |
|
4,86 |
6,18 |
7,27 |
|
9,34 |
|
11,8 |
11 |
3,1 |
3,6 |
4,6 |
|
5,6 |
7,0 |
8,1 |
|
10,3 |
|
12,9 |
12 |
3,6 |
4,2 |
5,2 |
|
6,3 |
7,8 |
9,0 |
|
11,3 |
|
14,0 |
13 |
4,1 |
4,8 |
5,9 |
|
7,0 |
8,6 |
9,9 |
|
12,3 |
|
15,1 |
14 |
4,7 |
5,4 |
6,6 |
|
7,8 |
9,5 |
10,8 |
|
13,3 |
|
16,2 |
15 |
5,2 |
6,0 |
7,3 |
|
8,5 |
10,3 |
11,7 |
|
14,3 |
|
17,3 |
16 |
5,8 |
6,6 |
8,0 |
|
9,3 |
11,2 |
12,6 |
|
15,3 |
|
18,4 |
17 |
6,4 |
7,3 |
8,7 |
|
10,1 |
12,0 |
13,5 |
|
16,3 |
|
19,5 |
18 |
7,0 |
7,9 |
9,4 |
|
10,9 |
12,9 |
14,4 |
|
17,3 |
|
20,6 |
19 |
7,6 |
8,6 |
10,1 |
|
11,7 |
13,7 |
15,4 |
|
18,3 |
|
21,7 |
20 |
8,3 |
9,2 |
10,9 |
|
12,4 |
14,6 |
16,3 |
|
19,3 |
|
22,8 |
21 |
8,9 |
9,9 |
11,6 |
|
13,2 |
15,4 |
17,2 |
|
20,3 |
|
23,9 |
22 |
9,5 |
10,6 |
12,3 |
|
14,0 |
16,3 |
18,1 |
|
21,3 |
|
24,9 |
23 |
10,2 |
11,3 |
13,1 |
|
14,8 |
17,2 |
19,0 |
|
22,3 |
|
26,0 |
24 |
10,9 |
12,0 |
13,8 |
|
15,7 |
18,1 |
19,9 |
|
23,3 |
|
27,1 |
25 |
11,5 |
12,7 |
14,6 |
|
16,5 |
18,9 |
20,9 |
|
24,3 |
|
28,2 |
26 |
12,2 |
13,4 |
15,4 |
|
17,3 |
19,8 |
21,8 |
|
25,3 |
|
29,2 |
27 |
12,9 |
14,1 |
16,2 |
|
18,1 |
20,7 |
22,7 |
|
26,3 |
|
30,3 |
28 |
13,6 |
14,8 |
16,9 |
|
18,9 |
21,6 |
23,6 |
|
27,3 |
|
31,4 |
29 |
14,3 |
15,6 |
17,7 |
|
19,8 |
22,5 |
24,6 |
|
28,3 |
|
32,5 |
30 |
15,0 |
16,3 |
18,5 |
|
20,6 |
23,4 |
25,5 |
|
29,3 |
|
33,5 |
17
Продолжение таблицы 5.2.
m |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
|
0,01 |
0,005 |
0,002 |
0,001 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1,64 |
2,7 |
3,8 |
5,4 |
|
6,6 |
7,9 |
9,5 |
10,8 |
2 |
3,22 |
4,6 |
6,0 |
7,8 |
|
9,2 |
10,6 |
12,4 |
13,8 |
3 |
4,64 |
6,3 |
7,8 |
9,8 |
|
11,3 |
12,8 |
14,8 |
16,3 |
4 |
6,0 |
7,8 |
9,5 |
11,7 |
|
13,3 |
14,9 |
16,9 |
18,5 |
5 |
7,3 |
9,2 |
11,1 |
13,4 |
|
15,1 |
16,8 |
18,9 |
20,5 |
6 |
8,6 |
10,6 |
12,6 |
15,0 |
|
16,8 |
18,5 |
20,7 |
22,5 |
7 |
9,8 |
12,0 |
14,1 |
16,6 |
|
18,5 |
20,3 |
22,6 |
24,3 |
8 |
11,0 |
13,4 |
15,5 |
18,2 |
|
20,1 |
22,0 |
24,3 |
26,1 |
9 |
12,2 |
14,7 |
16,9 |
19,7 |
|
21,7 |
23,6 |
26,1 |
27,9 |
10 |
13,4 |
16,0 |
18,3 |
21,1 |
|
23,2 |
25,2 |
27,7 |
29,6 |
11 |
14,6 |
17,3 |
19,7 |
22,6 |
|
24,7 |
26,8 |
29,4 |
31,3 |
12 |
15,8 |
18,5 |
21,0 |
24,1 |
|
26,2 |
28,3 |
30,9 |
32,,9 |
13 |
17,0 |
19,8 |
22,4 |
25,5 |
|
27,7 |
29,8 |
32,5 |
34,5 |
14 |
18,2 |
21,1 |
23,7 |
26,9 |
|
29,1 |
31,3 |
34,0 |
36,1 |
15 |
19,3 |
22,3 |
25,0 |
28,3 |
|
30,6 |
32,8 |
35,6 |
37,7 |
16 |
20,5 |
23,5 |
26,3 |
29,6 |
|
32,0 |
34,3 |
37,1 |
39,3 |
17 |
21,6 |
24,8 |
27,6 |
31,0 |
|
33,4 |
35,7 |
38,,6 |
40,8 |
18 |
22,8 |
26,0 |
28,9 |
32,3 |
|
34,8 |
37,2 |
40,1 |
42,,3 |
19 |
23,9 |
27,2 |
30,1 |
33,7 |
|
36,2 |
38,6 |
41,6 |
43,8 |
20 |
25,0 |
28,4 |
31,4 |
35,0 |
|
37,6 |
40,0 |
43,0 |
45,3 |
21 |
26,2 |
29,6 |
32,7 |
36,3 |
|
38,9 |
41,4 |
44,5 |
46,8 |
22 |
27,3 |
30,8 |
33,9 |
37,7 |
|
40,3 |
42,8 |
45,9 |
48,3 |
23 |
28,4 |
32,0 |
35,2 |
39.0 |
|
41,6 |
44,2 |
47,3 |
49,7 |
24 |
29,6 |
33,2 |
36,4 |
40,3 |
|
43,0 |
45,6 |
48,7 |
51,2 |
25 |
30,7 |
34,4 |
37,7 |
41,6 |
|
44,3 |
46,9 |
50,1 |
65,6 |
26 |
31,8 |
35,6 |
38,9 |
42,9 |
|
45,6 |
48,3 |
51,6 |
54,1 |
27 |
32,9 |
36,7 |
40,1 |
44,1 |
|
47,0 |
49,6 |
52,9 |
55,5 |
28 |
34,0 |
37,9 |
41,3 |
45,4 |
|
48,3 |
51,0 |
54,4 |
56,9 |
29 |
35,1 |
39,1 |
42,6 |
46,7 |
|
49,6 |
52,3 |
55,7 |
58,3 |
30 |
36,3 |
40,3 |
43,8 |
48,0 |
|
50,9 |
53,7 |
57,1 |
59,7 |
При испытании объектов, время безотказной работы которых распределено по нормальному закону, границы доверительного интервала среднего вре- мени наработки на отказ определяются следующим образом.
18
Пусть испытания на надежность n однотипных объектов длятся до от- каза всех объектов (n=r). По данным первичной статистики могут быть вы- числены оценки среднего времени наработки на отказ Т и среднеквадратич- ного отклонения этой величины:
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å ti |
|
|
|
|
|
|
T = |
i=1 |
, |
|
|
(5.12) |
||
|
|
n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å(ti -T)2 |
|
|
|
|
σ |
t |
= |
|
i=1 |
|
, |
(5.13) |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
n-1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ti – наработка на отказ i-го объекта.
Поскольку время безотказной работы распределено по нормальному закону, то и сама оценка средней наработки на отказ распределена по нор- мальному закону с параметрами:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å ti |
|
|
|||
|
m |
T |
= T = |
i=1 |
, |
(5.14) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
å(ti -T)2 |
|
|
||
σ |
T |
= |
t |
|
= |
|
|
i=1 |
(5.15) |
|||||
|
|
|
n(n-1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Нормированная и центрированная кривая плотности распределения оценки Т представлена на рис.5.2.
Рис.5.2. Кривая плотности нормального распределения оценки.
19
Деления на оси абсцисс соответствуют числу среднеквадратичных от- клонений σТ, укладывающихся в промежуток от нуля до данного деления. Квантиль Кα/2 определяет границы промежутка [- Кα/2, Кα/2] в пределы кото- рого попадает центрированная и нормированная случайная величина с ве- роятностью (1 − α). Заштрихованные на рис. 5.2 области соответствуют ве- роятностям α/2, с которыми оценка Т будет расположена левее или правее указанного интервала. Переход от центрированной и нормированной слу- чайной величины к оценке среднего времени наработки на отказ произво- дится в соответствии с соотношением:
T = mT ± Kα σT . |
(5.16) |
2
Таким образом, нижняя и верхняя границы доверительного интервала оцен-
ки среднего времени наработки на отказ при нормальном распределении времени безотказной работы определяются, как:
T |
= T- K |
|
|
|
σ |
t |
|
; |
(5.17) |
||||
α |
|
|
|
|
|
||||||||
H |
|
|
|
n |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
||
T = T + K |
α |
|
t |
|
. |
(5.18) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
B |
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения квантилей Кα/2 для наиболее часто используемых значений доверительной вероятности приведены в табл.5.3.
|
|
|
|
|
Таблица 5.3. |
|
|||
Доверительная веро- |
0,8 |
0,85 |
0,9 |
0,92 |
0,95 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
|
ятность 1-α |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кα/2 |
1,28 |
1,44 |
1,64 |
1,75 |
1,96 |
2,58 |
2,81 |
3,29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Планирование определительных испытаний при нормальном распреде- лении времени безотказной работы производится, исходя из требуемой точ- ности оценки среднего времени наработки на отказ:
ε = ±K |
α |
σ t |
|
, |
(5.19) |
|
|
|
|||||
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ожидаемого значения среднеквадратичного отклонения σt и доверительной вероятности. По этим данным рассчитывают число объектов, подлежащих испытаниям.
20