Материал: Электромагнитные колебания и волны. методические указания по физике для студентов. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический

университет»

Кафедра общей физики

Электромагнитные колебания и волны методические указания

по физике

для студентов специальностей 220402, 130501, 140104, 160302, 150201, 150202, 160700 и направлений подготовки бакалавров 221000, 131000, 140100 очной формы обучения

Воронеж 2012

Составители: канд. физ.-мат. наук В.А. Евсюков, канд. физ.-мат. наук Н.В. Агапитова, ст. преп. П.И. Деркачёва

УДК 681.3; 53

Электромагнитные колебания и волны: методические указания по физике для студентов специальностей 220402, 130501, 140104, 160302, 150201, 150202, 160700 и направлений подготовки бакалавров 221000, 131000, 140100 очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.А. Евсюков, Н.В. Агапитова, П.И. Деркачёва. Воронеж, 2012. 49 с.

В методических указаниях рассмотрены основные теоретические положения по разделу “Электромагнитные колебания и волны”, приведены решения ряда задач с подробными пояснениями. Предназначены для студентов 1 и 2 курсов.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Эл. маг. колебания.doc

Табл. 2. Ил. 17. Библиогр.: 9 назв.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. А.В. Бугаков

Ответственный за выпуск зав. кафедрой профессор В.С. Железный

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012

Предварительные замечания

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, электрические и магнитные поля) изменяются периодически. Электромагнитные колебания используют во многих технических устройствах и применяют для целей различных видов передачи информации. Технические переменные токи также являются электромагнитными колебаниями. Укажем также, что световые явления представляют собой электромагнитные колебания.

Периодический процесс изменений зарядов и токов в элементах электрической цепи называют электрическими колебаниями. При рассмотрении электрических колебаний имеем дело с токами, изменяющимися во времени. Закон Ома и правила Кирхгофа установлены для постоянного тока. Однако эти законы можно распространить и на изменяющиеся (колеблющиеся) токи в цепи, если только их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью света с. Допустим, что длина цепи равна l. Время, необходимое для передачи отдельного возмущения в самую отдаленную точку цепи, равно . Если при этом , где T – период изменений, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяющие этому условию, называются квазистационарными. Мгновенные значения квазистанционарных токов подчиняются закону Ома и правилам Кирхгофа.

В цепи, содержащей индуктивность и емкость, могут возникать электрические колебания. Такая цепь называется колебательным контуром. Колебания в контуре можно

вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индуктивности ток. Воспользовавшись первым способом возбуждения, выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.

а) t=0 б) t=T/4 в) t=T/2 г) t=3T/4

Отключённый от индуктивности конденсатор присоединим к источнику напряжения. Это приведет к возникновению на обкладках разноименных зарядов +q и –q (рисунок, а). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна q²/2C. Если затем отключить источник и замкнуть конденсатор на индуктивность, конденсатор начнёт разряжаться и в контуре потечёт ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но вместе с этим возникнет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. При этом энергия магнитного поля будет равна LI²/2. В момент, когда напряжение на конденсаторе, а, следовательно, и энергия электрического поля, обращаются в ноль, энергия магнитного поля, а значит и ток достигают наибольшего значения (рисунок, б). С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он, поддерживаемый э.д.с. самоиндукции, прекратится не сразу. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец ток прекратится, и заряд на конденсаторе достигнет максимума (конденсатор перезарядится, рисунок, в). Затем те же процессы протекают в обратном направлении (рисунок, г), после чего система приходит в исходное состояние и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе процесса в целом периодически изменяются (т.е. колеблются) заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность.

В контуре при отсутствии сопротивления проводников полная энергия, слагающаяся из энергий электрического и магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и будет оставаться постоянной. В этом случае колебания сопровождаются полными взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Если же сопротивление проводов контура , то помимо процесса взаимных превращений видов энергии будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту. Сопротивление проводников R цепи принято называть активным сопротивлением.

1. Электрические колебания

1. Уравнение колебательного контура

П редставим цепь, содержащую последовательно соединённые конденсатор С, катушку индуктивности L, активное сопротивление R и внешнюю переменную э.д.с. (рис. 1.1.). Найдём уравнение колебаний в этой цепи.

Рис.1.1 Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор и равный . Согласно закону Ому для участка цепи IRL2 имеем равенство

(1.1)

Где - э.д.с. самоиндукции; . Поэтому уравнение (1.1) можно переписать в виде:

или

. (1.2)

Равенство (1.2) выражает уравнение колебательного контура. Оно является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнению колебательного контура можно придать иной вид

(1.3)

где (1.4)

Величину называют собственной частотой контура при R=0, β – коэффициентом затухания. При отсутствии источника (Е=0) колебания принято называть свободными. При R=0 они будут незатухающими, при R≠0 – затухающими. Рассмотрим последовательно все эти случаи.

2. Свободные электрические колебания

Свободные незатухающие колебания. Если в контуре отсутствует внешняя э.д.с. E=0 и активное сопротивление R=0, то, как уже отмечалось, колебания в контуре являются свободными незатухающими. Их дифференциальное уравнение имеет вид

(1.5)

Решением этого уравнения является функция

(1.6)

где - амплитудное значение положительного заряда на обкладке конденсатора; - собственная частота контура; - начальная фаза. Значение определяется параметрами контура L и С, значение и - начальными условиями.

Период свободных незатухающих колебаний

(1.7)

Ток в контуре

, т.е.

(1.8)

где Из (1.8) видно, что ток при свободных незатухающих колебаниях в контуре опережает по фазе колебания заряда и напряжения на конденсаторе на π/2.

1.3. Затухающие электрические колебания

В реальном контуре активное сопротивление R≠0 и энергия, запасённая в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими. Если в общем уравнении (1.3) положить ξ=0, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

(1.9)

При решение уравнения (1.9) имеет вид

, (1.10)

где (1.11) частота колебаний; и - постоянные, определяемые начальными условиями.

Из (1.10) видно, что затухающие колебания не являются гармоническими. Период этих колебаний

, (1.12)

Множитель

t

Рис.1.2

Зная , можно найти напряжение на конденсаторе ( ) и ток в контуре, дифференцируя по времени выражение для .

Для характеристики затухающих колебаний приняты величины:

1) время затухания (релаксации) τ, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из формулы (1.13) следует, что

(1.14)

2) Логарифмический декремент затухания λ, определяемый натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных значений заряда (U или I), т.е.

(1.15)

Иначе, (1.16)

где N_e – число колебаний за время релаксации τ.

Подставляя в (1.15) значение и заменив T через , получим для λ выражение:

(1.17)

При слабом затухании

(1.18)

3) Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

(1.19)

При слабом затухании ( ) добротность

(1.20)

а также (1.21)

где W – энергия, запасённая в контуре, - уменьшение этой энергии за период колебания Т.

Следует отметить, что при , т.е. при вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим: