Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x1(t) c1x11(t) x2 (t) c1x21(t)

c2 x12 (t) ...	cn x1n (t),
c2 x22 (t) ...	cn x2n (t),

xn (t) c1xn1 (t) c2 xn2 (t) ... cn xnn (t),

где c1, c2 ,..., cn — произвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример 1. Решить систему

			dx1		x1	2x2 ,				dx2		2x1		x2
			dt		x1	2x2 ,				dt		2x1		x2
Ищем решение в виде						x				e t	, x		2	e t .
						1			1			2	2
Характеристическое уравнение
				2		0	или					2	2	3	0
	1			2

	2			1
	2			1
имеет корни			1	1,	2	3.
Система (3.3) для определения														1, 2	выглядит так:
(		1	)	1	2	2	0,								(*)
2			( 1		)		0.								(*)
2		1	( 1		)	2	0.
Подставляя в (*)						1, получаем
	x (t)		c	et		c	12	e 3t ,
1			1	11		2	12
	x (t)		c	et		c	12		e 3t ,
2			1	11		2	12
откуда 21			11 .
Следовательно, x						et , x		21				et	,
				11		11		21				11

Полагая в (*)				3, находим 22						12 , поэтому
	x	12	e 3t , x		22			12	e 3t .
	12	12			22			12
Общее решение данной системы:
x (t)	c	et	c	12		e 3t ,				x (t)	C et	C e 3t ,
1	1	11	2	12					или	1	1	2
x (t)	c	et	c				e 3t ,		или		C et	C e 3t .
x (t)	c	et	c	12			e 3t ,			x (t)	C et	C e 3t .
2	1	11	2	12						2	1	2

3.5. Решение систем дифференциальных уравнений методом интегрируемых комбинаций.

Этот метод интегрирования систем дифференциальных уравнений (не обязательно линейных) состоит в следующем: посредствам подходящих арифметических операций (например, сложение, вычитание др.) из уравнений заданной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, то есть достаточно просто интегрируемые уравнения вида

F t,u	du	0 ,
	dt

где u – некоторая функция		от искомых функций x1(t),
x2(t),…,xn(t).
Пример 1. Решить систему

y 2

x 2 .

Р е ш е н и е. Перепишем систему (2) в виде

xdx

y 2 dt

(3)

ydy

x 2 dt

Сложив почленно, получим

xdx

ydy

(x 2

y 2 )dt

или

d (x2

y 2 )

2dt,

y 2

Откуда

ln(x 2 y 2 )

2t ln C .

Потенцируя, будем иметь

x 2

y 2

C e2t .

(4)

Вычитая почленно из первого уравнения (3) второе, получим

xdx ydy ( y 2 x 2 )dt

или

	d (x2	y	2 )	2dt,
	x2	y 2		2dt,
	x2	y 2
отсюда
	x 2	y 2		C2 e 2t .	(5)

Разрешая (4) и (5) относительно x и y найдѐм общее решение системы (2):


x	~	2t	~		e	2t
x	C e		C		e
	1		2
y	~	2t	~		e	2t
y	C e		C	2	e
	1			2

где для упрощения записи положено

~ 1		~	1	C2 .
С1		С1 , C2
	2		2

Пример 2. Найти частное решение системы

dx	3x	5 y,

dt
dt		(6)
dy		(6)
dy	2x	8 y,

dt
dt

удовлетворяющее начальным условиям

x |t 0 2,

y |t 0 5.

(7)

Р е ш е н и е. Умножив первое уравнение на 2 и сложив

со вторым, получим

	d (2x y)	2(2x y),

	dt
	dt
отсюда

2x	y	C e2t ,
		1	(8)
	C e2t		(8)
y	C e2t	2x.
	1

Подставляя (8) в первое уравнение системы (6), получаем линейное уравнение для определения x:

					dx	7x	5C e2t .						(9)


					dt		1
					dt
x C		e 7t	5	C e2t .									(10)
x C	2	e 7t		C e2t .									(10)
	2		9		1
			9
Следовательно,
						y		1	C e2t	2C		e 7t .	(11)
						y			C e2t	2C	2	e 7t .	(11)
							9		1		2
							9

Выражение (10) и (11) представляют общее решение системы

(6).

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее условию (7), надо в (10) и (11) вместо t, x и y подставить соответственно числа 0, 2 и 5. Получим систему уравнений для определения C1 и C2:

2	C			5	C ,
2	C	2			C ,
		2		9	1
				9		(12)
		1				(12)
5		1	C		2C	,
5			C		2C	,
		9	1		2
		9

Источник: https://studfile.net/preview/16565560/

Смотрите также:

2731
imunnaya_s-ma1
Reyting_1_testy_vnachale
Алгоритм работы отдела транспортной логистики производственного предприятия
Естественные основания морали в свете современных научных исследований
Индекс жизненной удовлетворенности
Особенности правового статуса несовершеннолетних
Переход к внешнему управлению как метод предотвращения банкротства предприятия
Постановление Пленума ВАС РФ от 16.05.2014 N 28 (ред. от 26.-1
Разработка микропроцессорных устройств