Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н
откуда |
|
|
|
C1 9, C2 |
3. |
|
|
Ответ: |
x |
5e2t |
3e 7t , |
y |
e2t |
6e 7t . . |
4.Элементы теории устойчивости
4.1. Зависимость решения от начальных данных
Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных.
dx |
f(t,x), |
(1.1) |
|
|
|||
dt |
|||
|
|
x(t0)=x0
Если функция f(t,x) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную дf/дх в некоторой области изменения t, x, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши существует и единственно. Если изменять значения t0 и x0, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет при этом меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется мало пригодной для описания реального процесса.
Справедлива следующая теорема о непрерывной
зависимости решения от начальных условий
Теорема 1. Если правая часть f(t,x) дифференциального уравнения
dx/d t= f(t, x) |
(1.1) |
непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную дf/дх в некоторой области G изменения t, x, то решение x(t)==x(t,to,хo),
удовлетворяющее начальному |
|
условию |
x(t0)=x0, где |
||||||||||||||
(t0,x0) |
G, непрерывно зависит от начальных данных. |
|
|||||||||||||||
|
Иными словами, пусть через точку (t0,x0) проходит |
||||||||||||||||
решение |
|
|
x(t) |
уравнения |
(1.1), |
|
определенное на |
отрезке |
|||||||||
t |
, t0 ( , |
) . Тогда для любого >0 найдется |
такое |
||||||||||||||
>0, что при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
~ |
t0 |
|
< , |
|
|
|
~ |
x0 |
|
< |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
t0 |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
||||||
решение |
~ |
уравнения |
(1.1), |
|
проходящее |
через |
точку |
||||||||||
x(t) |
|
||||||||||||||||
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
] и отличается там от x(t) |
||
(t0 , x0 ), существует на отрезке [ |
|||||||||||||||||
меньше чем на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
~ |
|
|
|
t |
α, β |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|||||||
Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений
dx i |
fi |
(t, x1 , x 2 ,..., x n ), i 1,2,..., n. |
|
dt |
|||
|
|
При выполнении условий теоремы 1 решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то
обстоятельство, что отрезок [ , ] изменения t конечен.
Однако |
во |
многих задачах нас интересует зависимость |
|
решения от начальных |
данных в бесконечном промежутке |
||
t0 t |
. |
Переход от |
конечного промежутка, в котором |
рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А. М. Ляпуновым (см. работу «Oбщая задача об устойчивости движения» (Гостехиздат, 1980)).
Для линейных систем
|
dxi |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij (t)xi |
fi (t), |
i |
1,2,.., n, |
|
|
dt |
||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
||
решение xi (t),i |
1,2,..., n |
существует |
|
для t0 t |
|||
(глобальная теорема существования) |
|
при условии, что |
|||||
функции aij(t) и fi(t) — непрерывны на |
t0 , |
, неограниченно |
|||||
продолжаемо вправо и единственно. Не все системы обладают таким свойством.
Например, для скалярного уравнения
|
|
dx / dt |
x2 |
|
|
(1.2) |
|
функция f(t,х) |
х2 непрерывна и имеет производные всех |
||||||
порядков по х. Нетрудно проверить, что функция |
х= |
/(1 - |
t) |
||||
является решением задачи |
|
|
|
|
|||
|
|
dx/dt=x2, x(0)= , |
>0. |
|
|
|
|
Однако, |
это решение |
существует |
только в |
интервале |
|||
(- , 1/ |
), |
зависящем от начального |
условия, |
и |
|||
непродолжаемо на полуинтервал (- |
, 1/ ]. |
|
|
|
|||
Уравнение (1.2) есть уравнение сверхбыстрого |
|||||||
размножения, |
когда |
прирост |
пропорционален |
числу |
|||
всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).
4.2. Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия,
определения. |
|
Рассмотрим дифференциальное |
уравнение первого |
порядка |
|
dx/dt=f(t,x); |
(2.1) |
модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения, положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.
Пример.1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение х 0 уравнения.
|
|
|
|
|
|
dx/df=0. |
|
|
Решение |
х |
0, |
очевидно, |
удовлетворяет |
начальному |
|||
условию |
|
|
|
0 . Любое другое решение, удовлетворяющее |
||||
х |
t |
t |
0 |
|||||
|
|
|
||||||
начальному условию х |
t t |
x0 , имеет вид х х0. |
Поэтому |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(рис. 6), |
|
|
|
|
|
|
|
|