Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Е.Н.Провоторова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Воронеж 2003

MИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

Е.Н.Провоторова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия.

Воронеж 2003

УДК 517.9

Дифференциальные уравнения: Учеб.пособие. Е.Н.Провоторова . Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т,

2003. 98 с.

В пособии содержатся основные теоретические сведения по дисциплине "Дифференциальные уравнения" и примеры интегрирования наиболее важных классов

специальностей 075500 «Комплексное обеспечение

обучения.Учебное пособие подготовлено на магнитном

Провоторова Е.Н., 2003 Воронежский государственный технический университет, 2003

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные уравнения занимают особое место в ряду математических дисциплин в силу многочисленных приложений в практических задачах. При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти закон, связывающий независимую переменную и функцию, описывающую процесс, но можно установить связь между этой функцией и ее производной, характеризующей скорость течения процесса. Эта связь и выражается дифференциальным уравнением.

Первые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, исследовались в трудах Ньютона и Лейбница. В 18 веке тeория дифференциальных уравнений выделилась в самостоятельную математическую дисциплину. Ее успехи связаны с именами братьев Иоганна и Якоба Бернулли, Ж. Лагранжа и особенно Л. Эйлера. На первых этапах развития теории дифференциальных уравнений ученые занимались разработкой методов интегрирования дифференциальных уравнений и поисками классов уравнений, интегрируемых в квадратурах, т.е. уравнений, решения которых могут быть в явной или в неявной форме выражены через элементарные функции и интегралы от них. В середине 19 века было доказано, что в квадратурах разрешимо лишь небольшое число классов

дифференциальным уравнениям характеризовать свойства решений, а также численные методы.

В данном пособии рассматриваются основные классы дифференциальных уравнений, допускающих интегрирование в квадратурах.

1.Дифференциальные уравнения первого порядка

1.1Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные равнения являются математической моделью многочисленных физических, химических, биологических и др. процессов. При составлении дифференциальных уравнений весьма часто используют физические законы, которые описывают соотношение между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Например, в механике – законы Ньютона, в теории электрических цепей – законы Кирхгоффа, в теории скоростей химических реакций – закон действия масс и т.д. Если физический закон протекания процесса неизвестен, то для составления дифференциального уравнения прибегают к гипотезе о линейности процесса ―в малом‖, т.е., например, считают, что в течение малого промежутка времени ∆t участвующие в процессе величины изменяются с постоянной скоростью. Составляют соотношения между приращениями этих величин и, переходя к пределу при ∆t → 0, получают уравнение, содержащее производную по времени. Дифференциальное уравнение – это как бы ―мгновенный снимок процесса‖ в данный момент времени, интегрируя дифференциальное уравнение, мы по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса в целом.