Материал: Диагностика и проведение испытаний автоматизированных систем (90
5.3. Контрольные испытания на надежность.
Целью контрольных испытаний на надежность является определение соответствия характеристик надежности партии объектов установленным требованиям. Контрольным испытаниям, как правило, подвергается относи- тельно небольшая выборка из испытуемой партии, а полученные результаты распространяются на всю партию объектов.
Типовая процедура контрольных испытаний сводится к следующему: выборка объема n из испытуемой партии в N объектов ставится на испыта- ния продолжительностью t часов. Зафиксированное за это время число отка- зов r сопоставляется с приемочным числом отказов с. По результатам срав- нения делается один из возможных выводов – либо уровень надежности со- ответствует заданному (r≤ c) и партия принимается, либо уровень надежно- сти не соответствует заданному (r>c) и партия бракуется.
Поскольку число наблюдаемых отказов случайно, имеется определен- ная вероятность того, что выводы, сделанные по результатам испытаний, будут ошибочными. При этом могут иметь место ошибки первого и второго рода.
Ошибка первого рода возникает тогда, когда партия объектов с уров- нем надежности равным заданному или выше заданного бракуется по ре- зультатам выборочных испытаний. Вероятность ошибки первого рода (α) называется риском поставщика. Ошибка второго рода возникает тогда, ко-
гда партия объектов с уровнем надежности ниже заданного принимается по результатам выборочных испытаний. Вероятность ошибки второго рода (β)
называется риском заказчика.
Связь между надежностью объектов проверяемой партии и вероятно- стью приемки партии по результатам выборочных испытаний устанавлива- ется с помощью оперативной характеристики метода контроля. Под опера- тивной характеристикой понимают зависимость условной вероятности при- емки партии от объема выборки n, приемочного числа с и уровня надежно- сти Н.
Pпр=ϕ(n, c, H). |
(5.20) |
В большинстве случаев в качестве проверяемого показателя надежно- сти используется вероятность отказа объекта q за время испытаний tи или среднее время наработки на отказ Т.
Идеальная оперативная характеристика (рис.5.3) устанавливает еди-
ничную вероятность приемки партии при соответствии уровня надежности заданному (r≤ c) и нулевую вероятность приемки, если зафиксированный уровень надежности хуже заданного (r>c). Для идеальной оперативной ха-
рактеристики риски поставщика и заказчика равны нулю: |
|
α = 1 – Рпр(r≤c) = 0; β = Рпр(r>c) = 0. |
(5.21) |
21
Рис. 5.3. Идеальная оперативная характеристика.
Главным достоинством метода контроля с идеальной оперативной ха- рактеристикой является его чувствительность. Однако, осуществление иде- альной оперативной характеристики на практике связано с большими труд- ностями. Реальные оперативные характеристики являются некоторыми при- ближениями идеальной.
Простейшим случаем контрольных испытаний являются испытания партии, состоящей из одного объекта (n = N = 1; c = 0). Такой контроль мо- жет быть проведен с использованием одного (q0 – приемочный уровень) или двух (q0 – приемочный уровень и q1 – браковочный уровень) значений веро- ятности отказа. При контроле надежности по одному уровню вероятность приемки партии равна вероятности безотказной работы объекта:
Рпр= 1 – q0. |
(5.22) |
В данном случае риск поставщика равен вероятности браковки объекта при условии, что вероятность отказа равна заданной, то есть:
α = q0 . |
(5.23) |
Риск заказчика в данном случае равен нулю, так как требования к надежно- сти объекта выполняются по условиям проведения испытаний.
При контроле надежности по двум уровням появляется и риск заказчи- ка, который характеризует вероятность приемки партии с вероятностью от- каза q1 или хуже:
β = 1 − q1. |
(5.24) |
Оперативная характеристика для данного случая представлена на рис.5.4.
22
Рис. 5.4. Оперативная характеристика для n = N = 1; c = 0.
Следует отметить, что такая оперативная характеристика далека от идеальной. Она характеризуется низкой чувствительностью к изменениям
фактического уровня надежности объектов и дает относительно высокую вероятность того, что объект будет принят с надежностью, близкой к брако- вочному уровню.
На практике при испытаниях небольших выборок (n < 0,1N) для фор- мирования оперативной характеристики пользуются биномиальным распре- делением:
|
|
c |
|
P |
= |
åCnr qr (1-q)n-r . |
(5.25) |
пр |
|
r=0 |
|
График оперативной характеристики для этого случая приведен на рис.5.5.
Рис.5.5. Оперативная характеристика контроля при биномиаль- ном распределении Рпр.
23
Самым распространенным практическим случаем применения подоб- ной оперативной характеристики является случай, когда приемочное число с равно нулю. Тогда уравнение (5.25) упрощается до следующего:
Рпр = (1−q)n , |
(5.26) |
а для рисков поставщика и заказчика можно записать:
α = 1 – (1 – q0)n, (5.27) β = (1 – q1)n. (5.28)
При планировании контрольных испытаний, как правило, определяют объем выборки n и браковочный уровень вероятности отказов q1 при из- вестных значениях α, β и q0. Результаты расчетов по уравнениям (5.27, 5.28)
представлены в табл. 5.4. |
|
|
|
Таблица 5.4. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
α=0,05 |
|
|
|
α=0,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 |
n |
|
q1 |
n |
|
q1 |
||
|
|
β=0,05 |
|
β=0,10 |
β=0,05 |
|
β=0,10 |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00001 |
5180 |
0,00058 |
|
0,00044 |
10460 |
0,00028 |
|
0,00022 |
|
|
0,00003 |
1715 |
0,0017 |
|
0,0013 |
3521 |
0,00085 |
|
0,00065 |
|
0,00005 |
1028 |
0,0029 |
|
0,0023 |
2110 |
0,0014 |
|
0,0011 |
|
0,00007 |
734 |
0,0041 |
|
0,0031 |
1507 |
0,0020 |
|
0,0015 |
|
0,0001 |
514 |
0,0058 |
|
0,0045 |
1055 |
0,0028 |
|
0,0022 |
|
0,0003 |
172 |
0,0172 |
|
0,0133 |
353 |
0,0084 |
|
0,0065 |
|
0,0005 |
103 |
0,0286 |
|
0,0221 |
211 |
0,0141 |
|
0,0108 |
|
0,0007 |
74 |
0,0397 |
|
0,0306 |
151 |
0,0196 |
|
0,0151 |
|
0,001 |
52 |
0,0559 |
|
0,0432 |
106 |
0,0279 |
|
0,0215 |
|
0,003 |
17 |
0,161 |
|
0,126 |
35 |
0,0821 |
|
0,0637 |
|
0,005 |
11 |
0,238 |
|
0,189 |
21 |
0,133 |
|
0,104 |
|
0,007 |
8 |
0,311 |
|
0,250 |
15 |
0,181 |
|
0,142 |
|
0,01 |
6 |
0,393 |
|
0,319 |
11 |
0,238 |
|
0,189 |
Если приемочный и браковочный уровни вероятности отказов невели- ки (q0, q1 < 0,1) то планирование испытаний можно проводить с использова- нием распределения Пуассона, которое позволяет достаточно просто вы- числить необходимые величины для произвольного приемочного числа с.
Оперативная характеристика для этого случая запишется в виде:
P |
= |
с |
(nq)r |
e- nq . |
|
å |
|
(5.30) |
|||
|
|||||
пр |
|
r=0 |
r! |
|
|
Риски поставщика и заказчика при с=0 вычисляются из соотношений:
24
α =1−e-nqo , |
(5.31) |
|
β = e-nq1 . |
(5.32) |
|||
Логарифмируя эти выражения, получим: |
|
||||||
nqo = −ln(1−α), (5.33) |
|
nq1 = −ln β . |
(5.34) |
||||
или |
ε = |
q1 |
= |
ln β |
|
(5.35) |
|
q0 |
ln(1−α) |
||||||
|
|
|
|
||||
В большинстве практических случаев можно принять, что время безот-
казной работы испытуемых объектов распределено по экспоненциальному закону, тогда:
q0 = λ0tи , (5.36) q1 = λ1tи , (5.37)
где λо и λ1 – приемлемый и браковочный уровни интенсивности отказов, а tи
– продолжительность испытаний. Величина λ1 обычно устанавливается из условия:
P(t |
p |
) = e-λ1tp |
(5.38) или |
λ t |
p |
= −lnP(t |
p |
), (5.39) |
|
|
|
1 |
|
|
где Р(tр) – браковочный уровень вероятности безотказной работы за время tр . Из уравнений (5.34), (5.37) и (5.39) получаем:
ntи = |
ln β |
(5.40) |
|
ln P(tp ) |
|||
tp |
|
Результаты расчетов по приведенным выше уравнениям представлены в табл. 5.5 – 5.8.
Таблица 5.5.
Значения ε = q1/q0 при с = 0.
α |
0,001 |
0,01 |
0,05 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
|
β |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
0,001 |
6908 |
687 |
135 |
65,6 |
31,0 |
19,4 |
|
0,01 |
4605 |
458 |
89,8 |
43,7 |
20,6 |
12,9 |
|
0,05 |
2996 |
298 |
58,4 |
28,4 |
13,4 |
8,4 |
|
0,1 |
2303 |
229 |
44,9 |
21,9 |
10,3 |
6,5 |
|
0,2 |
1609 |
160 |
31,4 |
15,3 |
7,2 |
4,5 |
|
0,3 |
1204 |
120 |
23,5 |
11,4 |
5,4 |
3,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25